广东省广州市番禺区2025--2026学年上学期九年级数学科期末测试题-自定义类型

这是一份广东省广州市番禺区2025--2026学年上学期九年级数学科期末测试题-自定义类型，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列数学符号是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
2.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
4.已知的半径为3，点P在内，则的长可能是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
5.用配方法解方程时，通过配方后可得的形式，则m的值是（ ）
A. 3B. C. 6D.
6.圆形拱门屏风是我国古代家庭中常见的装饰兼隔断，既好看又实用，还带着浓浓的中式韵味．如图是一款圆形拱门屏风的示意图，其中拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若的半径为，，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
7.数学课上李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有10个白球、6个红球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（）
A. 白球B. 红球C. 黄球D. 黑球
8.如图，正六边形内接于，已知这个正六边形的边心距的长为3，则的半径为（ ）
A. B. C. 3D. 6
9.如图，为等边三角形，点D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接．已知，的周长是15，则的边长是（ ）
A. 4B. 7C. 8D. 10
10.如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点为．下列结论：①；②；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且是等边三角形，则．其中正确结论的序号是（ ）
A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.在平面直角坐标系中，点A（3，-4）关于原点的对称点的坐标为 .
12.若事件A为必然事件，则事件A发生的概率 ．
13.已知是一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根为 ．
14.如图，四边形内接于，为的直径，．点在的延长线上，若，则的度数为 ．
15.在2025年第十五届全运会10米跳台比赛中，某运动员从起跳到入水的运动轨迹可以近似看作是抛物线的一部分．如图所示，跳台宽度为，水池边与跳台支柱之间的宽度为（见图中标注）．该运动员的起跳点A距离水面，运动过程中的最高点B距离水面，此时与点A的水平距离为．根据上述信息，可估计入水点C与池边的水平距离为 ．
16.在欧几里得的《几何原本》中，形如关于x的一元二次方程的图解法是：如图，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于x的一元二次方程的图解，若，则a的值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共3分。
17.解方程：．
四、解答题：本题共8小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
已知二次函数．
(1) 补全表格，并画出二次函数的图象；
(2) 观察该图象，直接回答以下问题：
①当y随x的增大而减小时，写出x的取值范围；
②当时，写出x的取值范围．
19.(本小题6分)
如图，，是的切线，A，B为切点，是⊙O的直径，，求的度数．
20.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上．
(1) 作出关于原点对称的图形；
(2) 将绕点C顺时针旋转，得到，画出，并求旋转过程中线段扫过的面积．
21.(本小题6分)
某博物馆为增强参观趣味性，推出了“文物盲盒”抽奖活动，每个盲盒中装有一件仿制文物纪念品，共有四种类型：青铜器、陶瓷、书画、玉器，且每种类型出现的可能性相等，小华和小明各购买了一个盲盒．
(1) 小华抽到“青铜器”的概率是 ；
(2) 求小华和小明抽到同一种纪念品的概率．
22.(本小题6分)
如图，某社区计划将一块长为、宽的矩形空地改造成居民共享菜园，为方便居民照料和采摘，需要在菜园内部修建宽度相同的步道（图中阴影部分）．已知步道将菜园分成9个面积均为的矩形种植区，请求出步道的宽度．
23.(本小题6分)
如图，已知是的外接圆，是的直径，点是半圆的中点．过点作，交的延长线于点，连接，设与交于点．
(1) 求证：是的切线；
(2) 求证：；
(3) 若，，求，两点间的距离．
24.(本小题6分)
已知抛物线的解析式为，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．
(1) 若点C的坐标为，请解决以下问题：
①求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
②过点B的直线与抛物线的另一个交点为点E，求的面积．
(2) 已知，，若该抛物线与线段只有一个交点，结合图象，求a的取值范围．
25.(本小题7分)
在等腰中，，点为底边上一点（不与端点，重合），连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，旋转角为，连接．
(1) 如图1，若，，连接，试探究以下问题：
①求的度数；
②过点作，交的延长线于点，连接．点是的中点，点是的中点，连接，．请用等式表示线段与的数量关系，并证明．
(2) 如图2，若，，，连接，．当取得最小值时，在直线上取一点（不与点重合），连接，关于直线的轴对称图形为，连接，求线段的最大值．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】（-3，4）
12.【答案】1
13.【答案】5
14.【答案】 /70度
15.【答案】4
16.【答案】6
17.【答案】解：∵，
∴
∴或，
解得：．

18.【答案】【小题1】
解：∵，
∴当时，则；
∴当时，则；
∴当时，则；
∴当时，则；
∴当时，则；
补全表格：
画出二次函数的图象：
【小题2】
解：①结合（1）的二次函数的图象，得当y随x的增大而减小时，；
②结合（1）的二次函数的图象，得当时，．

19.【答案】解：∵，是的切线，A，B为切点，
∴，，
∴，
∴．

20.【答案】【小题1】
解：如图所示：
【小题2】
解：如图所示：
依题意，，
则线段扫过的面积．

21.【答案】【小题1】
​​​​​​​
【小题2】
解：设青铜器、陶瓷、书画、玉器分别记为、、、，列表如下：
由表格可知，共有种等可能的结果，其中小华和小明抽到同一种纪念品的结果有、、、，共种．
因此，小华和小明抽到同一种纪念品的概率为．

22.【答案】解：设步道的宽度为，
依题意，，
整理得，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴步道的宽度为，

23.【答案】【小题1】
解：连接，
∵为直径，点D是半圆的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
【小题2】
证明：
又
；
【小题3】
解：过点作交延长线于点，于点，连接，
点是半圆的中点
、
、
、
则在中，
、两点间的距离为．

24.【答案】【小题1】
解：①将点C的坐标为代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为；
②令，
解得，
∴抛物线与轴的两个交点的坐标为，
∵点A在点B左侧，
∴，
∵直线过点，则，
解得，
∴过点的直线的解析式为，
联立，即，
整理得，
解得或，
∴，
如图，设交轴于点，直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
令，解得，
∴，
∴；
【小题2】
解：∵，
∴抛物线图象的对称轴为直线，顶点坐标为，
∵，，
∴线段轴，
∵抛物线与线段只有一个交点，
当时，如图，
则，
解得；
当时，如图，
则，
解得；
综上，的取值范围为或．

25.【答案】【小题1】
解：①∵，，
∴，
由旋转知，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
②解：，理由如下：
如图，连接，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
即；
【小题2】
解：取中点，中点，连接，，，
∵，，
∴，，，
∴，
∵是中点，
∴，
∴，
由旋转知，，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
由点为固定点，，得点在过点且垂直于的直线上运动，
由点到直线的最短距离可得，当取最小值时，即垂直于点运动轨迹的直线，
即点和点重合时，最小，
此时如图，过点E作延长线的垂线，垂足为H．
则，，
∴
在中，，
∵关于直线的轴对称图形为，
∴
∴在以为圆心为半径的圆上运动，
∴的最大值为．
x
…
…
y
…
…
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
0
3
…