河北省雄安新区2026届高三上学期期末考试数学试卷含答案（word版+pdf版）

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1~4. CBAC 5~8. BDBA
二、选择题(多选):
9. ABD 10. AD 11. ABC
三、填空题:
12.16 13.4 14.3, 37 (第一空 2 分; 第二空 3 分)
四、解答题:(若有其他解法,请参照给分)
15. 解:
(1)设等差数列 an 的首项为 a1 ，公差为 d ，
由 S6=4S3 得, d=2a1 ; 2 分
又 a2=2a1+1 ,解得 a1=1,d=2 , 4 分
则数列 an 的通项公式为 an=2n−1 . 6 分
(2)因为 bn=an2n=2n−12n ，
所以 Tn=12+322+523+⋯+2n−12n ， ①
12Tn=122+323+524+⋯+2n−32n+2n−12n+1.②8 分
①-②得
12Tn=12+12+122+123+⋯+12n−1−2n−12n+1, 10 分
12Tn=12+121−12n−11−12−2n−12n+1, 12 分
Tn=3−2n+32n
所以数列 bn 的前 n 项和 Tn=3−2n+32n . 13 分
16. 解:
(1)因为底面 ABCD 为矩形,所以 CD⊥AD . 1 分
又因为 PA⊥PD,PA=PD,AD=4 ,所以 PD=22 .
因为 CD=2,PC=23 ,满足 CD2+PD2=PC2 ,所以 CD⊥PD . 3 分
又因为 PD∩AD=D,PD,AD⊂ 平面 PAD ,
所以 CD⊥ 平面 PAD . 5 分
又因为 CD⊂ 平面 ABCD ,所以平面 PAD⊥ 平面 ABCD . 6 分

(2)以 A 为坐标原点， AB,AD 所在直线的方向分别为 x,y 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系.
则 A0,0,0,B2,0,0,D0,4,0,C2,4,0,P0,2,2 ,
E0,3,1 ,
AB=2,0,0,AP=0,2,2,
AC=2,4,0,AE=0,3,1 . 8 分
设平面 PAB 的一个法向量为 m=x1,y1,z1 ,
平面 EAC 的一个法向量为 n=x2,y2,z2 ,则
m⋅AB=0,m⋅AP=0, 即 2x1=0,2y1+2z1=0, 所以 m=0,1,−1 ; 10 分
n⋅AC=0,n⋅AE=0, 即 2x2+4y2=0,3y2+z2=0, 所以 n=2,−1,3 . 12 分
设平面 EAC 与平面 PAB 的夹角为 θ ,则
csθ=cs⟨m,n⟩=m⋅nmn=−42×14=277, 14 分
所以平面 EAC 与平面 PAB 夹角的余弦值为 277 . 15 分
17. 解:
(1) f′x=3x2−3a ， 1 分
当 a≤0 时，不符合题意，故 a>0 . 2 分
令 f′x=0 解得 x1=−a,x2=a ,
此时 A−a,2aa,Ba,−2aa , 4 分
由 AB=4a 解得 a=12 . 6 分
(2)因为 A−a,2aa,Ba,−2aa ，
所以点 P 在 AB 的中垂线 y=12ax 上. 8 分
又 P 在曲线 gx=lnax 上,则方程 lnax=12ax 存在正数解,
即 hx=lnax−12ax 在 x∈0,+∞ 存在零点. 10 分
h′x=1x−12a 在 0,+∞ 上单调递减且 h′2a=0 ,
故 hx 在 0,2a 单调递增, 2a,+∞ 单调递减. 12 分
因为 h1a=−12a20 ,故能够提高甲药有效的概率. 17 分X
-1
0
1
P
0.1
0.5
0.4