湖北省部分市州2026届高三上学期1月期末联考数学试题（Word版附解析）

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项是正确的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 复数 的虚部为（ ）
A. B. C. D. i
3. 若 ，则“ ”是 “ ”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 将函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则 的
最小值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知数列 是等比数列，数列 是等差数列，若 ， ，则 的
值为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，一条河两岸平行，河的宽度为 400m，一艘船从河岸边的 A 地出发，向河对岸航行.已知船在静水
中的速度 的大小为 ，水流速度 的大小为 .设这艘船行驶方向与水流方向的
夹角为 ，行驶完全程需要的时间为 ，若船的航程最短，则（ ）
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A. B.
C. D.
7. 设过点 与圆 C： 相切的两条直线的夹角为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
8. 已知 ，函数 ，若存在 值，使得 对任意 成立，则 的最小值
为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列命题中正确的有（ ）
A. 数据 27，12，14，30，15，17，19，24 的第 70 百分位数是 24
B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 r 的值越接近于 1
C. 若样本 平均数和方差分别为 2 和 3，则 的平均数和方差分别为
8 和 27
D. 若 为两个随机事件， ， ， ，则
10. 设 为坐标原点，直线 过抛物线 ： 的焦点 ，且与 交于 两
点， 为 的准线， ，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 以 为直径的圆与 相切 D.
11. 已知 ， 都是定义在 上的函数，对任意 满足 ，且
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，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 函数 的图象关于直线 对称 D. 若 ，则
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若曲线 在点（1，3）处的切线也是曲线 的切线，则 ______.
13. 已知双曲线 C： ，过 C 的左焦点 F 的直线 与圆 O： 相切于 M，与 C 的右支交
于点 R.若 的中点为 N，则 _______.
14. 记 上的可导函数 的导函数为 ，满足 的数列 称为“牛顿数列”.若函
数 ，数列 为牛顿数列.设 ，已知 ，数列 的前 n 项和为 ，若不
等式 对任意的 恒成立，则 的最大值为_____.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记 内角 的对边分别为 ，已知 .
（1）求 ；
（2）若 为锐角三角形，且外接圆直径为 ，求 的取值范围.
16. 某校为丰富学生的课外活动特举办了一次篮球投篮比赛活动，现已知刘翔同学每次投篮投中的概率为
，投不中的概率为 .为激励学生运动的积极性，规定：投中一次得 2 分，投不中得 1 分.刘翔同学投篮若干
次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分.
（1）若投篮 2 次，最终得分为 X，求随机变量 X 分布列和期望；
（2）设最终得分为 n 的概率为 ，证明：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式.
17. 如图，在平面四边形 中， ， ，将 沿 翻折至
，其中 P 为动点.
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（1）证明： ；
（2）求二面角 余弦值的最小值.
18. 如图所示的折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某
些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如，用半径为 4 的圆形纸片按如下步骤折纸：
步骤 1：设圆心是 ，在圆内（除去圆心）取一点，标记为 ，且 ；
步骤 2：把纸片折叠，使圆周正好通过 ；
步骤 3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；
步骤 4：不停重复步骤 2 和 3，能得到越来越多条的折痕.
这些折痕围成一个图形，设 关于折痕的对称点为 Q 点.
（1）以 所在的直线为轴， 的中点 为原点建立平面直角坐标系，求折痕围成的图形 C 的标准方
程；
（2）过 的直线 交 C 于 A，B 两点，若 内切圆的半径为 ，求 的方程；
（3）设 M 是坐标平面上的动点，且线段 的垂直平分线与 C 恰有一个公共点，证明 M 的轨迹为圆，并
求该圆的方程.
19 （1）已知函数 .
（i）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（ii）若 时， 恒成立，求 最大值；
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（2）不等式 对任意的 成立，求 的取值范围.
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