北京市八一学校2025-2026学年高二上学期期末练习数学试题（原卷版+解析版）

这是一份北京市八一学校2025-2026学年高二上学期期末练习数学试题（原卷版+解析版），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
班级 ___________ 姓名___________ 学号___________
本试卷共4页，120分.考试时长90分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 在直角坐标系中，直线经过（ ）
A 一、二、三象限B. 一、二、四象限
C. 一、三、四象限D. 二、三、四象限
2. 点是椭圆上的动点，则到椭圆两个焦点的距离之和为（ ）
A. B. C. D.
3. 在空间直角坐标系中，点，则（ ）
A. 直线坐标平面B. 直线坐标平面
C. 直线坐标平面D. 直线坐标平面
4. 求圆的圆心到的距离（ ）
A. B. 2C. D.
5. 如图，梯形中，，，点为空间内任意一点，设，，，则向量可用表示为（ ）

A. B.
C. D.
6. 如图，在边长为的正方形组成的网格中，有椭圆，它们的离心率分别为，则
A. B.
C. D.
7. 已知平面平面，则“直线平面”是“直线平面”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 设是等差数列.下列结论中正确是
A 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
9. 如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
10. 已知点，直线将分割成面积相等的两部分，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 过点且与直线垂直的直线方程为___________．
12. 已知双曲线，则过且和双曲线只有一个交点的直线的斜率可以是___________．（写出满足条件的一个取值即可）
13. 某景观亭（如图1）的上部可视为正四棱锥（如图2）．已知长为4米，且平面平面，则正四棱锥的侧面积为___________平方米．（注：棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥的侧面积）

14. 已知抛物线．
①该抛物线的准线方程是___________；
②设抛物线焦点为，点在抛物线上（点在第一象限），若为等边三角形，则点的纵坐标为___________．
15. 已知点是曲线（其中a，b为常数）上的一点，设M，N是直线上任意两个不同的点，且.则下列结论正确的是______.
①当时，方程表示椭圆；
②当时，方程表示双曲线；
③当，，且时，使得是等腰直角三角形的点有6个；
④当，，且时，使得是等腰直角三角形的点有8个.
三、解答题：本大题共4小题，共45分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 设等差数列公差不为的前项和为．若，且成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）求使成立的的最小值．
17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，交于点，点是棱上一点，且平面．

（1）求证：点是棱的中点；
（2）若，请再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面的夹角的余弦值．
条件①：平面平面；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
18. 已知椭圆：的右顶点，为椭圆上的动点，且点不在轴上，是坐标原点，面积的最大值为1．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，直线分别与轴相交于点．当时，求直线的方程．
19. 已知各项均为正整数的有穷数列：满足，有．若等于中所有不同值的个数，则称数列具有性质．
（1）判断下列数列是否具有性质，并说明理由；
①： ②：，
（2）已知数列：具有性质，求出所有可能取值；
（3）若一个数列：具有性质，则是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由．
北京市八一学校教育集团2025-2026学年第一学期期末练习
高二级数学
班级 ___________ 姓名___________ 学号___________
本试卷共4页，120分.考试时长90分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 在直角坐标系中，直线经过（ ）
A. 一、二、三象限B. 一、二、四象限
C. 一、三、四象限D. 二、三、四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线方程得到其与坐标轴的交点，从而可得出结果.
【详解】由，令可得，；令可得；
即直线过点，，
所以直线经过一、二、三象限.
故选：A.
2. 点是椭圆上的动点，则到椭圆两个焦点的距离之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆的定义求得正确答案.
【详解】椭圆的焦点在轴上，，
所以到椭圆两个焦点的距离之和为.
故选：C
3. 在空间直角坐标系中，点，则（ ）
A. 直线坐标平面B. 直线坐标平面
C. 直线坐标平面D. 直线坐标平面
【答案】C
【解析】
【分析】首先求向量的坐标，再判断向量与坐标平面的法向量的关系，即可判断选项.
【详解】由题意可知，，
平面的法向量为，
因为，且
所以与既不平行也不垂直，所以直线与坐标平面既不平行也不垂直，
故AB错误；
坐标平面的法向量为，
，所以，且平面，故C正确，D错误.
故选：C
4. 求圆的圆心到的距离（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由题意得，即，
则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为，
故选:C．
5. 如图，梯形中，，，点为空间内任意一点，设，，，则向量可用表示为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量加减和数乘运算直接求解即可.
【详解】.
故选：D.
6. 如图，在边长为的正方形组成的网格中，有椭圆，它们的离心率分别为，则
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：由图可知表示的离心率相等为,观察知的比要圆,根据离心率的几何意义知, 的离心率要比的离心率小.故本题答案应选D.
考点：椭圆的离心率．
7. 已知平面平面，则“直线平面”是“直线平面”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】解：因为平面平面，若直线平面，则直线平面或；
又由平面平面，若直线平面，则直线平面或直线平面或直线平面或直线与平面相交（不垂直），
故平面平面，则“直线平面”是“直线平面”既不充分也不必要条件.
故选：D
8. 设是等差数列.下列结论中正确的是
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【详解】先分析四个答案，A举一反例，而，A错误，B举同样反例，，而，B错误，
D选项，故D错，
下面针对C进行研究，是等差数列，若，则设公差为，则，数列各项均为正，由于，则，
故选C.
考点：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重 点是对知识本质的考查.
9. 如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为( )
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，设，用表示，先在中由求出，再在中由即可求解.
【详解】由题意可知直线，都过点，如图，
则有，，
设，则，
所以，故，
所以，
因此，
在，，
即，
整理得即，解得，
所以，
令双曲线半焦距为c，
在中，，即，
解得，
所以的离心率为.
故选：B
【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：
①定义法，通过已知条件列出方程组，求得a，c的值，根据离心率的定义求解离心率e；②齐次式法，由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于e的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
10. 已知点，直线将分割成面积相等的两部分，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】计算直线与和轴的交点，计算，考虑当在点与点之间（包括点）和当在点的左侧两种情况，根据坐标之间的关系得到不等式，解得答案.
【详解】，由已知得，由得，，
，直线与轴交于，
当在点与点之间（包括点）时，
，，
则有，所以，，
，故，所以，，又，，故；
当在点的左侧时，
解得，，
由得，此时，，
点到直线的距离，
，得，
则有，所以，，
又，，故，，即.
综上所述：实数b的取值范围.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：这道题的关键点是考虑当在点与点之间（包括点）和当在点的左侧两种情况，然后通过计算各点的坐标计算面积
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 过点且与直线垂直的直线方程为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据垂直直线的斜率关系设出直线方程，代入点坐标，求解即可.
【详解】与直线垂直的直线方程可设为，
将点代入，得：，解得：，
所以直线方程为：，即.
故答案为：.
12. 已知双曲线，则过且和双曲线只有一个交点的直线的斜率可以是___________．（写出满足条件的一个取值即可）
【答案】（答案不唯一，也正确）
【解析】
【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.
【详解】联立与，解得，这表明满足题意的直线斜率一定存在，
设所求直线斜率为，则过点且斜率为的直线方程为，
联立，化简并整理得：，
由题意得解得，
或,此方程无解，
经检验，符合题意.
故答案为：（答案不唯一，也正确）.
13. 某景观亭（如图1）的上部可视为正四棱锥（如图2）．已知长为4米，且平面平面，则正四棱锥的侧面积为___________平方米．（注：棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥的侧面积）

【答案】
【解析】
【分析】作出辅助线，得到为平面与平面的二面角，故，显然，故为等腰直角三角形，求出，从而求出三角形面积，得到正四棱锥的侧面积.
【详解】取的中点，连接，则，
因为，平面，平面，所以平面，
设平面平面，则，
因为，所以⊥，⊥，
故⊥，⊥，故即为平面与平面的二面角，
因为平面平面，所以，
显然，故为等腰直角三角形，
因为，所以，故，
故，
故正四棱锥的侧面积为.

故答案为：
14. 已知抛物线．
①该抛物线的准线方程是___________；
②设抛物线焦点为，点在抛物线上（点在第一象限），若为等边三角形，则点的纵坐标为___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】①根据抛物线标准方程可直接写出；②由对称性得，两点关于轴对称，从而得的倾斜角，写出直线方程，与抛物线方程联立求出交点的横坐标，代入即可求得点的纵坐标．
【详解】对于①，已知抛物线，则抛物线焦点，准线；
对于②，因为及抛物线的对称性知关于轴对称，
不妨设直线的倾斜角为，直线方程为，
由，解得，
将代入抛物线可得，
因点在第一象限，所以.
故答案为：；.

15. 已知点是曲线（其中a，b为常数）上的一点，设M，N是直线上任意两个不同的点，且.则下列结论正确的是______.
①当时，方程表示椭圆；
②当时，方程表示双曲线；
③当，，且时，使得是等腰直角三角形的点有6个；
④当，，且时，使得是等腰直角三角形的点有8个.
【答案】②③④
【解析】
【分析】对①②，根据方程表示的曲线可以是圆，椭圆，双曲线，直线判断；
对③④，求出点P到直线的距离d的取值范围，对点P是否为直角顶点进行分类讨论，确定d，t的等量关系，综合可得出结论.
【详解】方程中当时可表示圆，当时，表示双曲线，故①错误，②正确；
在③④中：椭圆方程，椭圆与直线均关于原点对称，
设点，则点到直线的距离为

对③：时，
(1)若为直角顶点，如图1，则，，满足为等腰直角三角形的点有四个，
图1
(2)若不是直角顶点，如图2，则，，满足是等腰直角三角形的非直角顶点有两个，
图2
故时，使得是等腰直角三角形的点有6个，③正确；
对④：时，
(1)若为直角顶点，如图1,则，，满足为等腰直角三角形的点有四个..
(2)若不是直角顶点，如图3,则，，满足是等腰直角三角形的非直角顶点有四个，
图3
故时，使得是等腰直角三角形的点有8个，④正确；
故答案为：②③④.
【点睛】椭圆的参数方程是，对于有关椭圆上点的横纵坐标问题的题目可以转化为三角函数问题求解，比如求的最大值，求点到直线的距离范围等问题都可以使用椭圆的参数方程来解决.
三、解答题：本大题共4小题，共45分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 设等差数列的公差不为的前项和为．若，且成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）求使成立的的最小值．
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项的性质求解计算即可.
（2）先根据等差数列前项和公式计算，然后列出不等式求解即可.
【小问1详解】
解：设等差数列的公差为，
因为，则，所以，
因为成等比数列，所以
即，
解得，或（舍去），
所以的通项公式为，
即.
【小问2详解】
因为
所以
依题意有，解得，
使成立的的最小值为8．
17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，交于点，点是棱上一点，且平面．

（1）求证：点是棱的中点；
（2）若，请再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面的夹角的余弦值．
条件①：平面平面；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面平行性质得线线平行，根据菱形性质得中点关系，最后由平行线分线段成比例得中点；
（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，再利用向量的夹角公式计算平面夹角的余弦值.
【小问1详解】
因为平面．
因为平面，且平面平面，
所以．
因为底面是菱形，所以是的中点，所以是的中点；
【小问2详解】
选择条件①：
因为是的中点，所以，

因为平面平面，
平面平面平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又，所以两两垂直，
以为原点建立空间直角坐标系．
因为菱形的边长为2，，所以，
所以．
所以，
设为平面的一个法向量，
由得所以，所以
因为平面，所以平面的一个法向量为，
所以
因此平面与平面的夹角的余弦值．
选择条件②：
因为，在菱形中，，
，所以平面，
因为平面，所以，因为
所以两两垂直，
以为原点建立空间直角坐标系．
因为菱形边长为2，，所以，
所以．
所以，
设为平面的一个法向量，
由得所以，所以
因为平面，所以平面的一个法向量为，
所以
因此平面与平面的夹角的余弦值．
18. 已知椭圆：的右顶点，为椭圆上的动点，且点不在轴上，是坐标原点，面积的最大值为1．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，直线分别与轴相交于点．当时，求直线的方程．
【答案】（1），离心率为
（2）或．
【解析】
【分析】(1)由椭圆的右顶点可得，由 面积最大值，可得，从而求得椭圆C的方程，再由可求得，从而可得离心率；
(2)分类讨论，当斜率存在时设直线的方程为：，与椭圆联立方程组可解得一元二次方程，从而可得出韦达定理的表达式，再通过直线，的方程得出点E，F坐标，进而表达出，从而可解得，求得直线的方程.
【小问1详解】
因为右顶点，故，
又因为面积的最大值为，所以，故，
又，所以，
所以椭圆的方程为，离心率为．
【小问2详解】
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为．
设，则．由于．
所以．不合题意．
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为

由，得，
，
设，则，
直线的方程为，由于
令，得点的纵坐标，则，
同理可得．
所以
因为
因为，则，解得，满足
所以直线的方程为或．
19. 已知各项均为正整数的有穷数列：满足，有．若等于中所有不同值的个数，则称数列具有性质．
（1）判断下列数列是否具有性质，并说明理由；
①： ②：，
（2）已知数列：具有性质，求出的所有可能取值；
（3）若一个数列：具有性质，则是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①具有，②不具有，理由见解析
（2）或
（3）存在，最小值是197，
【解析】
【分析】（1）根据新定义判断即可；
（2）根据新定义，确定数列，任意两项和不同的取值最多有15个，中任意两项和的结果有10个，分为奇数、偶数讨论求解；
（3）将的项从小到大排列构成新数列：可得，据此取数列：，结合等差数列性质证明满足条件即可.
【小问1详解】
①：任意两项和的结果有4，6，8，10，12共5个，而，所以具有性质．
②：，任意两项和的结果有6，10，12，18，20，24，34，36，40，48共10个，
而，所以不具有性质．
【小问2详解】
对于数列：，任意两项和不同的取值最多有15个，所以．
而：中任意两项和的结果有10个，且全是偶数．
（1）当为奇数时，都是奇数，与前5项中任意两项和的值均不相同，则
：中所有的不同值共有15个，所以．
（2）当为偶数时，都是偶数，所以．所以．
时，在前5项中任两项和的结果中未出现，
所以：中任意两项和的不同值的个数大于10，即，矛盾．
时，这三个结果在前5项中任意两项和的结果中未出现，
所以：中任意两项和的不同值的个数大于12，即，矛盾．
时，：中任意两项和的不同值6，10，12，16，18，20，22，24，30，34，36，40，46，48共14个，成立．
综上，或．
【小问3详解】
存在最小值，且最小值为197．
将的项从小到大排列构成新数列：，
所以
所以的值至少有个．
即的值至少有197个，即．
数列：符合条件．即．
此时，：为等差数列，由等差数列性质，
当时，；当时，，
因此每个等于中的一个，或者等于中的一个．
即所有和的不同值为，共197个不同值，且．
综上，的最小值是197，
一个满足条件的数列：．