2026年甘肃省陇南市高三上学期1月检测数学试题（附答案解析）

这是一份2026年甘肃省陇南市高三上学期1月检测数学试题（附答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若复数满足（是虚数单位），则的虚部是（ ）
A．B．C．D．3
2．设全集是小于7的自然数，，则集合等于（ ）
A．B．C．D．
3．不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
4．的展开式中常数项是（ ）
A．20B．15C．6D．1
5．已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．20B．25C．30D．35
6．已知双曲线的一条渐近线方程为，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．3
7．设，且，则 （ ）
A．B．C．D．
8．已知四面体ABCD的顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，是边长为3的正三角形，则四面体ABCD的体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知a，b，c都是实数，下列命题是真命题的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，则D．若，，则
10．已知曲线，其中是实数，且至少有1个大于0，则（ ）
A．曲线关于轴对称
B．当时，曲线表示椭圆
C．当时，曲线表示双曲线
D．当时，曲线表示两条平行直线
11．已知函数的定义域，对任意的，恒有，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．是奇函数
C．若，则
D．若，则
三、填空题
12．已知，向量，，若，则a的值为 ．
13．在中，，，其面积为，则 .
14．设函数，若，则实数的取值范围是 .
四、解答题
15．已知函数．
(1)求；
(2)设函数，求的单调区间．
16．在如图所示的直三棱柱中，，，E，F分别为，BC的中点．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面AEF夹角的大小．
17．已知函数，其中，.
(1)当时，求的图象在处的切线方程；
(2)当时，若函数在区间上存在极值，求的取值范围.
18．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，圆与的准线相切．
(1)求的标准方程；
(2)已知是上的一点，是轴上的一点，若的最小值为4，求点的坐标；
(3)过点作直线与交于两点，且在两点处的切线交于点，证明：．
19．某大学排球社团为了解性别因素是否对学生喜欢排球有影响，随机调查了男、女生各200名，得到如下数据：
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢排球与性别有关联？
(2)在某次社团活动中，甲、乙、丙这三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.记次传球后球在乙手中的概率为.
（i）求；
（ii）若随机变量服从两点分布，且，则.记前次（即从第1次到第次传球）中球在乙手中的次数为随机变量，求的数学期望.
附：，其中.
性别
排球
喜欢
不喜欢
男生
78
122
女生
112
88
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
《甘肃省陇南市2026届高三上学期1月检测数学试题》参考答案
1．D
【分析】由复数的概念可得.
【详解】由题意得，的虚部是3．
故选：D．
2．C
【分析】根据给定条件，利用补集的定义直接求解.
【详解】依题意，，而，所以.
【点睛】故选：C
3．C
【分析】把不等式化为，求出解集即可．
【详解】解：不等式可化为，
解得，
所以不等式的解集为（4，3）．
故选C．
【点睛】本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．
4．A
【分析】写出的展开式的通项公式，再令，求得值，代入通项公式，即可得解.
【详解】的展开式的通项公式为，令，
得，即，
即的展开式中常数项是．
故选：A.
5．C
【分析】利用等差数列性质，，其中，计算即可.
【详解】由题意可知等差数列满足：，
所以得：，
所以．
故选：C．
6．D
【分析】根据焦点在x轴双曲线的渐近线方程求得，进而利用离心率公式求解即可.
【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，
所以，离心率．
故选：D．
7．B
【分析】根据诱导公式可得或，再由求解.
【详解】由诱导公式有，
故或，
解得或，
由于，当时，无整数满足条件；
当时，令，可得满足条件.
故选：B.
8．A
【分析】先求出球的半径及三角形外接圆半径，进而求出球心到平面的距离，从而求出D到平面ABC的距离的最大值，最后利用四面体体积公式计算求解．
【详解】设球心为O，球的表面积为，解得，
是边长为3的正三角形，
的外接圆半径，
到平面的距离，
D到平面ABC的距离的最大值为，
四面体的体积的最大值为
．
故选：A．
9．BD
【分析】利用零指数幂的定义计算求解判断选项A，根据对数的运算法则计算判断选项B，根据指数函数性质结合特殊值验证判断选项C，利用不等式性质，两边同时乘以负数时，不等号方向改变判断选项D.
【详解】若，时，则，故A错误；
若，时，，故B正确；
若，当时，，但，命题不成立，故C错误；
当时，，又，所以，故D正确.
故选：BD.
10．ACD
【分析】对于A：根据方程分析对称性即可；对于B：举反例说明即可；对于CD：分类讨论的符号，进而判断曲线表示的图形.
【详解】因为曲线，其中是实数，且至少有1个大于0，
对于选项A：将换成可得，
所以曲线关于轴对称，故A正确；
对于选项B：例如满足，此时曲线表示圆，故B错误；
对于选项C：若，当时，曲线是焦点在轴上的双曲线；
当时，曲线是焦点在轴上的双曲线；
综上所述：当时，曲线表示双曲线，故C正确；
对于选项D：若，且至少有1个大于0，
当时，曲线是与轴平行的两条直线；
当时，曲线是与轴平行的两条直线；
综上所述：当时，曲线表示两条平行直线，故D正确；
故选：ACD.
11．ABD
【分析】根据抽象函数的性质，利用赋值法代入计算可判断ABD选项，构造函数，取，进而判断C；化简可得，根据等差数列的概念即可求出，从而得解判断D.
【详解】中取得，
取，得，故A正确；
取得，故B正确；
由题意构造函数，满足，
取，满足，此时，
所以，故C错误；
取，得，
所以，又，
则数列为等差数列，首项为1，公差为1，
所以，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：在判断选项CD过程中，构造函数以及利用等差数列的概念应用是解题关键，利用特值代入法是判断并快速排查各选项的技巧.
12．
【分析】根据条件得出两个向量的数量积为0，再使用向量数量积的坐标运算解决即可.
【详解】由，得，即，解得．
故答案为：
13．
【分析】根据三角形面积公式可得，利用平方公式求解的值，从而得，结合余弦定理求解即可.
【详解】因为，则，
又，则，即，
因为，所以，所以，
由余弦定理得到，
所以.
故答案为：.
14．
【分析】求导，根据导数判断函数单调性，结合函数单调性确定函数值域情况，进而可得参数范围.
【详解】由，可知，
则当时，恒成立，在上单调递减，且的值域为，不满足，不成立；
当时，由得，
由得，由得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，由得，
故答案为：.
15．(1)
(2)单调递增区间：，单调递减区间为：.
【分析】（1）由题可知，根据可求得；
（2）由（1）可知的解析式，化成的形式，根据复合函数单调区间的求法，可求得的单调区间.
【详解】（1）因为函数，且，所以，
又，所以.
（2）由（1）知：，所以，
所以.
令，显然是增函数.
因为当时，函数单调递增；
当时，函数单调递减.
所以当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减.
所以函数的单调递增区间为：，
单调递减减区间为：.
16．(1)证明见解析；
(2)90°．
【分析】（1）设，连接，证明，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，注意到两个法向量互相垂直，即可得解.
【详解】（1）证明：设，连接，在直三棱柱中，四边形是平行四边形，所以G为的中点，又F为BC的中点，所以，
又平面，平面，所以平面．
（2）因为三棱柱是直三棱柱，
所以底面ABC，，，又，所以，
以A为原点，直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，，，，
则，，，
设平面的法向量，
则，取，则，
所以平面的一个法向量．
设平面的法向量，则，取，得，，
所以平面AEF的一个法向量．
因为，所以，
即平面与平面AEF的夹角是90°．

17．(1)
(2)
【分析】（1）直接求导代入得到斜率，再写出点斜式方程即可；
（2）等价转化为在上必存在变号零点，再设新函数求导研究即可.
【详解】（1）当时，，定义域为，
所以，
所以的图象在处的切线方程为，
即.
（2）当时，，定义域为，
所以，
因为在区间上存在极值，
所以在上必存在变号零点，
令，则在上必存在变号零点，
因为，所以，解得，
当时，，且在上单调递增，
又，故存在，使得，
所以当时，，即，
当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故为的极小值点，符合题意，故的取值范围为.
18．(1)
(2)或
(3)证明见解析
【分析】（1）由题意设出抛物线方程，根据圆的方程明确圆心与半径，结合切线的性质，可得答案；
（2）设出动点坐标，根据两点距离公式写出函数解析式，结合二次函数性质，可得答案；
（3）由题意设出直线方程，联立方程，写出韦达定理，利用导数求得切线方程，联立求交点，结合距离公式，可得答案.
【详解】（1）由题意，设的方程为，准线为，
因为圆与的准线相切，且圆心为，半径为
所以，解得，所以的标准方程为．
（2）设，
当，即时，，解得或（舍去）；
当，即时，，解得，
所以点的坐标为或．
（3）
证明：根据题意，直线的斜率存在，，
设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
所以，
对求导，得，
由，解得，所以．
因为，
所以
，
又，所以.
19．(1)可以认为是否喜欢排球与性别有关联.
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）计算卡方结合表中数据判断即可；
（2）（i）由题意构造可得，进而可得数列的通项公式，从而求得；
（ii）由题意可得，再根据等比数列求和即可.
【详解】（1）零假设为：是否喜欢排球与性别无关联.
根据表中的数据，经计算得到
所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，可以认为是否喜欢排球与性别有关联.
（2）（i）由题意知，
设，所以，所以，解得，
所以，
又，故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，
所以，即第次传球后球在乙手中的概率为.
（ii）因为，
所以当时，的数学期望
，即的数学期望为
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
C
A
C
D
B
A
BD
ACD
题号
11









答案
ABD