福建省泉州市永春县三校联考2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷(含答案)

这是一份福建省泉州市永春县三校联考2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各组中的四条线段成比例的是( )
A. a=2，b=3，c=4，d=1
B. a=2，b= 5，c=2 3，d= 15
C. a=4，b=6，c=5，d=10
D. a= 2，b=3，c=2，d= 3
2.下列二次根式中，与 2能合并的二次根式的是( )
A. 12B. 8C. 20D. 27
3.用配方法将方程x2+6x−11=0变形，正确的是( )
A. (x−3)2=20B. (x−3)2=2C. (x+3)2=2D. (x+3)2=20
4.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条边DE=0.4m，EF=0.3m，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=20m，则树高AB为( )
A. 16.5mB. 13.5mC. 15mD. 12m
5.若关于x的一元二次方程ax2+x−1=0有实数根，则a的取值范围是( )
A. a≥−14且a≠0B. a≤−14C. a≥−14D. a≤−14且a≠0
6.如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，要使△ABC∽△ADE，需加一个条件，则以下所添加条件不正确的为( )
A. ∠B=∠ADE
B. ∠C=∠AED
C. ADAB=AEAC
D. ADAB=DEBC
7.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，电梯坡面BC的坡度i=1： 3，则电梯坡面BC的坡角α为( )
A. 15∘B. 30∘C. 45∘D. 60∘
8.如图，△ABC中，AB=6cm，AC=4cm，点E是BC的中点，若AD平分∠BAC，CD⊥AD，线段DE的长为( )
A. 0.5cm
B. 1cm
C. 1.5cm
D. 2cm
9.已知a是方程x2−2025x+1=0的一个根，则a2−2024a+2025a2+1=( )
A. 2022B. 2023C. 2024D. 2025
10.如图，在正方形ABCD中，以BC为边在正方形内作等边△BPC，延长BP、CP分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，则下列四个结论：①∠ADP=15∘，②△PDE∽△DBE，③BC：DF=3：2，④PF=12PH.其中正确的有( )个.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.要使 4x−5有意义，则x的取值范围是______.
12.已知：x6=y4=z3(x、y、z均不为零)，则x+3y3y−2z=______.
13.若两个相似多边形的相似比是2：3，则它们的面积比等于______.
14.若关于x的一元二次方程(m−3)x2+3x+m2−9=0有一个根是0，则m=______.
15.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，sinB=12，CD是高.若AD=2，则BD= .
16.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：
①若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
②当(a+c)2≤b2时，则关于x的方程ax2+bx+c=0必有实数根；
③若b2−5ac>0，则方程一定有两个不相等的实数根；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2−4ac=(2ax0+b)2.
其中正确的是 .(填序号)
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.解方程：x2+2x−1=0.
四、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
计算： 12−4 12−tan60∘+| 3−2|.
19.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，EF⊥BE交CD于F，求证：△ABE∽△DEF.
20.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0,0)，A(2,1)，B(1,−2).
(1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的位似比为2：1；
(2)画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O2A2B2；
(3)判断△OA1B1和△O2A2B2是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标.
21.(本小题8分)
如图，某校数学兴趣小组为了测得学校旗杆的高度AB，在点D处用高为1.2米的测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为22∘，又测得BD=30米，求这根旗杆的高度AB.(精确到0.1米)
22.(本小题10分)
如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD，CB相交于点H，E，AH=2CH.
(1)求证：AH⋅AB=AC⋅BC；
(2)求sinB的值.
23.(本小题10分)
古县城以“青春古城游”为主题，通过科技加持、文化赋能的创新融合，成功打造了一场现代与传统交织的文旅盛宴.
【科技加持】千架无人机腾空而起，在夜幕绘就“古城星空”，吸引不少游客驻足观看.据统计，假期第一天古县城累计接待游客约5万人次，第三天接待游客达7.2万人次.
(1)求游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率.
【文化赋能】烟火气十足的“去古城赶集”汇集非遗手作，地方美食等，重现古城商贸活力.如景区推出古城著名景点冰箱贴：每个冰箱贴的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个；当售价每降低0.5元，平均每天可多售出25个.
(2)若要使每天销售冰箱贴获利1800元，则售价应降低多少元？
24.(本小题13分)
阅读材料：在一元二次方程中，根的判别式Δ=b2−4ac通常用来判断方程实数根的个数，但在实际应用中，我们也可以用根的判别式来解决部分函数的最值问题，例如：已知函数y=x2−6x+6，当x取何值时，y取最小值，最小值为多少？
解答：∵y=x2−6x+6
∴x2−6x+(6−y)=0
∵b2−4ac≥0，即36−4(6−y)≥0，解得y≥−3.
因此y的最小值为−3，
此时x2−6x+6=−3，解得x1=x2=3，符合题意
∴当x=3时，ymin=−3
解决问题：请根据上述材料，解答下列问题：
(1)已知函数y=−4x2+6x−3，当x取何值时，y取最大值，y的最大值为多少？
(2)已知x2−2x+3x2−4x+4，当x取何值时，x2−2x+3x2−4x+4取最小值，x2−2x+3x2−4x+4的最小值为多少？
(3)如图，已知Rt△ABC，Rt△AED，D是线段BC上一点，∠B=∠EAD=90∘，AB=BC，DC=AE=1，当BD为何值时，DEBC取最小值，最小值是多少？
25.(本小题13分)
在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M是AD边的中点，P是AB边上的一个动点(不与A、B重合)，PM的延长线交射线CD于Q点，MN⊥PQ交射线BC于N点．
(1)若点N在BC边上时，如图1.
①求证：PN=QN；
②请问PMPN是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请举反例说明；
(2)当△PBN与△NCQ的面积相等时，求AP的值．
参考答案
一、选择题：
1.B
2.B
3.D
4.A
5.A
6.D
7.B
8.B
9.C
10.B
二、填空题：
11.x≥54
12.3
13.4：9
14.−3
15.6
16.②④
三、解答题：
17.解：方程变形得：x2+2x=1，
配方得：x2+2x+1=2，即(x+1)2=2，
开方得：x+1=± 2，
解得：x1=−1+ 2，x2=−1− 2.
18.解：原式=2 3−4× 22− 3+2− 3
=2−2 2.
19.证明：∵EF⊥BE，
∴∠EFB=90∘，
∴∠DEF+∠AEB=90∘.
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90∘，
∴∠AEB+∠ABE=90∘，
∴∠DEF=∠ABE，
∴△ABE∽△DEF.
20.解：(1)如图，△OA1B1即为所作图形；
(2)如图，△O2A2B2即为所作图形；
(3)△OA1B1和△OA2B2是位似图形，点M为所求位似中心，点M的坐标为(−4,2).

21.解：作CE⊥AB于点E.
由作图和已知易得四边形CDBE是矩形．
∴CD=EB=1.2米，CE=DB=30米，
在Rt△ACE中，∠ACE=22∘，∠AEC=90∘，
∵tan∠ACE=AECE，
∴AE=CE⋅tan∠ACE=30×tan22∘≈12.1，
∴AB=AE+EB≈12.1+1.2=13.3(米).
22.(1)证明：∵AE⊥CD，∠ACB=90∘，
∴∠AHC=∠ACB=90∘，
∴∠ACH+∠CAH=90∘，∠ACH+∠ECH=90∘，
∴∠CAH=∠HCE，
∵AD=DB，
∴CD=DA=DB，
∴∠HCE=∠B，
∴∠CAH=∠B，
∴△ACH∽△BAC，
∴AHBC=ACAB，
∴AH⋅AB=AC⋅BC；
(2)解：∵AH=2CH，
∴可以假设CH=m，则AH=2m，AC= 5m，
∴sin∠CAH=CHAC= 55，
∵∠B=∠CAH，
∴sinB= 55.
23.解：(1)设游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率为x，
由题意得：5(1+x)2=7.2，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不符合题意，舍去)，
答：游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率为20%；
(2)设售价降低a元，则每天售出(500+a0.5×25)个，
由题意得：(10−5−a)(500+a0.5×25)=1800，
解得：a1=2，a2=−7(不符合题意，舍去)，
答：售价应降低2元．
24.解：(1)∵−4x2+6x−3=y，即−4x2+6x−3−y=0，
∴Δ=36−16(3+y)≥0，
∴y≤−34，即y的最大值是−34；
又令y=−34，则−4x2+6x−3=−34，
∴x=34.
∴当x=34时，y取最大值，最大值是−34；
(2)∵y=x2−2x+3x2−4x+4，
∴y(x2−4x+4)=x2−2x+3，即(y−1)x2+(4y−2)x+3−4y=0，
∴Δ=(4y−2)2−4(1−y)(3−4y)≥0，
∴y≥23，即y的最小值是23，
∴当y=23时，13x2+23x+13=0，
∴x=−1(经检验符合题意)，
∴y的最小值是23；
∴当x=−1时，y取最小值，最小值是23；
(3)设BD=x，则BC=x+1，
∴AD2=AB2+BD2=(x+1)2+x2，DE2=AD2+AE2=(x+1)2+x2+1，
∴DEBC= 2x2+2x+2x+1，
设y=(DEBC)2，即y=2x2+2x+2x2+2x+1，
∴(2−y)x2+(2−2y)x+2−y=0，
∴Δ=(2−2y)2−4(2−y)(2−y)≥0，解得y≥32.
∴(DEBC)min= ymin= 62.
又将y=32代入方程得：12x2−x+12=0，
∴x1=x2=1(经检验符合题意)，
∴当BD=1时，DEBC取最小值，最小值是 62.
25.解：(1)①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=∠ABC=∠BCD=90∘.AB//CD，AD//BC.
∴∠A=∠ADQ，∠APM=∠DQM.
∵M是AD边的中点，
∴AM=DM.
在△APM和△QDM中
∠A=∠ADQ∠APM=∠DQMAM=DM，
∴△APM≌△QDM(AAS)，
∴PM=QM.
∵MN⊥PQ，
∴MN是线段PQ的垂直平分线，
∴PN=QN；
②PMPN=35是定值
理由：作ME⊥BC于E，
∴∠MEN=∠MEB=90∘，∠AME=90∘，
∴四边形ABEM是矩形，∠MEN=∠MAP，
∴AB=EM.
∵MN⊥PQ
∴∠PMN=90∘，
∴∠PMN=∠AME，
∴∠PMN−∠PME=∠AME−∠PME，
∴∠EMN=∠AMP，
∴△AMP∽△EMN，
∴AMEM=PMMN，
∴AMAB=PMMN.
∵AD=6，M是AD边的中点，
∴AM=12AD=3.
∵AB=4，
∴PMMN=34.
在Rt△PMN中，设PM=3a，MN=4a，由勾股定理，得
PN=5a，
∴PMPN=35；
(2)如图2，作BF⊥PN于F，CG⊥QN于G，作中线BS、CT，
∴∠BFS=∠CGT=90∘，BS=12PN，CT=12QN，
∵PN=QN，S△PBN=S△NCQ，
∴BF=CG，BS=CT.
在Rt△BFS和Rt△CGT中
BS=CTBF=CG，
∴Rt△BFS≌Rt△CGT(HL)，
∴∠BSF=∠CTG
∴∠BNP=12∠BSF=12∠CTG=∠CQN，
即∠BNP=∠CQN.
在△PBN和△QCN中
∠BNP=∠CQN∠PBN=∠NCQPN=QN，
∴△PBN≌△NCQ
∴BN=CQ，
∴设AP=x.则BP=4−x，QC=4+x，则CN=6−(4+x)=2−x，
∵4−x≠2−x，∴不合题意，舍去；
如图3，作BF⊥PN于F，CG⊥QN于G，作中线BS、CT，
∴∠BFS=∠CGT=90∘，BS=12PN，CT=12QN，
∵PN=QN，S△PBN=S△NCQ，
∴BF=CG，BS=CT.
在Rt△BFS和Rt△CGT中
BS=CTBF=CG，
∴Rt△BFS≌Rt△CGT(HL)，
∴∠BSF=∠CTG
∴∠BNP=12∠BSF=12∠CTG=∠CQN，
即∠BNP=∠CQN.
在△PBN和△QCN中
∠BNP=∠CQN∠PBN=∠NCQPN=QN，
∴△PBN≌△QCN
∴PB=NC，BN=CQ.
∵AP=DQ
∴AP+BP=AB=4，AP+4=DQ+CD=BC+CN=6+BP
∴AP−BP=2
∴2AP=6
∴AP=3.