山东省青岛第六十八中学2025_2026学年高一上学期12月质量检测数学试卷（含解析）

这是一份山东省青岛第六十八中学2025_2026学年高一上学期12月质量检测数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.
【详解】由题意可得：，则.
故选：A.
2. 方程的解所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】令，则利用函数零点的判定定理求得函数的零点所在区间即可．
【详解】解：令，则为连续函数，
又因为，，，
所以方程的解所在区间为，，
故选：．
3. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较.
【详解】因为，，，
所以，
故选：B
4. 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示，用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中弧与弦AB围成的弓形的面积为（ ）
A. B. 8C. D.
【正确答案】C
【分析】根据弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积，结合扇形的面积公式即可得解.
【详解】由题意，
在中，，
即，解得，
故，所以，
因此.
故选：C.
5. 若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】先将条件转化为，使成立，再参变分离构造函数，转化为最值问题，求导确定最值即可求解.
【详解】若“，使成立”是假命题，则“，使成立”是真命题，即，；
令，则，则在上单增，，则.
故选：C.
6. 设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】先利用韦达定理建立和的方程，结合平方关系，即可求得的值；通过平方关系和象限分析，即可求得的值；将和联立，求得和的值，根据商数关系即可求得的值；由平方差公式，可得，将和代入，即可求得的值.
【详解】已知，是方程的两根，则有，
又由，
得，解得，故A错误；
又，则，又，所以，
所以，
又，，所以，则，故B错误；
又，解得，
所以，故C错误；
所以，故D正确.
故选：D
7. 若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
8. 设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】令，分析函数的奇偶性与单调性，计算可得出，然后分情况解不等式，即可得出原不等式的解集.
【详解】对任意的，且，都有不等式，
不妨设，则，
令，则，即函数在上为增函数，
因为函数的定义域上是奇函数，即，
则，所以偶函数，
所以函数在上为增函数，在上为减函数，
因为，则，
当时，即时，
由可得，
则，解得，
当时，即时，
由可得，
则，解得，
综上：不等式的解集是.
故选：C.
思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下：
（1）先分析出函数在指定区间上的单调性；
（2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域；
（3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若，则下列命题正确的是（ ）
A. 若且，则B. 若，则
C. 若，则D. 若且，则
【正确答案】BC
【分析】利用赋值法及不等式的性质逐项判断即可.
【详解】对于A，若且，当，时，则，故A错误；
对于B，，
因为，所以，，
所以，即，故B正确；
对于C，若，则，则，
当时，，所以，故C正确；
对于D，若且，
因为，所以，必为一正一负；
又，所以，，
当时，；
当时，则，故D错误.
故选：BC.
10. 下列四个选项，正确的有（ ）
A. “点在第三象限”是“是第二象限角”的必要不充分条件
B. 已知扇形OAB的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为
C. 若角的终边经过点，则
D.
【正确答案】BD
【分析】根据三角函数在各个象限的正负，扇形周长和面积的计算公式，三角函数的定义，三角函数值的正负，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：由点在第三象限，可得，则属于第二或者第四象限，，则属于第二或者第三象限或角度终边落在轴的负半轴上，
故属于第二象限，即点在第三象限是是第二象限角充分条件，故A错误；
对B：设扇形的圆心角为，半径为，圆心角所对的弧长为，
则，，解得或，当时，而此时圆的面积,不合题意，
所以，又，即，解得，故B正确；
对C：根据题意可得，故C错误；
对D：因为，，故，
故，故D正确.
故选：BD.
11. 某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，则（ ）
A.
B. ，都有
C. 的值域为
D. ，都有
【正确答案】ABD
【分析】A.直接验证；B.由 判断；C. 由 判断，D.由时， ，作差法判断.
【详解】因为函数，
A.，故正确；
B. ，易知在上递减，
所以，都有，故正确；
C. 当时，；当时，，所以 ，故错误；
D. 当时，，
要证明，都有，
即证明，
化简得，
即证明，即证明，
因为，
所以不等式恒成立，故D正确；
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 计算______.
【正确答案】
【分析】对数、根式与指数的运算法则化简即可.
【详解】原式，
故答案为.
13. 已知函数在上单调递增，则a的取值范围是______．
【正确答案】
【分析】分段函数在上单调递增需满足每一段上单调递增，再结合分段处函数值比较列出不等式求解即得.
【详解】当时，都是增函数，
则在上为增函数，
故在R上单调递增，需满足，解得.
故
14. 已知函数 其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.
【正确答案】
【详解】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则，解得，故m的取值范围是.
【考点】分段函数，函数图象
【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （1）角以x轴正半轴为始边，终边落在如图阴影部分（包括边界）内，请用弧度制写出角的集合；
（2）已知角是第三象限角，且，求，的值；
（3）已知，求的值．
【正确答案】（1）；
（2），；
（3）.
【分析】（1）根据任意角的概念和阴影部分表示的角，数形结合求出答案；
（2）利用同角三角函数关系和商数关系求解即可；
（3）利用齐次化求解即可.
【详解】（1）角以x轴正半轴为始边，终边落在如图阴影部分（包括边界）内，用弧度制写出角的集合为；
（2）因为角是第三象限角，且，
所以，
；
（3）
16.
已知函数，
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并给予证明；
（3）求不等式的解集.
【正确答案】（1）；（2）函数为奇函数；（3）.
【分析】（1）真数位置大于0，得到的取值范围；（2）得到，然后判断与的关系，从而得到函数的奇偶性；（3）根据题意得到关于的不等式，从而得到的解集.
【详解】解：（1）真数部分大于零，即解不等式，
解得,
函数的定义域为.
（2）函数为奇函数，
证明：由第一问函数的定义域为，
，
所以函数为奇函数.
（3）解不等式，
即
即，
从而有，
所以.
不等式的解集为.
本题考查函数的定义域，奇偶性，根据函数的性质解不等式，属于简单题.
17. 水葫芦原产于巴西能净化水质蔓延速度极快，在巴西由于受生物天敌的钳制，仅以一种观赏性的植物分布于水体.某市2018年底，为了净化某水库的水质引入了水葫芦，这些水葫芦在水中蔓延速度越来越快2019年一月底，水葫芦覆盖面积为，到了四月底测得水葫芦覆盖面积为，水葫芦覆盖面积（单位：），与时间（单位：月）的关系有两个函数模型且与可供选择.
（1）分别求出两个函数模型的解析式
（2）今测得2019年5月底水葫芦的覆盖面积约为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型求水葫芦覆盖面积达到的最小月份. 参考数据：，
【正确答案】（1），．
（2）
【分析】（1）依题意函数过点和，根据所选模型利用待定系数法计算可得；
（2）将代入（1）中函数解析式，求出预测值，即可判断更合适的模型，可得，两边取对数，最后根据对数的运算性质求出的范围，即可得解.
小问1详解】
解：依题意函数过点和，
若选择模型，
则，解得，，
故函数模型为．
若选择模型，
则，解得，，
故函数模型为．
【小问2详解】
解：若选择模型，即，当时，
若选择模型，即，当时，
因为，所以更合适，
令，则，两边取对数可得，
则，
所以水葫芦覆盖面积达到的最小月份是月份.
18. 已知奇函数的定义域为.
（1）求实数的值；
（2）判断函数的单调性，并用定义证明；
（3）当时，恒成立，求的取值范围．
【正确答案】（1），
（2）函数在上单调递增，证明见解析
（3）
【分析】（1）根据求得，再根据定义域关于原点对称求解；
（2）利用定义法证明函数的单调性；
（3）令，，转化为在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得解.
【小问1详解】
为定义域为的奇函数，
，即，
，整理得，，解得，
故，
函数的定义域为，则，解得，
所以，；
【小问2详解】
由（1）可知，，则函数在上单调递增．
证明如下：任取，且，
则，
，又，
在上单调递增；
【小问3详解】
当时，，由可得，
即当时，，令，
则，
又，当且仅当时等号成立，所以，
则，
实数m的取值范围．
19. 某小组为了加深奇函数的理解，讨论提出了“局部奇函数”和“广义奇函数”两个概念：
①若在定义域内存在实数，满足，则称“局部奇函数”；
②函数的定义域为，如果存在实数使得对任意满足且的实数恒成立，则称为“广义奇函数”．
（1）若，判断是否为“局部奇函数”，并说明理由；
（2）判断函数是否为“广义奇函数”，如果是，求出对应的实数，如果不是，请说明理由；
（3）已知实数，对于任意的实数，函数都是定义域为的“局部奇函数”，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）为局部奇函数，理由见解析
（2）是“广义奇函数”，
（3）
【分析】（1）利用局部奇函数的定义列式求解并判断.
（2）利用广义奇函数的定义计算，进而确定值即可.
（3）利用局部奇函数的定义列式，整理得在上有解，再确定函数的值域，借助集合的包含关系求解.
【小问1详解】
函数的定义域为，
由局部奇函数定义，得，即，
解得，而，所以为局部奇函数.
【小问2详解】
假设函数是“广义奇函数”，
，令，解得，
此时，，
所以是“广义奇函数”，且．
【小问3详解】
由，得在上恒成立，
由对于任意的，函数都是定义域为上的“局部奇函数”，
得对于任意的在上有解，
即上有解，
整理得：在上有解，
因此的值域是的值域的子集，
由，得的值域是，令，则，
在上单调递减，
则当时，，当时，，
因此，解得：，
所以实数的取值范围.
方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.