江苏省苏州市吴江区吴江高级中学2025_2026学年高二上学期12月月考数学试卷（含解析）

这是一份江苏省苏州市吴江区吴江高级中学2025_2026学年高二上学期12月月考数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了故选D等内容，欢迎下载使用。
（本试卷满分150分，考试用时120分钟）
注意事项:
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1.本试卷共4页，本卷满分为150分.考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回，试卷保留，以待讲评.
2.答题前，请您务必将自己的姓名、班级号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写答题卡上.写在本试卷上无效.
4.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若椭圆的一个焦点是，则实数（ ）
A. B. 1C. 15D. 25
【正确答案】B
【分析】先将椭圆化成标准式，再结合焦点坐标求解即可
【详解】由得，又椭圆的一个焦点为，故，解得
故选：B
本题考查由椭圆方程求解参数值，关键是将椭圆方程化成标准式，看清焦点在哪个轴上，属于基础题.
2. 已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据题意，结合双曲线的定义，求出、、，即可求解.
【详解】由题意知，轨迹应为以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线的右支．由c＝5，a＝3，知b2＝16，因此M点的轨迹方程为．
故选：D.
3. 抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A. 1B. 2C. D. 4
【正确答案】B
【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.
【详解】抛物线的焦点坐标为，
其到直线的距离：，
解得：(舍去).
故选：B.
4. 已知方程表示双曲线，则实数k的取值范围是（ ）
A. （﹣1，1）B. （0，+∞）
C. [0，+∞）D. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【正确答案】A
【分析】根据双曲线的标准方程特点可得，即可得到答案.
【详解】∵方程表示双曲线
∴
∴
故选：A．
5. 椭圆的焦点为，点为椭圆上的动点若为钝角，点的横坐标的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据椭圆方程，得到，，设，根据为钝角，推出，再由集合椭圆的方程，即可求出结果.
【详解】因为，为椭圆的两焦点，则，，
设，则，，
因为为钝角，
所以，
又∵，∴，
∴.
故选：B.
本题主要考查求椭圆上点的横坐标的范围，涉及向量数量积的坐标表示，属于常考题型.
6. 设，是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的焦距为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】
根据题中条件，不妨设P是双曲线右支上一点，由双曲线的定义可得，，得出为最小边，的最小内角，结合余弦定理，即可求出结果.
【详解】因为，是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足，
不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知，
所以，，因为，，所以，
所以为最小边，的最小内角，
由余弦定理可得，，
即，，，
所以.
故选：D.
本题主要考查求双曲线的焦距，熟记双曲线的定义，以及双曲线的简单性质即可，属于常考题型.
7. 已知直线与抛物线相交于A、B两点，F为C的焦点，若,则k=
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】将y=k(x+2)代入y2=8x,得
k2x2+(4k2-8)x+4k2=0
设交点的横坐标分别为xA,xB,
则xA+xB=-4,①
xA·xB=4.
又|FA|=xA+2,|FB|=xB+2,
|FA|=2|FB|,
∴2xB+4=xA+2.
∴xA=2xB+2.②
∴将②代入①得xB=-2,
xA=-4+2=-2.
故xA·xB==4.
解之得k2=.
而k>0,∴k=,满足Δ>0.故选D.
8. 已知，为双曲线的两个焦点，过原点的直线交双曲线于P，Q两点，若，，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
【正确答案】A
【分析】根据双曲线的对称性和已知条件得到四边形的性质，再由双曲线的定义和已知条件得到与的不等式，在中利用勾股定理求出离心率.
【详解】连接，
因为关于原点对称，且关于原点对称，
所以四边形是平行四边形，
又因为，则四边形为矩形，
则，
因为，
由双曲线的定义得，
则，，
在中，由勾股定理得，，即，
所以双曲线的离心率为.
故选：A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，错选得0分.
9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆M与坐标轴分别交于A，B，C，D四点，且从，，A，B，C，D这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M的离心率的可能取值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】BC
【分析】根据椭圆的几何性质，结合已知条件找出所有可能构成直角三角形的情况，计算相应的离心率值，从而判断选项．
【详解】
如上图所示，直角可能性有5种，即①，
②，③，
④，⑤，
当①时，需满足，即，此时，，故B正确；
当②时，需满足，
即，解得，
，，解得，故C正确；
当③时，需满足，解得，
，不合题意，舍去；
当④时，需满足，解得，，
解得；
当时⑤，需满足，解得，
，不合题意，舍去；
综上，离心率的可能值为或，故BC正确．
故选：BC．
10. 平面直角坐标系中，直线与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，P是异于A，B的双曲线上一点，则下列判断正确的是（ ）
A. 双曲线的离心率e的范围是
B. 双曲线的离心率e的范围是
C. 直线PA，PB的斜率分别是，，则
D. 双曲线上存在点P，使得
【正确答案】BCD
【分析】由题意可得，求出离心率的范围，即可判断A，B；设，，由对称可得，求出的值，即可判断C；当或时，满足，即可判断D.
【详解】因为双曲线的渐近线方程为，
则，所以，
所以，
所以，
即双曲线的离心率e的范围是，故A错误，B正确；
对于C，设，，
因为直线与双曲线都关于原点对称，
所以点，也关于原点对称，
所以，
所以，，
所以
，故C正确；
对于D，当时，则有，
所以，
所以，
又因为P是异于A，B的双曲线上一点，
所以当或时，成立，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知过点的抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为E，过焦点F作两条互相垂直的直线分别交于和四点，则下列说法正确的有（ ）
A. 若直线的斜率为1，则
B. 若点平分弦，则直线的方程为
C. 的最小值为
D. 若，则
【正确答案】ACD
【分析】根据已知条件先求出抛物线的方程，再设出四点的坐标.对于A，先求出直线的方程，与抛物线方程联立后根据韦达定理可得的值，由抛物线的定义可得；对于B，由直线过，可得直线的斜率，从而得直线的方程；对于C，设出直线的斜率，从而得其方程，联立方程可得，同理可得，根据抛物线的定义可将表示为的函数，根据基本不等式可求得最值；对于D，根据得到的一个关系式，又点的坐标满足抛物线方程，联立解得，根据韦达定理可求得，从而根据抛物线的定义可得.
【详解】将点的坐标代入抛物线的方程得
，解得，所以抛物线，则.
由题意知直线的斜率均存在，设，如图.
对于A，因为直线过，且斜率为1，所以直线的方程为，
由消去得，所以，
由抛物线的定义可得，故A正确；
对于B，因为直线过，，所以，
所以直线的方程为，即，故B错误；
对于C，设直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的方程为，
由消去得，所以，
同理可得，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，故C正确；
对于D，因为，即，所以，
又，
所以，即，
代入得，解得（负值舍去），
由选项C知，所以，
所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 双曲线的顶点到其渐近线的距离为__________．
【正确答案】##
【分析】根据题意得双曲线的顶点为，渐近线方程为，进而根据点到直线的距离求解即可.
【详解】解：根据题意得双曲线的顶点为，渐近线方程为，
根据对称性，不妨取顶点，渐近线方程为，
所以顶点到渐近线方程为的距离为
双曲线的顶点到其渐近线的距离为
故
13. 已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，若，则_________
【正确答案】
【分析】由题意可知直线的斜率存在，设出直线方程：，与抛物线联立，设出交点坐标，利用韦达定理可得，再根据，可得，从而可求出，进而求出
【详解】过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,且,
则直线的斜率存在，设直线为，且
所以 ，整理可得，
设，则，且（1）
由，则 （2）,
将（1）（2）联立可求出或（舍去）
所以.
故
思路点睛：解决直线与抛物线的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；
（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
14. 设分别为圆和椭圆上的点，则两点间的最大距离是_________.
【正确答案】
【分析】求得圆心坐标和半径，设出椭圆上任意一点的坐标，利用，表示椭圆上的点到圆上点的最大距离的表达式，再利用三角函数与二次函数结合，求得这个表达式的最大值.
【详解】依题意可知圆心，半径是.设椭圆上任意一点的坐标为，此时点到圆上的点的最大距离为，即，化简得，对称轴时，取得最大值为.
本小题主要考查圆和椭圆的位置关系，考查圆外一点到圆上的点的最大距离的表示，考查三角换元的思想方法以及化归与转化的数学思想方法.圆的标准方程给定，那么圆心和半径就确定下来.圆外一点和圆上点的距离的最大值和最小值，转化为圆外的点到圆心的距离加上半径和减去半径来表示.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在平面直角坐标系中，已知点，，关于直线的对称点分别是，，.
（1）求以，为焦点，且过点P的双曲线的标准方程；
（2）求以，为焦点，且过点的椭圆的标准方程.
【正确答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）根据已知条件可知半焦距及焦点的位置，设出双曲线的方程，由点在双曲线上及的关系可列方程组，从而得解；
（2）先求出，，的坐标，从而可知半焦距及焦点的位置，设出椭圆的方程，由点在椭圆上及的关系可列方程组，从而得解.
【小问1详解】
因为双曲线的焦点分别为，，
所以焦点在轴上，且半焦距，
可设双曲线的标准方程为，
又双曲线过点，所以，解得，
所以双曲线的标准方程为.
【小问2详解】
因为关于直线对称的点的坐标关系是横纵坐标互换，
所以，，关于直线的对称点分别是，，.
因为椭圆的焦点分别为，，
所以焦点轴上，且半焦距，
可设椭圆的标准方程为，
又椭圆过点，所以，解得，
所以椭圆标准方程为.
16. 已知抛物线：上有一点.
（1）求抛物线的标准方程及其准线方程；
（2）过点的直线交抛物线C于A，B两点，为坐标原点，记直线OA，OB的斜率分别为，，求证：为定值.
【正确答案】（1）抛物线：，准线方程为：
（2）证明见解析
【分析】(1)根据抛物线C所过的点即可求出C的方程及其准线方程.
(2)设出直线AB方程，与抛物线C的方程联立，借助韦达定理即可计算作答.
【小问1详解】
因抛物线：过点，则有，解得，
所以抛物线的标准方程是：，准线方程为.
【小问2详解】
依题意，过点的直线AB不垂直于y轴，设直线AB方程为，
由消去x并整理得：，设，则，，
于是得，
所以为定值.
17. 已知双曲线C的方程为.
（1）求与双曲线C有公共渐近线，且过点的双曲线标准方程；
（2）当过点的直线与双曲线C有两个公共点时，求直线斜率取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据公共渐近线的性质直接求解；
（2）根据直线与曲线有两个公共点时，，解不等式即可.
【小问1详解】
解：由已知可设双曲线方程为，
又双曲线过点，即，解得，
故双曲线方程为，即；
【小问2详解】
解：设直线的方程为，即，
联立得，
，
解得：且，
综上所述.
18. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点P是C上一点，，且的面积为3．
（1）求C的方程．
（2）过的直线l与C交于A，B两点，与直线交于点D，设，直线，，的斜率分别为，，，证明：为定值．
【正确答案】（1）
（2）证明见解析
【分析】（1）利用椭圆的定义和基本性质，利用已知条件结合离心率构造方程求出，进而求出椭圆方程；
（2）设直线的方程，结合斜率公式得出，联系直线与椭圆，结合韦达定理得出，进而求出为定值，从而证明结论．
【小问1详解】
，，
，的面积为，即，
由椭圆的定义可知，，
由勾股定理得，
，
，即，
，
，
椭圆的方程为．
【小问2详解】
设过的直线的方程为，，
，故，
联立直线与椭圆，整理得，
设，由韦达定理得，
，
，
为定值．
19. 等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线上.
（1）求抛物线E的方程；
（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线相交于点Q.证明：以PQ为直径的圆恒过某定点.
（注：以抛物线上一点为切点的切线方程为）
【正确答案】（1）
（2）证明见解析
【分析】（1）设出的坐标为，然后代入点结合抛物线方程计算求参，求得抛物线方程；
（2）结合已知得出切线斜率进而得出l的方程，联立直线方程和，求出，向量的数量积为0证得答案，并求得的坐标．
【小问1详解】
依题意，，
设，则，，
因为点在上，所以，解得，
故抛物线E的方程为．
【小问2详解】
设，由已知抛物线上一点为切点的切线方程为，
又因为动直线l与直线相交于点Q，则，
则l的方程为，
由，得所以，
由对称性知，以PQ为直径的圆所过定点在轴上，设为，
令对满足且 的点恒成立．
由于，，
由，得，
即 (*)，
由于(*)式对满足且 的恒成立，
所以，解得，
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点．