江苏省苏州市工业园区苏州大学附属中学2025_2026学年高一上学期12月月考数学试卷（含解析）

这是一份江苏省苏州市工业园区苏州大学附属中学2025_2026学年高一上学期12月月考数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单项选择，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择：本题共8小题，每小题5分，共0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，集合，，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解即得.
【详解】全集，由，得，又，
所以.
故选：C
2. 若命题，，则p的否定是（）
A. ,B. ，
C. ，D. ，
【正确答案】D
【分析】含有一个全称量词否定，将全称量词改为存在量词再把结论否定即可.
【详解】命题，，则p的否定是，
故选：D
3. 的值是（）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】先利用诱导公式将转化为锐角三角函数，再根据特殊角的三角函数数值求解.
【详解】
故选：
4. “为第一或第四象限角”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】根据轴正半轴上的角的余弦值也大于0以及充分条件、必要条件的定义可得答案.
【详解】当为第一或第四象限角时，，
所以“为第一或第四象限角”是“”的充分条件，
当时，为第一或第四象限角或轴正半轴上的角，
所以“为第一或第四象限角”不是“”的必要条件，
所以“为第一或第四象限角”是“”的充分不必要条件.
故选：A
5. 某数学兴趣小组为研究指数函数的“爆炸性增长”进行了折纸活动.一张纸每对折一次，纸张变成两层，纸张厚度会翻一倍.现假定对一张足够大的纸张（其厚度等同于0.0766毫米的胶版纸）进行无限次的对折.借助计算工具进行运算，整理记录了其中的三次数据如下：
已知地球到月亮的距离约为38万公里，问理论上至少对折（）次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距离.
A. 41B. 43C. 45D. 47
【正确答案】B
【分析】设至少对折次，纸张厚度超过38万公里，由题意可得关于的不等式，根据指数函数的性质解不等式即可.
【详解】设，则由题意(万公里)，
设至少对折次，纸张厚度超过38万公里，
则，
因为，函数在上单调递增，
所以，
所以理论上至少对折43次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距离.
故选：B.
6. 已知的定义域为A，集合，若，则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】先根据二次不等式求出集合A，再分类讨论集合B，根据集合间包含关系即可求解.
【详解】的定义域为A，
所以，
所以或，
①当时，,
满足，
所以符合题意；
②当时，
，
所以若，
则有或，
所以或（舍）
③当时，
，
所以若，
则有或（舍），
，
综上所述，，
故选：B.
7. 已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】由条件知，，可得m＝1．再利用函数的单调性，分类讨论可解不等式.
【详解】幂函数在上单调递减，故，解得．又，故m＝1或2．
当m＝1时，的图象关于y轴对称，满足题意；
当m＝2时，的图象不关于y轴对称，舍去，故m＝1．
不等式化为，
函数在和上单调递减，
故或或，解得或．
故应选：D．
8. 已知，，，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用临界值结合对数的运算性质及对数函数性质判断即可.
【详解】由题意结合对数的运算性质得，，
，
因为函数在定义域内单调递增，
而，所以，
所以，即，
因为函数在定义域内单调递增，
而，所以，即，
所以.
故选：C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的有（）
A. 若角与角不相等，则与的终边不可能重合
B. 终边落在直线上的角的集合是
C. 若为第二象限角，则
D. 函数的定义域为
【正确答案】BCD
【分析】由任意角的定义，终边相同角，象限角的定义，正切函数定义域进行判断即可.
【详解】对于选项，如，两角不相等，但是终边重合，故错误.
对于选项，终边落在直线上的角，
在第一象限的角为，在第三象限的角为，
合在一起后为，故正确.
对于选项，若为第二象限角，则，
所以，
当为偶数时，在第一象限；
当为奇数时，在第三象限，
第一，三象限的正切值均为正，故，故正确.
对于选项，令，得，故正确.
故选：
10. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）
A. B.
C. D.
【正确答案】BCD
【分析】对于ACD利用基本不等式即可证明，对于B利用等量替换即可求解.
【详解】由，当且仅当时成立，A错误；
由，得，故，B正确；
由，知，，当且仅当时成立，C正确；
，则，当且仅当时成立，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知定义在R上的函数满足对任意的实数x，y，均有，且当时，恒有，则（）
A.
B. 当时，函数为减函数
C. 当时，的图像关于点对称
D. 当时，若为二次函数，且则
【正确答案】ACD
【分析】利用赋值法可判断A；利用单调性的定义可判断B；由题意可得，可判断C；利用待定系数法求得，进而可判断D.
【详解】令，得，所以，故A正确；
当时，，所以，
，且，则，
又因为，所以，所以，所以，
所以，即，
所以函数为R上的单调递增函数，故B错误；
令，则可得，即，
所以，所以的图像关于点对称，故C正确；
当时，，
因为，所以，
所以
，
又，
所以，解得，所以，
又因为当时，恒有，即对恒成立，
所以对恒成立，所以.
所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知一个扇形的周长是，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是______.
【正确答案】2
【分析】利用扇形面积和周长公式，即可求解.
【详解】设扇形圆心角的弧度数为，半径为，
由题意知
故
13. 计算的值为______.
【正确答案】
【分析】利用指数幂的运算性质、对数恒等式以及对数换底公式计算可得结果.
【详解】原式.
故答案为.
14. 我们知道，设函数的定义域为I，如果对任意，都有，且，那么函数的图象关于点成中心对称图形．若函数的图象关于点成中心对称图形，则实数c的值为__________；若，则实数t的取值范围是__________．
【正确答案】 ①. 2 ②.
【分析】（1）根据题意可得即可求出c的值；（2）根据解析式判断函数的单调性，并根据不等式得，利用函数的对称性和单调性即可求解不等式.
【详解】因为函数的图象关于点成中心对称图形，
所以，
即，
即，所以，
所以在定义域上单调递减，
令，
因为函数的图象关于点成中心对称，
所以的图象关于对称，
且单调递减，
因为，即，
即，也即，
所以则解得或，
故实数t的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，集合
（1）若，求和.
（2）若，求实数a的取值范围.
【正确答案】（1），或
（2）.
【分析】（1）直接解出集合，再根据集合交并补即可得到答案；
（2）根据交集结果得，分和讨论即可.
【小问1详解】
因为，，所以，
所以，所以
①若，则，
，
因为或，所以或
【小问2详解】
若，则，
①当时，，解得，
②当时，，解得，
综上，实数a的取值范围为.
16. （1）已知角α终边经过点，求α的正弦值；
（2）已知，求的值；
（3）已知，，求的值．
【正确答案】（1）（2）1（3）
【分析】（1）根据三角函数的定义求解；
（2）由正余弦函数的齐次式化切即可得解；
（3）根据同角三角函数基本关系中的平方关系得解.
【详解】（1）已知角α的终边经过点，
所以，.
（2）因为,
所以.
（3）已知①，
所以，即，解得，
所以，
由，知②，
由①②可得，，
故的值为.
17. 为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度与时间t满足关系式：（，a为常数），若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度与时间t满足关系式：．现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．（注：4小时内意思是小于或等于4小时）．
（1）若，求4小时内，小白鼠何时血液中药物的浓度最高？并求出最大值；
（2）若使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4，求实数a的取值范围．
【正确答案】（1）时浓度最高，达到.
（2）
【分析】（1）求得，进而得小白鼠血液中药物的浓度，根据二次函数的性质与基本不等式求出最大值；
（2）由题意，分段讨论，根据函数的单调性及二次函数的性质求解.
【小问1详解】
时，，
则小白鼠血液中药物的浓度，
当时，，
当即时，；
当时，，
当即时，，
由于，故小白鼠在时，浓度最高，达到.
【小问2详解】
由题意可知，.
因为，
所以当时，可得恒成立，即，
在时单调递减，则，
所以；
当时，可得恒成立，即，
因为，
所以则当，即时，，所以.
又，综上可得.
18. 已知函数为偶函数．
（1）求实数的值；
（2）证明：在上单调递增；
（3）若，求x的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）证明见详解（3）
【分析】（1）利用函数奇偶性以及对数运算性质即可求解；
（2）先表示出函数的解析式，化简得出，令，利用定义证明在上的单调性，然后根据对数函数的单调性以及复合函数单调性判断即可；
（3）利用函数奇偶性结合单调性等价出不等式解出即可.
【小问1详解】
由，
所以
因为函数为偶函数，所以，
所以，
所以，
即，
因为，所以.
【小问2详解】
证明：由（1）得：，
即
，
令，
对，规定，
由
因为函数在单调递增，且，
所以，且，
即，
所以，
所以函数在上单调递增，
又函数在上单调递增，
所以在上单调递增，
【小问3详解】
因为函数是上单调递增的偶函数，
所以，
所以的解集等价于：
，
所以有：，
令，则，
所以，
解得：或，
即或，
解得：或，
所以不等式的解集为.
19. 已知函数，其中.
（1）判断的奇偶性（直接写出结论，不必说明理由）；
（2）证明：当时，；
（3）若函数有三个零点，求的取值范围.
【正确答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析（3）
【分析】（1）根据题意，分和，两种情况，结合函数奇偶性的定义，即可求解；
（2）根据题意，得到，分，和，三种情况讨论，分别得到，即可得证；
（3）设，问题可转化为函数有三个大于0零点，分，和，三种情况讨论，转化为在有且仅有1个零点，在上有且仅有2个零点，列出不等式组，即可求解.
【小问1详解】
当时，，其定义域为，且，
所以函数为偶函数；
当时，函数，可得且，
所以函数既不是奇函数又不是偶函数.
【小问2详解】
由函数，
可得，
当时，因为，，所以；
当时，；
当时，，
综上可得，当时，.
【小问3详解】
设，
因为是关于的单调增函数，问题可转化为函数有三个大于0的零点，
当时，，所以只有一个零点0，不符合题意；
当时，，所以无零点，不符合题意；
当时，，
因为的图象的对称轴为，所以在上递增，
所以在上至多有1个零点；
又因为的图象对称轴为，所以在上至多有2个零点，
问题等价于在有且仅有1个零点，在上有且仅有2个零点，
则满足，即，解得，
所以实数的取值范围为.
关键点睛：本题第3问解决的关键是先分析得，再分类讨论去掉绝对值，结合二次函数的性质与根的分布即可得解.
折纸次数
纸张厚度
参照物
22
321米
苏州东方之门高度约为301.8米
27
10281米
珠穆朗玛峰的高度约为8844米
38
2.1万公里
地球直径约为1.3万公里