江苏省连云港市东海县城北高级中学2025_2026学年高二上学期第二次月考数学试卷（含解析）

这是一份江苏省连云港市东海县城北高级中学2025_2026学年高二上学期第二次月考数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°
【正确答案】B
【分析】将直线方程化成斜截式，求得直线斜率，再由直线斜率与倾斜角的关系即可求得.
【详解】由可得，则直线的斜率为，
设该直线的倾斜角为，则，
因，则.
故选：B.
2. 过点且与直线平行的直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】设出直线方程再将点，即可求得结果.
【详解】过点且与直线平行的直线的方程设为：，
再将点代入得，解得：，故直线方程为.
故选：C
3. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由双曲线的方程可知，即可直接写出其渐近线的方程.
【详解】由双曲线的方程可知，根据渐近线方程公式，得到渐近线方程为.
故选：D.
4. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A. 52B. 104C. 112D. 120
【正确答案】A
【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质即可求解.
【详解】，
故选：A
5. 数列的通项公式是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据每一项的绝对值与该项序号的关系以及每一项的符号与该项序号的关系可以得到．
【详解】根据题意分子为，所以分子通项为，
分母为，所以分母通项为，
又数列除第一项外，奇数项为正，偶数项为负，符号满足，
综上，．
故选：D．
6. 已知圆，圆，则两圆的公切线的条数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【正确答案】B
【分析】
根据圆的方程，求得圆心距和两圆的半径之和，之差，判断两圆的位置关系求解.
【详解】因为圆，圆，
所以， ，
所以，
所以两圆相交，
所以两圆的公切线的条数为2，
故选：B
7. 已知是函数的导函数，且，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【正确答案】A
【分析】求导函数，令即可求解.
【详解】由，可得，
故，解得.
故选：A.
8. 如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截口曲线是一个椭圆，，为该椭圆的焦点，为椭圆上任意一点.若圆柱的底面圆半径为1，，则下列结论不正确的是（ ）

A. 椭圆的长轴长为4B. 椭圆的离心率为
C. 满足的点共有4个D. 的最大值为8
【正确答案】D
【分析】根据给定图形，求出椭圆长、短半长轴、，再逐项计算、判断作答.
【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，
椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，
则由截面与圆柱底面成锐二面角，得，故A选项正确；
显然，，解得，则，离心率，故B选项正确；
以椭圆的对称中心为圆心，为半径作圆，由，可知与椭圆有4个交点，所以满足的点共有4个，故C选项正确；
由椭圆定义，可得，根据不等式，可得，解得，当且仅当时，取得最大值，故D选项错误.
故选：D.
二、多选题（每题6分，共18分）
9. 下列选项中的式子求导正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【正确答案】BCD
【分析】分别利用求导公式和运算法则逐一计算四个选项，即可得正确选项．
【详解】选项A∶，故选项A错误；
选项B∶，故选项B正确；
选项C∶，故选项C正确；
选项D∶，故选项D正确．
故选：BCD
10. 已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，曲线为直线
B. 当时，曲线为焦点在轴上的椭圆
C. 当时，曲线为焦点在轴上的双曲线
D. 曲线不可能是圆
【正确答案】ABC
【分析】由直线，椭圆，双曲线，圆方程的特点逐项判断即可.
【详解】A选项：当时，曲线的方程为，即，故曲线为直线，正确．
B选项：当时，方程可化为，由，可知曲线为焦点在轴上的椭圆，正确．
C选项：当时，方程可化为，由，可知曲线为焦点在轴上的双曲线，正确．
D选项：当时，方程可化为，可知曲线为以原点为圆心，以为半径的圆，D错误．
故选：ABC．
11. 已知数列的前项和为，且满足，则（ ）
A. B.
C. 为递减数列D.
【正确答案】AD
【分析】令，计算可判断A；当，可得，两式相减可求得通项公式判断B；由，可判断C；利用错位相减法可求得可判断D.
【详解】当时，，故A正确；
当时，，又，
两式相减得，所以，
当时，适合上式，所以，故B错误；
所以，
所以，当时，，所以从第二项起是递减数列，故C错误；
，
所以，
两式相减得
所以，故D正确.
故选：AD.
三、填空题（每题5分，共15分）
12. 抛物线的准线方程是_______．
【正确答案】
【分析】将抛物线方程化成标准方程，判断焦点位置，求出焦准距，即得准线方程.
【详解】由可得，则抛物线的焦点在轴的正半轴上，且，
解得，故抛物线的准线方程为.
故答案为.
13. 已知为等比数列的前n项和，且，，则的值为_______．
【正确答案】4
【分析】根据等比数列的求和公式，即可利用比例求解.
【详解】由可知公比，
若,则公比,此时,这与条件矛盾，因此不等于0，因此，因此，
进而，解得或（舍去），
又，故，
故4
14. 如图，点分别是椭圆：的左、右焦点，是上两点，，且，则的离心率为__________.
【正确答案】
【分析】利用椭圆的定义设出焦半径，结合勾股定理列方程组，求得离心率.
【详解】如图，延长，交椭圆于点，连接.
设由知且，
由椭圆的定义可知.
又所以，所以所以由椭圆的定义可知.
因为，
所以中，由勾股定理得即.①
在中，由勾股定理得即整理得.
将代入①式得，整理得，所以离心率.
故答案为.
四、解答题（共77分）
15. 已知△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角A；
（2）若，，求的值．
【正确答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由条件等式，应用正弦定理的边角关系得，结合余弦定理可得，根据三角形内角的性质求A即可.
（2）由（1）所得，将已知a、b的值代入求c，再由余弦定理求即可.
【详解】（1）∵，
∴由正弦定理知：，即，
∴，又，
∴．
（2）∵，，且
∴，即，解得（舍去），
∴，
∴．
16. 已知直线与圆交于，两点，且.
（1）求的值；
（2）求过点的的切线方程.
【正确答案】（1）
（2）或
【分析】（1）将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，根据求出；
（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，解得即可.
【小问1详解】
圆即，
圆心为，半径，
则圆心到直线的距离，
又，所以，即，解得；
【小问2详解】
由（1）可得，则，即点在圆外，
当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意；
当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，即，
所以，解得，
所以切线方程为，即，
综上可得，过点的圆的切线方程为或.

17. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意结合等差数列通项公式列式求，即可得通项公式；
（2）由（1）可知：，利用错位相减法求和即可.
小问1详解】
设等差数列的公差为，
因为，则，
整理得，且，即．
又因为，则，
解得，所以．
【小问2详解】
由（1）可知：，
则，
．
两式相减得
，
所以．
18. 已知函数，其中.
（1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值；
（2）讨论函数的单调性.
【正确答案】（1）；
（2）答案见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合垂直关系求出值.
（2）分类讨论判断值的正负情况，求出函数的单调区间.
【小问1详解】
函数，求导得，
由曲线在点处的切线垂直于直线，得，
所以.
【小问2详解】
函数的定义域为，，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，方程中，，
若，则，，函数在上单调递增；
若，则，关于x的方程有两个正根，，，
当或时，；当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数的递增区间是；
当时，函数的递增区间是，递减区间是.
19. 已知双曲线 标准方程为 的左右顶点分别为 ，右焦点 ，离心率 .
（1）求双曲线 的方程及其渐近线方程；
（2）过点的直线 交双曲线 于 两点(点在第一象限)，记直线 斜率为 ，直线斜率为，求的值;
（3）过圆 上点 作圆 的切线 ，交双曲线 于 ， 两点，点 为弦 的中点，证明:
【正确答案】（1）双曲线方程为，渐近线方程为.
（2）
（3）证明见解析
【分析】（1）求出基本量后可得双曲线方程和渐近线方程；
（2）设，联立直线方程和双曲线方程消元后结合韦达定理可得，据此可求的值；
（3）设，，根据切线可得，联立直线方程和双曲线方程，结合弦长公式可证.
【小问1详解】
由焦点坐标可得，而，故，所以，
故双曲线方程为，渐近线方程为.
【小问2详解】
由题设斜率不为零，设，
由可得，
故且，
而，，
而.
【小问3详解】
由（1）可得圆，
若直线的斜率存在，设，，
因为为圆切线，故即，
由可得，
故
，
故，
而，故，
故，故，
当直线的斜率不存在时，或，
若，则，而，，
因，故，
同理可得若，也有，
故总成立.
思路点睛：圆锥曲线的定值问题，往往需要设出直线方程，然后联立直线方程和圆锥曲线方程，消元后结合韦达定理化简目标代数式，从而得到定值.