河南省南阳华龙高级中学2025_2026学年高一上学期12月月考数学试题 [含答案]

这是一份河南省南阳华龙高级中学2025_2026学年高一上学期12月月考数学试题 [含答案]，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
2．若，则的否定为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
4．若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，，则（ ）
A． B．C．D．
6．函数（）的所有零点之和为
A．B．C．D．
7．若，则“”是 “”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本题3小题，每题6分，共18分）
9．已知函数函数，则（ ）
A．函数的值域为
B．存在实数，使得
C．若恒成立，则实数的取值范围为
D．若函数恰好有5个零点，则函数的5个零点之积的取值范围是
10．已知若存在，使得，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．的最大值为1D．的取值范围为
11．已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程恰有三个互异的实数解，则实数的取值可以为（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本题3小题，每题5分，共15分）
12． .
13．对于函数，若存在，使 ，则称点与点是函数 的一对 “隐对称点”.若函数的图象存在 “隐对称点”，则实数 的取值范围是
14．已知幂函数在区间上单调递增，则 ．
四、解答题（本题5小题，共77分）
15．（本题13分）已知实数满足.
(1)若，求的值；（6分）
(2)若，求的值.（7分）
16．（本题18分）设函数.
(1)求当时，的解析式；（5分）
(2)判断的奇偶性，并证明；（6分）
(3)设，若，求的取值范围.（7分）
17．（本题19分）已知函数，设的反函数为.
(1)求的值；（6分）
(2)证明：函数在上单调递增；（7分）
(3)证明：函数仅有1个零点，且.（6分）
18．（本题14分）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克与施用肥料x（单位：（千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）．
(1)求的函数关系式；（6分）
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？（8分）
19．已知全集为，集合，集合.
(1)若，求：（7分）
(2)若，且，求实数的取值范围.（6分）2025-2026学年度高一上学期数学12月月考答案
1．B
【分析】根据根式和分式的意义列式求解即可.
【详解】令，解得，
所以函数的定义域为.
故选：B.
2．A
【分析】命题的否定：改量词，否结论
【详解】命题的否定为；
故选.
3．B
【分析】由集合的交运算求即可.
【详解】由题设，集合，，
所以.
故选：B
4．A
【分析】根据复合函数定义域的求法求解.
【详解】由题意得，，解得.
故选：A.
5．A
【分析】由>>0,>1，判断可得选项.
【详解】解：因为>>0,>1，所以，
故选：A．
6．C
【详解】试题分析：函数的零点等价于函数 和的图象在区间内的交点的横坐标．
由于两函数图象均关于直线对称，且函数 的周期为2，结合图象可知两函数图象在一个周期内有2个交点且关于直线对称，所以两交点横坐标之和为2，故其在三个周期即内的所有零点之和为，故选C．
考点：1函数零点；2转化思想．
7．A
本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
8．A
【分析】分别将,改写为，，再利用单调性比较即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：A.
【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
9．BD
【分析】根据分段函数的图象性质逐项判断即可.
【详解】解：对于A选项，画出函数的大致图象，如图所示，
可知函数的值域为，其中，故选项A错误；
对于B选项，若时，若，有，函数和的图象有交点，如图：
故选项B正确；
对于C选项，令，由，设，
①当时，，舍去；
②当时，，，可得，故选项C错误；
对于D选项，∵函数恰好有5个不同的零点，∴方程有5个根，可得，有或，不妨设，如图：
可知，可得，故，故选项D正确.
故选：BD．
10．ABD
【分析】选项A：利用对应时的函数式，结合对数运算性质，得出；选项B：是二次方程的根，通过韦达定理得；选项C：由韦达定理得（），其取值范围为，无最大值；选项D：将化为，结合得到和的表达式，构造函数并分析其单调性，求出取值范围.
【详解】画出的函数图象如图.
由图象可知，.
由题意可知，，
则，所以，故A正确；
是方程的两根，则，
故无最大值，故B正确，C错误；
由，即，得.
又，
在上单调递增，，
故，即，故D正确.
故选：ABD.
11．AB
【分析】本题首先可以根据题意绘出函数的大致图像，然后根据当时得出恰有三个互异的实数解需要满足，最后通过计算即可得出结果.
【详解】当时，
函数的大致图像如图所示：
因为当时，，
所以要存在实数a，使关于的方程恰有三个互异的实数解，
需要满足且，解得，
故选：A、B.
本题考查根据方程根的数目求参数，能否绘出函数的图像是解决本题的关键，考查数形结合思想，考查推理能力与计算能力，是中档题.
12．
【分析】根据题意，利用三角函数的诱导公式，准确运算，即可求解.
【详解】由三角函数的诱导公式，可得：

.
故答案为.
13．
【分析】由隐对称点的定义可知函数图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义将问题转化为方程的零点问题，再结合基本不等式即可得出实数的取值范围.
【详解】由隐对称点的定义可知函数图象上存在关于原点对称的点，
设的图象与函数的图象关于原点对称，
令，则，，
所以，
因为，又，
由题意得与在上有交点，即方程在上有根，
则，
又因为，当且仅当，
即时，等号成立，
所以，即．
故答案为.
14．
【分析】根据幂函数的定义和单调性列出关系式求解即可.
【详解】因为幂函数在区间上单调递增，
所以，解得.
故
15．(1)
(2)5
【分析】（1）根据一元二次方程的解法，结合c的范围，可得c值，根据指对互化的法则，即可求得答案.
（2）根据指对互化的法则，可得a，b，根据对数的运算性质，即可求得答案.
【详解】（1）因为，解得或，
因为，所以，
所以.
（2）因为，所以，
所以，
所以.
16．(1)
(2)是奇函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）令，则，可得，因为，且，进而求解时的解析式；
（2）根据解析式，且，即可直接判断该函数为奇函数；
（3）根据题意分析，等价于，，求出的解析式，即可得到其在内的最值，进而解出关于的不等式即可.
【详解】（1）由，
令，则，所以，
所以，
又，所以，
所以当时，.
（2）是奇函数.
由（1）知，时，，
则，即，
当时，，由（1）知，，
而，
故当时，，
且，则是奇函数.
（3）若，
则满足，，
由（1）知，，
所以时，；
当时，，；
当时，.
所以，
当时，的图像在上递减，在上递增，
且时，，时，，
所以当时，，
所以，，
所以，即，
所以或.
即的取值范围为.
17．(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据指数运算性质化简；
（2）分别求出，利用单调性的定义证明；
（3）由单调性及零点存在性定理证明仅有一个零点，由证明不等式.
【详解】（1）已知函数，
则
（2），因为是的反函数，
所以，所以，
任取，且，
则
，
因为函数在单调递增，，所以，
所以；
因为函数在单调递增，，所以，
所以，又，
所以，所以，
即，所以函数在上单调递增；
（3）由（2），
因为
，
又，
根据零点存在性定理，，使得.
又函数在都是增函数，
所以在是增函数，所以函数仅有一个零点，
因为，，
，所以
即.
18．(1)
(2)当时取得最大利润，最大利润为480元.
【分析】（1）利用销售额减去成本投入可得出利润解析式；
（2）利用分段函数的单调性及基本不等式计算最值即可.
【详解】（1）由已知
；
（2）由（1）得，
即由二次函数的单调性可知，当时，，
由基本不等式可知，当时，
，
当且仅当，即时取得最大值，
综上，当时取得最大利润，最大利润为480元.
19．(1)或，；
(2).
【分析】（1）把代入，分别解一元二次不等式化简集合，再利用交集、并集的定义求解.
（2）求出集合B,，再利用集合包含关系列式求解.
【详解】（1）解不等式，得，则，
当时，或，
所以或，.
（2）由（1）知或x≥5}，
由，得或，
由，得，
所以实数的取值范围是.