北京市首都师范大学附属中学2025_2026学年高一上学期12月阶段检测数学试题 [含答案]

这是一份北京市首都师范大学附属中学2025_2026学年高一上学期12月阶段检测数学试题 [含答案]，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，，若，则等于（ ）
A．B．2C．4D．
3．已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
4．设集合，，则集合等于（ ）
A．B．
C．D．
5．在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知，若实数满足，且，实数满足，那么下列不等式中，一定成立的是
A．B．C．D．
9．教室常常通风，有利于改善高三学习环境. 若教室内二氧化碳浓度在，则教室如同一般室外环境，若浓度介于之间，教室内则空气清新，呼吸顺畅，若高于浓度，则教室内空气浑浊，会使人开始觉得昏昏欲睡.经测定，某教室刚下课时，空气中二氧化碳浓度为，开窗通风后教室内二氧化碳浓度随时间(单位：分钟)的变化规律用函数（）描述，若要让教室内二氧化碳浓度低于，则至少要开窗通风（ ）分钟.（参考数据）
A．B．C．D．
10．已知函数，，其中表示，二者中的较大值，设，且对任意的，均存在，使得成立，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．计算： .
12．已知角的终边经过点，则 .
13．函数的单调增区间是 .
14．如图，在平面四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若（），则 ．
15．已知，若（），则的最小值为 .
16．设函数
（1）若，则的最小值为 ；
（2）若恰有2个零点，则实数的取值范围是 ．
三、解答题
17．已知不等式.
（1）求不等式的解集；
（2）若当时，不等式恒成立，求的取值范围.
18．已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且，.
（1）用定义证明：在上单调递增；
（2）求，，，；
（3）设，若在上有唯一的零点，求实数的取值范围.
答案
1．【正确答案】D
【详解】选项A：的定义域为，不关于原点对称，不具奇偶性，故A错误；
选项B：，不是偶函数，故B错误；
选项C：，是偶函数，因为在上单调递增，且恒大于0，
在上单调递减，故C错误；
选项D：，
当时，，根据对数函数性质知在内单调递增，故D正确．
故选D．
2．【正确答案】D
【详解】向量，，由，得，所以.
故选D
3．【正确答案】A
【详解】解：由题意，
，
在中，函数单调递增，且，
∴，
在中，函数单调递增，且当时，，
∴，
∴，
故选A.
4．【正确答案】C
【详解】因为函数是减函数，所以其值域为，即；
由函数是增函数，所以其值域为，即.
所以.
故选C.
5．【正确答案】C
【详解】因为在同一坐标系中，
所以的单调性一定相反，且图象均不过原点，故排除AD；
在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象，
由图象可知，所以单调递减，单调递增，故排除B，
故选C.
6．【正确答案】C
【详解】若，则存在唯一的实数，使得，
故，
而，
存在使得成立，
所以“”是“存在，使得’的充分条件，
若且，则与方向相同，
故此时，所以“”是“存在存在，使得”的必要条件，
故“”是“存在，使得”的充分必要条件.
故选C.
7．【正确答案】B
【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数和的图象如下图所示：
由图可知，当或时，两图象相交，
若的值域是，以实数为分界点，可进行如下分类讨论：
当时，显然两图象之间不连续，即值域不为；
同理当,值域也不是；
当时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是；
综上可知，实数的取值范围是.
故选B
8．【正确答案】B
【详解】∵在上是增函数，且，中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数；
即：；或
由于实数x0是函数的一个零点，
当时，
当 时，
故选B
9．【正确答案】C
【详解】由题知，当时，即，解得，所以，
令得，
所以要让教室内二氧化碳浓度低于，则至少要开窗通风分钟.
故选C
10．【正确答案】A
【详解】函数在上分别单调递减和单调递增，
则函数在上单调递减，而，
因此当时，，此时，
当时，，此时，
则函数在上的值域为；
由对任意的，均存在，使得成立，
则函数在上的值域是函数在上的值域的子集，
函数图象开口向下，对称轴为，，，而，
当时，，则；
当时，，则；
当时，，
因此，解得，
综上，实数的取值范围是，所以实数的最小值为.
故选A
11．【正确答案】11
【详解】原式
.
12．【正确答案】 /
【详解】依题意，，，
则
13．【正确答案】
【详解】由，所以或，
二次函数的对称轴为：，
所以二次函数的单调递增区间为，递减区间为，
而函数是正实数集上的减函数，
根据复合函数的单调性质可知：
函数的单调增区间为.
14．【正确答案】
【详解】试题分析：所以，则；
考点：1.平面向量的运算；2.平面向量基本定理；
15．【正确答案】
【详解】因为，且
不妨设，则一定有，
且
即，
即可得，
解得.
因为
故可得
当且仅当，且，
即时，取得最小值.
故的最小值为.
16．【正确答案】 或
【详解】（1）当时，
函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，
所以当时，取得最小值．
（2）①若函数的图象在时与轴有一个交点，则，
并且当时，，则，
函数的图象与轴有一个交点，所以且，则；
②若函数的图象与轴无交点，则函数的图象与轴有两个交点．
当时，的图象与轴无交点，的图象在时与轴无交点，不合题意；
当，即时，的图象与轴有两个交点，
即和，由于，两交点横坐标均满足．
综上所述，的取值范围为或．
17．【正确答案】（1）
（2）
【详解】（1）解：由不等式，可得，解得，
所以不等式的解集为.
（2）解：令，
则不等式恒成立，等价于，
设，可得，则，
又由的图象的开口向上，且对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，所以，
所以实数的取值范围为.
18．【正确答案】（1）见详解
（2）
（3）
【详解】（1）任取，且，
，
因为，所以，且，
因此，即，
所以在上单调递增；
（2）因为是奇函数，是偶函数，所以，
由①，得，即②，
①②得：，所以；
①②得：，所以，，
；
（3），
因为，所以，则可化为：，
对于，其中，
设且，
则，
因为且，所以，，
则，即在上单调递减，
所以在上单调递减，
因为在上有唯一零点，即在上有唯一零点，所以且：，
，
所以的取值范围是.