北京市海淀实验中学2025_2026学年高一上学期12月学科展示数学试题 [含答案]

这是一份北京市海淀实验中学2025_2026学年高一上学期12月学科展示数学试题 [含答案]，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
4．从2015年到2020年，某企业通过持续的技术革新来降低其能源消耗，到了2020年该企业单位生产总值能耗降低了20%.如果这五年平均每年降低的百分率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数满足性质：①在定义域上有；②，恒有，则函数可能为（ ）
A．B．C．D．
6．已知n个数据的平均数为a，中位数为b，方差为c．若将这n个数据均增加2得到一组新数据，则下列关于这组新数据与原来的数据不变的是（ ）
A．平均数B．中位数C．第80百分位数D．方差
7．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:.它表示:在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升到8000，则大约增加了（ ）
A．10%B．20%C．30%D．50%
8．“”是“函数（，且）的图象与函数的图象的交点个数为2个的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．如图，点为坐标原点，点，若函数及的图象与线段分别交于点，，且，恰好是线段的两个三等分点，则，满足．
A．B．C．D．
10．甲，乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则下列结论正确的是（ ）
A．在这5天中，甲加工零件数的极差小于乙加工零件数的极差
B．在这5天中，甲、乙两人加工零件数的中位数相同
C．在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数
D．在这5天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差
11．已知关于x的不等式的解集为，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
12．下列说法正确的是（ ）
A．若函数为奇函数，则
B．函数在上是减函数
C．若函数的定义域为，则函数的定义域为
D．若函数为偶函数，且在上单调递增，则在上单调递减
13．用二分法研究函数的零点时，第一次计算，得，，第二次应计算，则等于（ ）
A．1B．C．0.25D．0.75
14．下列说法不正确的是（ ）
A．一组数据1，4，14，6，13，10，17，19的分位数为5
B．一组数据，3，2，5，7的中位数为3，则的取值范围是
C．某工厂生产三种不同型号的产品，产量之比为.现用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中种型号的产品有8件，则样本容量的值为48
D．在样本频率分布直方图中共有9个小矩形，若其中1个小矩形的面积等于其他8个小矩形面积和的，且样本容量为210，则该组的频数为50
15．已知函数，则“是奇函数”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
16．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为

A．B．C．D．
17．空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为和六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”，六个等级．如图，是我市冬季某月连续14天的空气质量指数趋势图，则下列说法中正确的是（ ）
A．这14天中有5天空气质量为“中度污染”
B．从第三天到第七天空气质量越来越好
C．这14天中空气质量指数的中位数为196.5
D．连续三天中空气质量指数方差最小的是5日到7日
18．已知函数，则使不等式成立的的取值范围是
A．B．
C．D．
二、多选题
19．已知直线分别交函数和的图象于点，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
20．
21．总体由编号为、、、的个个体组成，利用下面的随机数表选取个个体.选取方法是从下列随机数表第行的第列开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第个个体的编号为 .
95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 82 80 84 25 39
90 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 96 35 23 79 18 05 98 90 07 35
22．若幂函数y＝(m2－2m－2)x－4m－2在x∈(0，＋∞)上为减函数，则实数m的值是 ．
23．已知函数，那么 ；当函数有且仅有一个零点时，实数a的取值范围是 ．
24．某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成5组：[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，[17，18]，得到如图所示的频率直方图，如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的70百分位数约为 秒．
25．函数的最小值为 ，此时的x的取值为 .
26．计算 ．
27．不等式的解集为 ．
28．方程的解为 ________.
29．给出下列五个命题：
①已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则实数或．
②若，则的取值范围是；
③若对于任意都成立，则图象关于直线对称；
④对于函数，其定义域内任意都满足
其中所有正确命题的序号是 ．
四、解答题
30．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示：
（Ⅰ）请填写下表（写出计算过程）：
（Ⅱ）从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析；
①从平均数和方差相结合看（分析谁的成绩更稳定）；
②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看（分析谁的成绩好些）；
③从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）
31．甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示
（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；
（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；
（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）
32．已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并用定义证明你的结论；
（3）若函数，求实数的取值范围.
33．函数是R上的奇函数，a，b是常数．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式对任意实数x恒成立，求实数k范围．
答案
1．【正确答案】C
【详解】根据对数式的真数大于零、分式的分母不为零，求解出的取值范围即为定义域.
【详解】因为，所以或，所以函数的定义域为：，
故选C.
2．【正确答案】A
【详解】利用指数函数、对数函数的单调性进行判断即可.
【详解】，
由是单调递减函数，
，所以
是单调递减函数，
，
所以
故选A
3．【正确答案】C
【详解】先判断函数在上的范围，排除A；再判断在区间上的单调性，根据函数零点存在性定理，即可判定出结果.
【详解】因为是定义在上的连续函数，
当时，，所以，即零点不可能在内；
任取，则
，
因为，所以，，即，即，
所以在上单调递增；
又，，，，
根据零点存在性定理，可得在内有零点，
故选C.
4．【正确答案】D
【详解】根据题设逐年列出生产总值能耗后可得正确的选择.
【详解】设2015年该企业单位生产总值能耗为，则2016年该企业单位生产总值能耗，
2017年该企业单位生产总值能耗，2018年该企业单位生产总值能耗，
2019年该企业单位生产总值能耗，2020年该企业单位生产总值能耗，
由题设可得即，
故选D.
5．【正确答案】B
【详解】解：由①，得，
即函数是奇函数；
由②，恒有，
得，
即函数在上单调递增，
由此可得函数为奇函数，且在上单调递增，
对于A选项：是正比例函数，是奇函数，但在上单调递减，不符合题意；
对于B选项：是奇函数．
由幂函数的性质可得当时，在上单调递增，符合题意；
对于C选项：是顶点在原点的二次函数，是偶函数，不符合题意；
对于D选项：是反比例函数，是奇函数，但在上单调递减，不符合题意．
故选B．
6．【正确答案】D
【详解】设这n个数据为．
若将这n个数据均增加2得到一组新数据，
则由于平均数为所有数据之和除以n，故平均数变为，A错误；
中位数为这组数据从小到大排列后中间的那个数或中间两个数的算术平均数，
由于每个数都增加2，所以中位数也增加2，即，B错误；
设原来n个数据的第80百分位数为d，则这组新数据的第80百分位数为，C错误；
方差描述的是一组数据的波动幅度，因为原来数据的方差为c，
所以新数据的方差为c，D正确．
故选:D．
7．【正确答案】C
【详解】由题意可知，，
，
故提升了，
故选C．
8．【正确答案】A
【详解】根据题意，当时，函数（，且）的图象与函数的图象如图所示：
由此可得两函数图象有2个交点，
则“”是“函数（，且）的图象与函数的图象的交点个数为2个”的充分条件；
反之：若“函数（，且）的图象与函数的图象的交点个数为2个”，
则函数为增函数，
所以，
则“”是“函数（，且）的图象与函数的图象的交点个数为2个”的不必要条件，
则“”是“函数（，且）的图象与函数的图象的交点个数为2个的充分而不必要条件.
故选A．
9．【正确答案】A
【详解】由题意知，且恰好是线段的两个三等分点，所以，，
把代入函数，即，解得，
把代入函数，即，即得，所以.
故选A.
10．【正确答案】C
【正确答案】C
【详解】甲在5天中每天加工零件的个数为：，
乙在5天中每天加工零件的个数为：，
对于A，甲加工零件数的极差为，乙加工零件数的极差为，
故A错误；
对于B，甲加工零件数的中位数为，乙加工零件数的中位数为，故B错误；
对于C，甲加工零件数的平均数为，
乙加工零件数的平均数为，故C正确；
对于D，甲加工零件数的方差为
，
乙加工零件数的方差为，
故D错误；
故选C
11、有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（ ）
A．①③B．②④⑤C．③④D．①②⑤⑥
【详解】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确；
对②：因为集合，故正确，即②正确；
对③：空集是一个集合，而集合是以空集为元素的一个集合，因此不正确；
对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确；
对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确；
对⑥：显然成立，因此⑥正确．
综上，本题不正确的有③④，于是本题选项为C．
故选C．
11．【正确答案】D
【详解】因为不等式的解集为,故,且-2,3为的两根.
由根据韦达定理有,.
故即,故.
故选D
12．【正确答案】D
【详解】对于选项A：例如为奇函数，但无定义，故A错误；
对于选项B：因为，所以函数在定义域上不是减函数，故B错误；
对于选项C：因为函数的定义域为，即，则，
所以函数的定义域为，故C错误；
对于选项D：因为函数为偶函数，且在上单调递增，
所以在上单调递减，故D正确；
故选D.
13．【正确答案】C
【详解】解：因为，，所以在内存在零点，
根据二分法第二次应该计算，其中；
故选C
14．【正确答案】D
【详解】对于A，将数据按照从小到大的顺序排列为1，4，6，10，13，14，17，19，该组数据共8个，，因此取第2个数和第3个数的平均数作为分位数，即，A正确；
对于B，该组数据共5个，因此取按照从小到大的顺序排列后的第3个数作为中位数，将除去外的已知数据按照从小到大的顺序排列为2，3，5，7，即加入后第3个数为3，则的取值范围是，B正确；
对于C，依题意，某工厂生产三种不同型号的产品，产量之比为，则用分层随机抽样的方法，若样本中种型号的产品有8件，那么样本中种型号的产品有16件，种型号的产品有24件，故容量为，C正确；
对于D，设其他8个小矩形面积和为，则其中1个小矩形的面积为，由样本频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1可得，，解得，即该组频率为，频数为，故D错误.
故选D.
15．【正确答案】B
【详解】由题意若是奇函数，则（为的关于原点对称的定义域），有，
此时有，即，
进一步恒成立，解得或，
当时，的定义域为关于原点对称，且，即满足是奇函数，
当时，的定义域为关于原点对称，
且，即满足是奇函数，
综上所述，是奇函数当且仅当或，
因此“是奇函数”是“”的必要而不充分条件.
故选B.
16．【正确答案】D
【详解】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，后下边的2个都开，上边的2个中有一个开，
这三种情况是互斥的，每一种情况的事件都是相互独立的，
所以灯泡不亮的概率为，
所以灯泡亮的概率为，故选D．
17．【正确答案】C
【详解】对于A，这14天中有4天空气质量指数在之间，则有4天为“中度污染”，故A错误；
对于B，从第三天到第七天空气质量先变好再变坏，故B错误；
对于C，将14组数据从小到大排列：
，其中位数为，故C正确；
对于D，5日到7日的三天，数据波动比较大，则方差较大，
所以连续三天中空气质量指数方差最小不是5日到7日，故D错误．
故选C
18．【正确答案】D
【详解】由解得或，故函数的定义域为或，且，所以函数为偶函数，且当时，令，，所以在时递增，根据复合函数单调性可知在时递增，所以函数在时递增，故在时递减.由可知，解得.
故选D.
19．【正确答案】ACD
【详解】函数与互为反函数，则与的图象关于对称，将与联立，则，，由直线分别与函数和的图象交于点，，作出函数图象：

则，的中点坐标为，
对于A，由，解得，故A正确；
对于B，将与联立可得，即．
设，且函数为单调递增函数，
因为，，
故函数的零点在上，即，故B错误；
对于C，，
因为，即等号不成立，所以，故C正确；
由，，则，，故D正确.
故选ACD．
20．【正确答案】15
【详解】.
21．【正确答案】
【详解】从随机数表的第行第列开始向右读取，抽取样本的号码依次为、、、、、，则抽取的样本的第个编号为.
22．【正确答案】
【详解】试题分析：因为函数既是幂函数又是的减函数，所以 ，解得.故答案为.
考点：幂函数.
23．【正确答案】
【详解】由函数解析式得，；
因为函数有且仅有一个零点，即有且仅有一个根，
所以与的图象有且仅有一个交点，
函数的图象如下图：
由图知，与的图象有且仅有一个交点等价于，
则实数a的取值范围是.
24．【正确答案】16.5
【详解】设成绩的70百分位数为x，因为，，
所以x[16，17)，
所以0.55＋(x－16)×＝0.70，解得x＝16.5.
25．【正确答案】6 1
【详解】因为，所以由基本不等式得：
，当且仅当，即时取到等号
故空16，空21
26．【正确答案】
【详解】.
27．【正确答案】
【详解】解：不等式，即，
，解得，
则原不等式的解集为．
28．【正确答案】
【详解】,
,
解得(舍),或,
.
故答案为.
29．【正确答案】②③④
【详解】①因为当时， ，且，
所以由函数是定义在R上的奇函数得，故①错误；
②若，可得，故②正确；
③若对于任意都成立，则图象关于直线对称，故③正确；
④对于函数，
当且仅当取得等号，其定义域内任意都满足，故④正确．
30．【正确答案】（Ⅰ）见详解；（Ⅱ）见详解.
【详解】试题分析：（Ⅰ）由折线图，求出甲设计次中靶环数和乙射击次中靶环数，由此能求出结果；（Ⅱ）①由平均数相同，，知甲成绩比乙稳定；②由平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙少，知乙成绩比甲好些；③乙处于上升势头，从第四次以后就没有比甲少的情况发生，乙较有潜力.
试题解析：由折线图，知
甲射击10次中靶环数分别为：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7．
将它们由小到大重排为：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9．
乙射击10次中靶环数分别为：2，4，6，8，7，7，8，9，9，10．也将它们由小到大重排为：2，4，6，7，7，8，8，9，9，10．
（Ⅰ）（环），
（环）


根据以上的分析与计算填表如下：
（Ⅱ）①∵平均数相同，，
∴甲成绩比乙稳定．
②∵平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙少，
∴乙成绩比甲好些．
③甲成绩在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第四次以后就没有比甲少的情况发生，乙较有潜力．
31．【正确答案】（1）4.82
（2）
（3）甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，
乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.
【详解】（1）乙从2017年到2022年这6年的视力平均值为：
.
（2）列表：
由表格可知：2017年到2022年这6年中随机选取2年，
这两年甲的视力值都比乙高0.05上的年份由有4年，
故所求概率为：
（3）从表格数据分析可得：
甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，
乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.
32．【正确答案】（1）；（2）见详解；（3）
【详解】（1）由 解得
所以 , 故函数的定义域是.
（2）函数是奇函数.
由（1）知定义域关于原点对称.
因为
，
所以函数是奇函数.
（3） 由可得 .
得
解得.
33．【正确答案】（1）；（2）.
【详解】（1）因为函数是R上的奇函数，
所以 ，解得 ，
此时，，符合题意，
所以；
（2）由（1）知，
设，且，
则，
因为，
所以，
又，
所以，即，
所以是R上的增函数，
因为不等式对任意实数x恒成立，
所以不等式对任意实数x恒成立，
所以不等式对任意实数x恒成立，
所以不等式对任意实数x恒成立，
令，
令 ，
则由对勾函数的性质得：
即的最小值为，
所以.
所以实数k的范围是.2017年
2018年
2019年
2020年
2021年
2022年
甲
4.94
4.90
4.95
4.82
4.80
4.79
乙
4.86
4.90
4.86
4.84
4.74
4.72
2017年
2018年
2019年
2020年
2021年
2022年
甲
4.94
4.90
4.95
4.82
4.80
4.79
乙
4.86
4.90
4.86
4.84
4.74
4.72
甲与乙视力值的差
0.08
0
0.09
0.06
0.07