北京市第五十五中学2025_2026学年高三上学期期中调研数学试题 [含答案]

这是一份北京市第五十五中学2025_2026学年高三上学期期中调研数学试题 [含答案]，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．全集，集合，图中阴影部分表示集合为（ ）
A．B．
C．或D．或
2．已知复数满足（是虚数单位）的实部与虚部相等，那么（ ）
A．B．1C．2D．4
3．在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边绕着原点逆时针旋转后与轴的非负半轴重合，则（ ）
A．B．C．D．
4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知P为椭圆上的动点，，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．如图，边长为1的正方体中，为边任意一点，将正方体挖掉三棱锥后，余下部分的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．设等比数列的公比为，前项和为，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知某种垃圾的分解率为v，与时间月满足函数关系式其中a，b为非零常数，若经过12个月，分解率为，经过24个月，分解率为，那么分解率达到，至少需要经过（ ）参考数据：
A．36个月B．40个月
C．47个月D．64个月
9．已知函数在 处取到最小值，且在区间上存在极大值，的最小整数解是（ ）
A．2B．8C．10D．14
10．已知抛物线和所围成封闭曲线，点在曲线上，给定点，则下列说法中正确的是（ ）
A．存在，对所有点，均不存在使得
B．任意，恰有三对不同的点，满足每对点关于点对称
C．存在，曲线上恰有四个点满足到的距离等于
D．任意，当点运动时，都满足
二、填空题
11．函数的定义域为 .
12．在展开式中，的系数为，那么实数 ．
13．直线与双曲线没有公共点，双曲线离心率的一个值是 ．
14．在平面直角坐标系中，点为圆上的动点，点的坐标为，其中为常数且．
（1）若，则= ，
（2）若的最大值为，此时的最小值为 ．
15．已知函数，其中且．给出下列四个结论：
①若，则函数的零点是；
②若函数无最小值，则的取值范围为；
③若存在实数，使得对任意的，都有，则的最小值为1；
④若关于的方程恰有三个不相等的实数根，，，则的取值范围为，且的取值范围为．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
16．已知的内角的对边分别为，且，，.
（1）求；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积.
条件①：，为锐角；
条件②：
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
17．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，分别是中点，与平面交于点，.
（1）证明：是的中点；
（2）求平面与平面夹角的大小；
（3）求点到平面的距离.
18．有一道选择题考查了一个数学知识点，为了解甲、乙两个班学生对该知识点的掌握情况，现从甲、乙两个班各随机抽取人，甲班有人答对，乙班有人答对，用频率估计概率，且假设每个人是否答对该题目相互独立．
（1）从甲班随机抽取1人，求这个人答对该题目的概率；
（2）从甲、乙两班各随机抽取1人，设为答对该题目的人数，求的分布列和数学期望；
（3）若甲班同学掌握这个知识点则有的概率答对该题目，乙班同学掌握这个知识点则有的概率答对该题目，两个班未掌握该知识点的同学都是从四个选项中随机选择一个．设甲班学生掌握该知识点的概率为，乙班学生掌握该知识点的概率为，试比较与的大小（结论不要求证明）．
19．已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，线段的垂直平分线与轴交于点，当是直角三角形时，求直线的方程.
20．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数在区间上的极值点的个数；
（3）若函数在区间上有唯一零点，证明.
21．已知集合，其中，集合．定义运算，记|A|为集合中元素的个数.
（1）若，求的值；
（2）若集合中的元素构成等差数列，且公差.
（i）当时，求的最小值；
（ii）当时，求的最小值.
答案
1．【正确答案】D
【详解】由Venn图可知，阴影部分表示集合，
由，
得，
所以或，
故选D
2．【正确答案】A
【详解】由，得，
由题意可得，
故选A
3．【正确答案】B
【详解】由题意可得，
所以，
则.
故选B
4．【正确答案】C
【详解】A选项，定义域关于原点对称，，所以是奇函数，
但是在和上分别单调递减，在定义域内不是减函数，
如，A错误，
B选项，由得，所以定义域是，不关于原点对称，是非奇非偶函数，B错误；
C选项，定义域为关于原点对称，是奇函数，
，所以是上的减函数，C正确；
D选项，由得，所以定义域是关于原点对称，
，所以是偶函数，D错误.
故选C.
5．【正确答案】C
【详解】P为椭圆上的动点，，且，
P的轨迹是以为焦点的椭圆，且，即，，
所以，
故选C．
6．【正确答案】D
【详解】易知平面，则P到平面的距离始终为1，
由题意可知,
又易知正方体的体积为1，所以余下部分的体积为.
故选D
7．【正确答案】B
【详解】若，，则，则为递减数列．
若为递增数列，则，，．
所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件．
故选B．
8．【正确答案】B
【详解】依题意有
解得，，故，
令，得，
故.
故选B
9．【正确答案】B
【详解】因为在处取到最小值，所以，
所以，所以，
又，所以.
当，所以，
又因为在区间上存在极大值，所以,
所以，所以，即，解得，
所以且，
当时，，所以的最小整数解是8.
故选B.
10．【正确答案】C
【详解】由，得：或，即两抛物线交点为和；
对于A，与图象均关于轴对称，点在轴上，
当关于轴对称时，，A错误；
对于B，若关于点对称，则可设，，
若均在上，则，解得：；
即当时，存在一组关于对称的点和；
若分别在和上，
不妨令在上，在上，
由得：，则，
若，则，方程组无解，此时不存在关于对称的点；
当时，不存在三对不同的点，满足每对点关于点对称，B错误；
对于C，当时，到点的距离等于的点的轨迹为；
由得：，满足，
此时存在两点到点的距离等于；
由得：，满足，
此时存在两点到点的距离等于；
当时，曲线上恰有四个点满足到的距离等于，
即存在，曲线上恰有四个点满足到的距离等于，C正确；
对于D，当时，，取，，
此时，
此时不满足，D错误.
故选C.
11．【正确答案】
【详解】要使函数有意义，
只需解得：且，
从而的定义域为.
12．【正确答案】2
【详解】由，所以通项公式.
令，解得，
所以的系数为.
13．【正确答案】(答案不唯一)
【详解】由双曲线方程，可得其渐近线方程为，
若双曲线与直线没有公共点，则需满足
所以离心率，
所以离心率可以取内的一个值.
14．【正确答案】
【详解】由圆，可得圆心
又由，可得点的坐标为，即，
所以，则；
因为点为圆上的动点，可设，
又因为点的坐标为，可得，
则，
因为，所以当时，取得最大值，
则，解得，
因为，所以，此时的最小值为.
15．【正确答案】①③④
【详解】对于①：当时，显然，当时，无零点；
当时，由可得，所以的零点是0. 故①正确；
对于②：当时，简图如下：
当时，简图如下：
当时，简图如下：
当时，简图如下：
由图可知，若无最小值，则或. 故②错误；
对于③：若存在实数，使得对任意的，都有，
由图可知或，此时存在使得恒成立，则的最小值为，故③正确；
对于④：由图可知，只有当且即时，方程才有三个不相等的实数根.
不妨设三个根由小到大依次为，，，显然.
由得，故，且，
所以，故，从而. 故④正确.
16．【正确答案】（1）；
（2）选①，；选②，
【详解】（1）因为，所以为锐角，
由，可得，
故；
（2）选①，，为锐角，，，
由正弦定理，可得，即，
所以，
所以，
所以；
选②，，，，，
由正弦定理，可得，即，
由余弦定理，可得，即，
解得(负根舍去)，
所以.
17．【正确答案】（1）见详解
（2）
（3）
【详解】（1）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，故，
则，而平面，平面，故平面，
又平面平面，平面，故，
是中点，故是的中点；
（2）取的中点为O，连接，
因为，故，且,
而，则，即得,
则两两垂直，
以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的一个法向量为 ，
则 ， ，令，则，则，
平面的一个法向量可取为，
平面与平面的夹角为，
故，
平面与平面夹角的大小为；
（3）由（2）可知，则,
故点到平面的距离为.
18．【正确答案】（1）
（2）的分布列见详解，
（3）
【详解】（1）甲班随机抽取人，甲班有人答对，
甲班随机抽取1人答对该题目的概率为．
（2）从甲、乙两个班各随机抽取人，甲班有人答对，乙班有人答对，设甲班答对概率为，乙班答对概率为，
，
的可能取值为：
，，
，
分布列为：
期望为：
．
（3）设甲班答对概率为，乙班答对概率为，则，，
，解得；
，解得，
，
．
19．【正确答案】（1）
（2）或
【详解】（1）由题意可得椭圆焦点在轴上，
因为椭圆的一个顶点为，所以，
因为离心率为，则，解得，
所以，
故椭圆的方程为；
（2）由题意可知，若是直角三角形，则只能，即，
当直线斜率不存在时，直线方程为，
将代入计算可得，取，
此时线段的垂直平分线与轴交于点，
则，
因为，所以不是直角三角形，不符合题意舍去；
当直线斜率为时，此时线段在轴上，
由对称性可知，线段的垂直平分线为轴，故点位置不确定，不符合题意；
当直线斜率存在时，设直线方程为，，
直线与椭圆联立方程可得，得，
因为在椭圆内，所以直线与椭圆一定有两个交点，则，
则，，
，
，
线段的中点坐标为，
所以线段垂直平分线方程为，
令，则，即，
，
则，
即，
即，
化简可得，解得，
所以，即或.
20．【正确答案】（1）；
（2）见详解；
（3）见详解；
【详解】（1）当时，函数，
所以，.
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）由函数，.
令，，.
①若时，，所以在上单调递增，且，
即在上单调递增，且，
所以函数在上单调递增，函数无极值点；
②当时，，，
当，所以.
所以函数在上单调递增且有唯一零点，
即函数在上单调递增且有唯一零点，
当；当，
所以函数在有唯一的极小值点，无极大值点；
③当时，因为，所以，
所以函数在上单调递减，无极值点.
综上所述：当或时，函数在上无极值点；
当时，函数在上有唯一的极小值点，无极大值点.
（3）由（2）可知，当时，函数在上单调递减，且，
所以函数在上无零点；
当时，函数在上单调递增，且，
所以函数在上无零点；
当时，函数在有唯一的极小值点，且，
要使函数在区间上有唯一零点，所以.
所以，
令，得，即.
再令，，
所以在上单调递增，
且.
所以函数在上有唯一零点，
所以，即.
21．【正确答案】（1）
（2）（i）5；（ii）4050
【详解】（1）若，则，此时，，
，所以.
（2）（i）解法一：设，则有，
，
所以，为使最小，应尽量使A，B中相同元素最多，
而，故A，B中最多一个相同元素，令，即时，最小，
，此时.
解法二：由构成严格递增的等差数列可知，，则必有
又中最小元素为，则，则有，所以，
另一方面，当时，，此时，
综上，时，的最小值为5.
（ii）引理：当时，集合中的元素构成公差为的等差数列，则
引理的证明：对任意
当时，，当时，，
因此有；
另一方面，再证明可以取到满足的所有整数，
①取，当依次取时，可取到满足的所有整数；
②取，当依次取时，可取到满足的所有偶数；
③取，当依次取时，可取到满足或的所有奇数；
④取，此时，
由上述讨论可知，可以取到满足的所有整数，此时有
综上，引理得证．
故当时，，，
又，即，则有，
所以；
另一方面，当时，，，，
此时，
综上，当时，的最小值为2n，所以，当时，的最小值为4050.
X
0
1
2
P