北京市第八十中学2025_2026学年高三上学期12月阶段测评数学试题 [含答案]

这是一份北京市第八十中学2025_2026学年高三上学期12月阶段测评数学试题 [含答案]，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．设复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
4．双曲线的一条渐近线为，则的值为（ ）
A．1B．2C．-1D．-2
5．设等比数列的公比为q，若，则（ ）
A．1B．C．或2D．或1
6．已知是定义域为的奇函数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．平面向量满足，若，则最小值为（ ）
A．1B．C．D．
8．中国是全球最大的光伏制造和应用国，平准化度电成本（LCOE）也称度电成本，是一项用于分析各种发电技术成本的主要指标，其中光伏发电系统与储能设备的等年值系数对计算度电成本具有重要影响．等年值系数和设备寿命周期N具有如下函数关系，r为折现率，寿命周期为10年的设备的等年值系数约为0.13，则对于寿命周期约为20年的光伏-储能微电网系统，其等年值系数约为（ ）
A．0.09B．0.08C．0.07D．0.05
9．如图，在棱长为1的正方体中，P为正方形内（包括边界）的一动点，E，F分别为棱的中点，若直线与平面无公共点，则线段的长度的最小值是（ ）
A．B．C．D．1
10．已知函数的定义域为，定义集合.在使得的所有中，下列成立的是（ ）
A．存在是偶函数B．存在在处取最大值
C．存在是严格增函数D．存在在处取到最小值
二、填空题
11．已知某抛物线的准线方程为y＝1，则该抛物线的标准方程为 .
12．若，则 ， .（用数字作答）
13．过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为 ．
14．已知函数在区间上单调递增，则写出符合题意的一个的值为 ．
15．在数列中，，下列说法正确的是 ．
①若，则一定是递增数列；
②若，则一定是递增数列；
③若，则对任意，都存在，使得；
④若，且存在常数，使得对任意，都有，则的最大值是．
三、解答题
16．记的内角的对边分别为，已知，.
（1）求及；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分.
17．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
18．根据2024城市魅力排行榜，一线城市4个，分别为：上海、北京、深圳、广州；新一线城市15个，分别为：成都、杭州、重庆、苏州、武汉、西安、南京、长沙、天津、郑州、东莞、无锡、宁波、青岛、合肥.其中城区常住人口超过一千万的超大城市10个，分别为：上海、北京、深圳、重庆、 广州、成都、天津、东莞、武汉、杭州.
（1）从10个超大城市中随机抽取一座城市，求该城市是一线城市的概率；
（2）从10个超大城市按不可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量X表示新一线城市的数量，求随机变量X的分布列和期望；
（3）从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量Y表示新一线城市的数量，比较E（X）与E（Y）的大小关系.（直接写出结果）
19．已知椭圆 过点，焦距为 过点的直线与椭圆交于两个不同的点， 已知点， 为直线上一点， 且直线.
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）求的横坐标.
20．已知函数．
（1）若曲线在处的切线方程为，求的值；
（2）若恒成立，求的取值范围；
（3）已知，且函数存在极值，求的取值范围．
21．已知集合，，若中元素的个数为，且存在，，使得，则称是的子集.
（1）若，写出的所有子集；
（2）若为的子集，且对任意的，，存在，使得，求的值；
（3）若，且的任意一个元素个数为的子集都是的子集，求的最小值.
答案
1．【正确答案】D
【详解】集合，则.
故选D.
2．【正确答案】A
【详解】,故对应的点为，位于第一象限，
故选A
3．【正确答案】A
【详解】对于A：因为函数在上单调递增，
所以当时，，故A正确；
对于B：因为函数在上单调递增，
所以当时，，故B错误；
对于C：因为函数在上单调递增，
所以当时，，故C错误；
对于D：因为函数在上单调递减，
所以当时，，故D错误；
故选A
4．【正确答案】A
【详解】由题知双曲线，则，双曲线渐近线方程为，又因为一条渐近线为，所以，解得，
故选A.
5．【正确答案】D
【详解】等比数列中，，而，解得，
即，解得，所以或.
故选D
6．【正确答案】B
【详解】因为是定义域为的奇函数，
若，例如，则对任意均有成立，
可知不一定成立，所以充分性不成立；
若，即，则，
即，所以必要性成立；
综上所述：“”是“”的必要不充分条件.
故选B.
7．【正确答案】C
【详解】因为，所以，
作，以为原点，分别为轴的正方向建立平面直角坐标系，
则，作，设，
则，，
因为，所以，
整理得：，则，
由二次函数性质可知，当时，取得最小值.
故选C
8．【正确答案】B
【详解】依题意，，解得，
当时，.
故选B
9．【正确答案】B
【详解】如图所示，取的中点为，连接,
因为E，F分别为棱的中点，所以，
所以四点共面，
直线与平面无公共点，所以平面，
因为为的中点，所以,平面，所以平面，
正方体中，，平面，所以平面，
又，所以平面平面，
P在正方形内（包括边界）的轨迹为线段，
因为，所以当为的中点时最小.
此时，，
所以.
故选B.
10．【正确答案】B
【详解】对于A，若存在是偶函数，取，
由集合的定义可知对于任意，，
这与矛盾，故A错误；
对于B，构造函数，则满足题意，
且此时在处取最大值，故B正确；
对于C，假设存在，使得是严格增函数，则，
与已知矛盾，故C错误；
对于D，假设存在，使得在处取到最小值，
取，由集合的定义可知对于任意，，
这与矛盾，故D错误.
故选B
11．【正确答案】
【详解】依题意可设抛物线的标准方程为：，
由，解得，
所以该抛物线的标准方程为.
12．【正确答案】 1
【详解】由二项式定理得的通项是，
当时，可得，
令，得到.
13．【正确答案】1
【详解】因为，所以过原点且倾斜角为的直线方程为，即，
将圆化为标准方程：，得圆心坐标为，半径，
圆心到直线的距离，
所以，所求弦长为.
14．【正确答案】（答案不唯一，满足）
【详解】因为，
由，且，得，
又函数在区间上单调递增，
则，，得到，，
又，取，得到.
15．【正确答案】②③④
【详解】对于①，因为，故，
取，则，所以，即，此时数列为常数数列，所以①错误；
对于②，若，则，
，构造函数，则，
当时，，所以在区间上单调递减，
当时，，所以在区间上单调递增，
所以，所以，则，
所以一定是递增数列，故②正确.
对于③，因为，
因为，所以，，
以此类推，可得为递增数列，且时，，
故对任意，都存在，使得，③正确；
对于④，，且存在 使所有 ，求 的最大值.
这里数列有上界，并不是对所有 都小于 ，而是能找到有限上界，即数列有界.
设，对称轴，开口向上.迭代.
不动点方程：，即 .
判别式.
使得存在常数 有 对任意 成立，就是有上界，最大 就是 ，
此时上界是 （不动点）.
所以④正确.
16．【正确答案】（1），
（2）
【详解】（1）由和余弦定理可得.
因为为的内角，所以，故，
由变形得，由正弦定理得.
（2）选择条件①：，
由正弦定理得，解得，
因为为的内角，所以，故，
与相互矛盾，故不存在这样的三角形，
所以我们不选择条件①，
选择条件②：，
因为，，所以，
解得，由余弦定理得，
化简得，解得或（舍），
所以.
选择条件③：，
因为，所以.
因为，所以，
由余弦定理得，化简得.
解得或，当时，是直角三角形，与题干不符，故排除，
所以.
17．【正确答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）
如图，连接，设，连接．
因为在三棱柱中，四边形是平行四边形，所以为的中点．
因为为的中点，所以．
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）因为，，
又，平面，平面，
所以平面，又因平面，所以．
又，所以，，两两相互垂直．如图建立空间直角坐标系，
则，，，．
所以，．
设平面的法间量为，则即，
令，则，于是．
因为平面，所以是平面的一个法向量．
所以．
由题设，二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为．
18．【正确答案】（1）
（2）分布列见详解，
（3）
【详解】（1）10个超大城市中包含4个一线城市，
所以从10个超大城市中随机抽取一座城市，该城市是一线城市的概率为.
（2）10个超大城市中包含6个新一线城市，
X所有可能的取值为.
；；
；.
所以X的分布列为：
.
（3）
理由如下：从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市，
随机变量，，所以.
19．【正确答案】（1）；.
（2）
【详解】（1）由题意可知，，由焦距，则，
所以，
所以椭圆方程为，离心率
（2）若斜率不存在，则，则；
设直线方程，，
则，消元可得；
则，
设，由点是直线上一点，，
则存在，使得，则，
由,则，
故，代入可得，
,
故点的横坐标为.
20．【正确答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）函数的定义域为，，
因为曲线在处的切线方程为，故切点为，
因为，故切点在曲线上，
因为，所以，解得，
故的值为；
（2）由题可知恒成立，
因为，所以不等式整理得恒成立，
当时，不等式恒成立，此时取任意实数.
当时，，令，
求导，令，求导，
当时，在上单调递增，且，因此，
即在上单调递增，当时，，所以，
在上的下确界为，要使恒成立，故.
当时，，令，
求导，令，求导，
当时，在上单调递减，且，因此，
即在上单调递增，当时，，所以，
要使恒成立，故.
综上所述，.
（3）已知，且函数存在极值，
求导，令，求导，
令，解得.
因为时，时，，
所以在上单调递减，上单调递增，
所以在处有最小值，
因为，
所以当时，，故函数存在极值，
当时，，故函数不存在极值；
当，，故函数不存在极值；
综上，若函数存在极值，求的取值范围为．
21．【正确答案】（1）；
（2）2；
（3）13.
【详解】（1）当时，，的所有子集为.
（2）当时，取，因为，所以是的子集，此时；
若，设且，
根据题意，，其中；
因为，所以，所以；
又因为，所以；
因为，所以，
所以；
因为，所以，
所以，与矛盾.
综上所述，.
（3）设
，
设的元素个数为，
若不是的子集，
则最多能包含中的一个元素以及中的元素；
令，易验证不是的子集，
当时，的任意一个元素个数为的子集都不是的子集，
所以，若的任意一个元素个数为的子集都是的子集，则；
当时，存在，使得中必有两个元素属于，
同时中两个元素之和为的某个正整数指数幂，
所以是的子集；
所以，的最小值为.X
0
1
2
3
P