江苏省宿迁市宿豫中学2025--2026学年高二上册期末数学仿真卷（1）【附解析】

这是一份江苏省宿迁市宿豫中学2025--2026学年高二上册期末数学仿真卷（1）【附解析】，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 4与9的等比中项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由等比中项的定义可得.
【详解】设4与9的等比中项为，则，所以.
故选：C.
2. 若函数在处可导，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数的定义求解.
【详解】因为函数在处可导，
所以 .
故选：B
3. 已知向量为直线的方向向量，为平面的法向量，若，则实数等于（ ）
A. 5B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线与平面垂直可得直线的方向向量与平面的法向量平行，利用两向量平行的充要条件即可求解.
【详解】因为直线与平面垂直，
所以.
所以存在，使得，即.
解得：，.
故选：D
4. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率k=（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用直线方程求出，结合二倍角的余弦公式及正余弦齐次式法求出.
【详解】由直线的倾斜角为，得，
所以直线的斜率.
故选：B
5. 已知函数的图象如图，则与的关系是：（ ）
A. B.
C. D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】通过导数的几何意义结合图像即得答案.
【详解】由于导数表示的几何意义是切线斜率，而由图可知，在A处的切线倾斜角小于在
B处切线倾斜角，且都在第二象限，故，答案为B.
【点睛】本题主要考查导数几何意义，比较基础.
6. 如图，已知，，是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则（ ）

A. B. C. 6D.
【答案】D
【解析】
【分析】以为基底，表示出向量，利用空间向量的数量积求向量的模.
【详解】以为基底，则，，，，.
因为，所以，
则
，
所以.
故选：D
7. 已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意分或 两种情况，结合求解.
【详解】解：因为双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，
所以或 ，
即 或 ，又 ，
所以，
故选：D
8. 已知曲线，是曲线E上任意一点，则的最大值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析曲线对应的曲线形状，利用点到直线的距离公式，分析的几何意义，结合图象，并根据同角三角函数关系式，及辅助角公式，可求得的最大值.
【详解】当时，，此时曲线是椭圆在第一象限的部分；
当时，，此时曲线是双曲线在第二象限的部分；
当时，，此时曲线是双曲线在第四象限的部分；
当时，，不表示任何曲线.
双曲线和双曲线的渐近线均为.
因为点到直线的距离为，
所以可以看作是的倍.
由渐近线的几何特征知，当或时，，
所以当点第一象限，即满足时，可以取得最大值.
令，.
则.
显然当时，取得最大值，此时取得最大值.
故选：C.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分.
9. 设等差数列的前项和，则（ ）
A. 该数列的公差为B.
C. 有最小值D. 有最小值
【答案】AC
【解析】
【分析】利用、关系先求出通项公式，由此判断A、B，再利用数列函数的性质判断C、D.
【详解】设等差数列的公差为，因为，
，
当时，有，
得，
检验符合上式，所以，
对于A，，A正确，
定义B，，B错误，
对于C，根据，
可知时，有最小值，
所以C正确，D错误.
故选：AC
10. 如图，在圆锥SO中，为等边三角形，C为底面半圆弧AB的中点，M为线段SB的中点，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若平面AMN，则
B. 若，则
C. 存在，使得
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据线面平行的性质定理判断A选项，三棱柱的体积公式判断B选项，三垂线定理判断C选项和D选项．
【详解】对A选项，若平面AMN，
又平面SBC，且平面平面，
所以，所以A选项正确；
对B选项，若，则N为SC的中点，
所以C到平面SAO的距离等于N到平面SAO的距离的2倍，
所以，即，所以B选项正确；
对C选项，易知，且平面平面ABC，
当时，N在底面ABC的射影不可能为C，
即AN在底面的射影不可能为AC，
所以根据三垂线定理可知，不存在，使得，所以C选项错误；
对D选项，如图，设，则易知，且E为SO的靠近O的三等分点，
又易知平面平面SAB，平面SCO，
所以根据三垂线定理可知：若，则AN在平面SAB内的射影为AE，
所以平面SAB，又平面SAB，
所以，又E为SO的靠近O的三等分点，
所以N为SC的靠近C的三等分点，所以，所以D选项正确．
故选：ABD
11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线准线为
B. 的周长大于
C. 抛物线上到直线距离为1的点共有2个
D. 若以为直径的圆过点，则直线的斜率为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据抛物线方程求准线方程，判断A的真假；根据抛物线的定义可求周长的最小值，判断B的真假；根据直线与抛物线的交点个数判断C的真假；根据可求直线的方程，判断D的真假.
【详解】如图：
对A：因为抛物线：，所以其准线方程为：，故A正确；
对B：过作与准线垂直，垂足为，交抛物线与点，
则，当且仅当P与C重合时等号成立，且.
所以周长的大于等于，
当点坐标为时取“”，但此时与抛物线只有一个交点，
故等号不可取，故的周长大于，故B正确；
对C：因为直线：.
到直线的距离为1的点的轨迹方程设为：.
由或.
当时，由.
因为，所以方程有两个不同的解；
当时，由.
因为，所以方程有两个不同的解.
所以抛物线上到直线距离为1的点共有4个，故C错误；
对D：设直线：，即，代入，
整理得：，A在抛物线内部，必有，
设，，则：，，
所以，.
因为以为直径的圆过点，所以，即，
所以，解得：.
所以直线：，其斜率为：，故D正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：涉及抛物线中线段和最小的问题，一般要借助抛物线的定义转化为点到直线的距离求最小值.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则________．
【答案】2
【解析】
【分析】先根据导数的运算求，再把代入求值.
【详解】因为，所以.
故答案为：2
13. 设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则的值为___________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据抛物线的焦半径公式可求得结果.
【详解】因为为抛物线上一点，，
所以，解得.
故答案为：2.
14. 已知圆：与圆：外切，此时直线：被圆所截的弦长为_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据两圆外切可得，即可根据点到直线的距离公式以及圆的弦长公式求解.
【详解】：的圆心和半径分别为，，
：圆心和半径分别为，，
由于两圆外切，故，解得，
故直线的距离为，
故弦长为，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）求在处的切线方程；
（2）求在上的值域；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出导函数，进而求，即可写出切线方程；
（2）利用导数判断单调性，进而根据极值、端点值确定区间值域.
【小问1详解】
由，
因此在处的切线是.
【小问2详解】
由，列表如下
从上表可知，在上的值域是.
16. 已知数列满足：，其前项和为．
（1）证明：为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）证明：．
【答案】（1）证明见解析，
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知条件化简，再应用等比数列定义计算证明，最后应用等比数列的通项公式计算求解；
（2）应用不等式关系及等比数列求和公式计算证明.
【小问1详解】
由题意每一项都不为零．由得，
又，
因此是首项为，公比为的等比数列，
所以，故；
【小问2详解】
对于任意的正整数，因为，所以，
求和得到．
17. 在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为.当m变化时，解答下列问题：
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A，B，C三点圆在y轴上截得的弦长为定值.
【答案】（1）不会；（2）详见解析
【解析】
【详解】试题分析：（1）设，由AC⊥BC得；由根与系数的关系得，矛盾，所以不存在；（2）求出过A，B，C三点的圆的圆心坐标和半径，即可得圆的方程，再利用垂径定理求弦长.
试题解析：（1）不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：
设,,则满足，所以.
又C的坐标为（0，1），故AC的斜率与BC的斜率之积为，所以不能出现AC⊥BC的情况.
（2）BC的中点坐标为（），可得BC的中垂线方程为.
由（1）可得，所以AB的中垂线方程为.
联立又，可得
所以过A、B、C三点的圆的圆心坐标为（），半径
故圆在y轴上截得的弦长为，即过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
【名师点睛】直线与圆综合问题的常见类型及解题策略：
（1）处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：；
(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
18. 如图，在直三棱柱中，，，是中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）连接交于F点，利用线面平行的判断推理得证.
（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量法求解.
（3）由（2），利用点到平面距离的向量求法求解.
【小问1详解】
在直三棱柱中，连接交于F点，连接，
由侧面是平行四边形，得是的中点，又是中点，则，
而平面，平面，所以平面.
【小问2详解】
依题意，底面，，则直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
设平面的一个法向量为，则，令，得，
而是平面的一个法向量，设平面与平面所成角为，
则，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
【小问3详解】
由（2）知，，
所以点到平面的距离.
19. 已知椭圆，点，，为坐标原点，且．
（1）求椭圆方程；
（2）设是椭圆上的两个动点，且满足，
（i）求的面积；
（ii）已知点，且直线与交于点，直线与交于点，试探究是否为定值？若是定值，请求出该定值，若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）是，1
【解析】
【分析】（1）应用平面向量数量积坐标公式计算求解；
（2）（i）根据斜率积的值分的斜率不存在及的斜率存在，分别计算求解；
（ii）先联立方程组计算得出，再类比得出，最后结合椭圆方程化简求解即可.
【小问1详解】
由题，
解得，故椭圆方程：；
【小问2详解】
（i），
当的斜率不存在时，设，
与椭圆方程联立得，，
，
所以，则，
当的斜率存在时，设，
与椭圆方程联立得，
当时，方程两根即为，
由韦达定理，，
，得，
，
点到的距离，
因此，
综上，；
（ii）由题直线
由解得，
所以，
所以，
同理
由解得，
故解得，
可得，
故
利用，
，
又因为，所以，所以，
所以
．
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