吉林省友好学校2026届高三上册1月期末联考（第80届）数学试题【附解析】

这是一份吉林省友好学校2026届高三上册1月期末联考（第80届）数学试题【附解析】，共17页。
注意事项：
1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，将条形码贴在贴条形码区内．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡对应的答题区域，超出答题区域书写的答案无效，写在本试题卷上无效．
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】由题意求出，进而解出，判断在复平面内对应的点所在象限即可.
【详解】由题意知：，
所以，所以在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D
2. 在等差数列中，，则公差（ ）
A. B. 12C. D. 11
【答案】D
【解析】
【分析】由等差数列的项之间的关系即可求得公差.
【详解】等差数列中，公差
故选：D.
3. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下面命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据线面平行，面面平行和面面垂直的判定定理，判断选项的正误.
【详解】若，则或，故A不正确；
若，则或与相交，故B不正确；
若，则或与相交，故C不正确；
若，则由面面垂直的判定定理可知，故D正确.
故选：D.
4. 已知，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由条件结合公式求，再利用两角差正弦公式求结论.
【详解】因为，，，
所以，
所以，
故选：A.
5. 已知某圆锥的轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积与表面积的比值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设圆锥的底面半径，确定母线长，求出侧面积和表面积即可求得答案.
【详解】由题意可得轴截面是等腰直角三角形，设该圆锥的底面圆的半径为，则其母线长为，从而该圆锥的侧面积.
表面积，
故.
故选：A.

6. 已知平面向量与的夹角为，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出，由平面向量的数量积可求得，计算的值，再开方即可求解.
【详解】因，所以，
所以，
所以
，
所以，
故选：B.
7. 已知是偶函数，在上单调递增，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件结合图象平移得到的图象，结合图象即可求解.
【详解】函数的图象可由的图象向右平移1个单位得到，
因为是偶函数，则其图象关于轴对称，
所以的图象关于直线对称，
又在上单调递增，则在上单调递减，
又，则有，
当，即时，需，
解得或；
当，即时，需，无解；
综上，不等式解集为.
故选：D
8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点作直线与的渐近线在第一象限内交于点，记点关于轴的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】画出图形，由已知条件和几何关系确定，进而确定点，又点在直线上，代入即可求出，最终算出离心率.
【详解】
设，连接，与轴交于点，
由对称性可知，
又，所以是正三角形，且.
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
又点在直线上，
故，
所以，
所以.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列选项中，与“”互为充要条件的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】求解各不等式判断即可.
【详解】对A，则，即，，解得，故A错误；
对B，则，故，解得，故B正确；
对C，则，解得，故C正确；
对D，，则，解得，故D错误.
故选：BC
10. 已知点在抛物线上，点为抛物线的焦点，则（ ）
A. 焦点的坐标为
B. 抛物线的准线方程为
C. 若，则
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据抛物线方程确定抛物线的顶点坐标与准线方程，然后再由抛物线的焦半径公式判断C，由抛物线的性质判断D..
【详解】抛物线的方程是，则，焦点坐标是，准线方程是，A对B错；
点在抛物线上，，，则,,C对；
抛物线上点到焦点的距离在点为顶点时取得最小值，这个最小值是1，因此，D对，
故选：ACD.
11. 已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则下列结论中正确的是
A. B. 是图象的一个对称中心
C. D. 是图象的一条对称轴
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据题意，先得到向右平移的解析式为，再得到，可得，可得的解析式，根据正弦函数的性质可知A,B,D正确.
【详解】由题意，向右平移，
得
的图象关于轴对称，所以，
，又
即
则是图象的一个对称中心，是图象的一条对称轴
而，则C错，A,B,D正确
故选：ABD
【点睛】本题考查利用三角函数平移变换求参数，考查正弦函数的性质，属于基础题.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知集合，若，则实数的值为______．
【答案】1或2
【解析】
【分析】由题意可得，由此可求出的值，代入检验即可得出答案.
【详解】因为集合，若，
所以，所以或或或，或或或或，
解得：或或或或或或或，
当时，，不满足；
当时，，满足；
当时，，满足；
当时，，不满足；
当时，，不满足；
当时，，不满足；
当时，，不满足；
当时，，不满足；
综上：实数的值为1或2.
故答案为：1或2.
13. 已知实数，满足，则的最大值为_____________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用重要不等式，转化为不等式，求的最大值.
【详解】因为，所以，
即，当时，等号成立，
所以的最大值是.
故答案为：
14. 已知球是正三棱锥的外接球，若正三棱锥的高为，底边，则球心到平面的距离为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据球心与平面所截圆的圆心连线与该平面垂直定位球心，进而求解.
【详解】如图，设点在底面的投影为，
则，设，
所以，，
由得，，解得.
故答案为：.
四．解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，角,,所对的边分别是，，，已知 .
（1）求的值；
（2）若，，，为垂足，求的长.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式化简得结果，（2）先根据余弦定理求，再利用三角形面积公式求AD.
【详解】（1）因为，
所以
因为，所以,即.
因为，所以，所以.
则.
（2）因为，所以,.
在中，由余弦定理可得 ，即.
由，得.
所以.
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.
16. 已知数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用的关系可得，即可知为等比数列，写出等比数列通项公式即可.
（2）由（1）得，利用分组求和，并结合错位相减法及等差、等比前n项和公式求.
【详解】（1）当时，，解得，
当时，，则，即，
又，则，
∴（常数），故是以为首项，以3为公比的等比数列，
∴数列的通项公式为．
（2）由（1）可得：，
∴，
设，则
∴，
∴，又，
∴
17. 已知函数，．
（1）若函数在上单调递减，求a的取值范围：
（2）若直线与的图象相切，求a的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用函数的单调性与导数的正负，得出导函数的恒成立关系，利用分离参数和基本不等式即可求解；
（2）利用导数的几何意义及切点的位置关系，建立方程组即可求解.
【小问1详解】
记在上单调递减，
对恒成立，
，而，
当且仅当即时，等号成立，
所以当时，取得最小值为.
所以a的取值范围为
【小问2详解】
设直线与的图象相切于，
，
由题意可知，
代入，
，左边式子关于单调递减且时，左边
18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段的动点.
（1）若直线平面，求证：为的中点；
（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线面平行的性质得出，再由中位线定理得出为的中点；
（2）以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，利用向量法结合平面与平面夹角的余弦值得出的值.
【小问1详解】
连接交于点，再连接，
由直线平面，平面，平面平面，，又为的中点，为的中点；
【小问2详解】
以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系
设，则
设，，
设平面的法向量为，则，即
取，则.
设平面的法向量，则，即，
可得平面的法向量，
设平面与平面夹角为
，整理得，
19. 已知椭圆的左，右焦点分别为，离心率为，为椭圆上的一个动点，且点到右焦点距离的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过点的直线交椭圆于两点，当的面积最大时，求此时直线的方程．
【答案】（1）
（2）或．
【解析】
【分析】（1）根据题意，由椭圆的几何性质可得、，结合求出、即可求解；
（2）设直线的方程为，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示、，根据弦长公式表示，结合基本不等式计算即可求解．
【小问1详解】
椭圆离心率为，
又点到右焦点距离的最大值为，即，
解得．
又由，可得．
∴椭圆的方程为：．
【小问2详解】
由题意，设直线的方程为，
联立，得，
设，
则，
，
当且仅当即时取等号．
∴所求直线的方程为或．
【点睛】思路点睛：
求解椭圆中三角形面积问题时，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式，点到直线距离公式等，表示出三角形的面积进行求解；有时也可将三角形分割成多个小三角形，利用小三角形的面积和来表示所求三角形面积.