广东省深圳市南头中学2025--2026学年高一上册12月月考数学试题【附答案】

这是一份广东省深圳市南头中学2025--2026学年高一上册12月月考数学试题【附答案】，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（ ）
A．B．C．D．
2．的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
3．对于实数，，，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，，则
4．如图所示的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，扇环的面积为，扇形的面积为.若，则（ ）
A．3B．4C．6D．8
5．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．的值为（ ）
A．1B．C．D．
7．若函数在区间上单调递减， 则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，则方程实数根的个数为（ ）
A．6B．7C．10D．11
二、多选题
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“”
B．与是同一个函数
C．函数满足，若，则实数
D．函数在区间单调递增
10．已知函数则下列结论正确的有（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的表达式可改写为
D．若其中 ，则 的最小值为
11．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
12．计算 .
13．已知函数的图象经过点，请写出一个符合要求的的值，则 .
14．设为实数，若实数是关于的方程的解，则
四、解答题
15．已知全集为，集合，集合.
（1）若，求：
（2）若，且，求实数的取值范围.
16．（1）若，，并且，均为锐角，且，求的值；
（2）已知，且，求．
17．某化工厂在进行生产的过程中由于机器故障导致某种试剂含量超标，已知该试剂超标后会产生一种有毒气体，在疏散工人，处理好超标试剂后，工厂启动应急系统进行处理，已知工厂内部有毒气体的浓度与应急系统处理时间t（小时）之间存在函数关系（其中），且应急系统处理2小时后，有毒气体的浓度为162ppm，继续处理，再过6小时后，有毒气体的浓度为48ppm．
（1）求a，λ的值；
（2）当有毒气体的浓度降低到以下（含）时，工厂能够正常运行，假设从启动应急系统开始经过t小时后，工厂能够恢复正常生产，求t的最小值．
18．（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值；
（3）对于正整数和非零实数，有，，求的值．
19．设为实数，．
（1）研究的奇偶性；
（2）是否存在实数，使得存在最小值，且其最小值小于？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
参考答案
1．【答案】A
【详解】.
故选A.
2．【答案】D
【详解】在定义域 上是单调增函数，
,故函数在不存在零点；
，故函数在不存在零点；
，故函数在不存在零点；
，故函数在存在零点；
故选D.
3．【答案】C
【详解】若，满足，但是，故A错误；
若，则，故B错误；
因为，所以，又，所以，故C正确；
若，，，满足，，但是，故D错误．
故选C．
4．【答案】D
【详解】设，由，得，即，
所以
故选D
5．【答案】D
【详解】当时，恒成立，则；
当时，，解得，
所以实数的取值范围为.
故选D
6．【答案】C
【详解】．
故选C．
7．【答案】C
【详解】令，则，
因为函数在区间上单调递减，且在定义域内递增，
所以，解得
故答案为：C
8．【答案】D
【详解】令，则.当时，则，得或.
当时，则，得或.
再由，即，所以原方程等价于下面四个方程的根：
——①，——②，——③，——④.
再由，可知函数在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，图象如下：
对方程①，因为，
所以时，，得或，解得或；
当时，，得或（舍去）.
所以方程共有3个根.
对方程——②，因为.
所以时，，得或，解得或；
当时，，得或（舍去）.
所以方程共有3个根.
对于方程——③，
所以时，，得或，解得或；
当时，，得或.
所以方程共有4个根.
对于——④，由函数的图象可知方程有唯一的根.
综上所述，方程的根共有个根.
故选D.
9．【答案】AC
【详解】A：命题“”的否定为“”，故A正确；
B：由，解得或，所以的定义域为；
由，解得，所以的定义域为，
则与的定义域不同，所以与不是同一函数，故B错误；
C：令，则，
解得，故C正确；
D：易知函数在R上单调递减；
对于函数，对称轴为，
则该函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，故D错误.
故选AC
10．【答案】BC
【详解】A选项，将代入可得，所以函数的图象关于点对称，故A选项错误；
B选项，由于，故函数的图象关于对称，B选项正确；
C选项，利用诱导公式得，
再结合余弦周期性得，
因此，所以选项C正确；
D选项，由得，，解得或，
即或,则,，D错误.
故答案为：BC.
11．【答案】ABD
【分析】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC，利用基本不等式即可判断D.
【详解】由题可得，，
，即，所以，
对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，故C错误；
对于D，因为，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，这与已知矛盾，所以，故D正确.
故选ABD.
12．【答案】
【详解】
13．【答案】（答案不唯一）
【详解】由题意：，.
所以，.
所以的值可以为：，，…
14．【答案】
【详解】由，得，即.
令，则
易得是增函数，所以，即.
实数是关于的方程的解，则是方程的解，即方程的解.
所以，所以.
15．【答案】（1）或，；
（2）.
【详解】（1）解不等式，得，则，
当时，或，
所以或，.
（2）由（1）知或，
由，得或，
由，得，
所以实数的取值范围是.
16．【答案】（1）不存在； （2）
【详解】（1）由，得，又，所以，
因为，且均为锐角，则，，所以，
所以，
综上，而，则，显然有矛盾，所以不存在．
（2）由，则，又，则，
而．
17．【答案】（1）
（2）20
【详解】（1）依题意可得，由可得：，即，故，
代入①，，故.
（2）令，即得，因是减函数，
则，解得，故t的最小值为20.
18．【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）易知，且，所以，
又由，得，
所以，则.
（2）原式
===.
（3）由，得到，，，
所以，，，
所以，又，
所以，得到，
而，则均为正整数且均不为1，
得到，故.
19．【答案】（1）见详解
（2）存在，
【详解】（1），
当时，，即，此时函数的定义域为，
所以此时为非奇非偶函数；
当时，恒成立，所以的定义域为R，
若为偶函数，则，即，
对恒成立，即恒成立，所以，
所以时，为偶函数；
若为奇函数，则，即，
所以，即对恒成立，所以，
所以时，为奇函数；
当时，为非奇非偶函数.
综上，当时，为奇函数；
当时，为偶函数；
当时，为非奇非偶函数.
（2）因为，令，
当时，函数在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，无最小值；
当时，在R上单调递增，无最小值；
当时，，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，又函数单调递增，
所以，解得，
综上，存在实数，的取值范围为.