天津市南开中学滨海生态城学校2025--2026学年高一上册第二次限时训练（12月）数学试题【附答案】

这是一份天津市南开中学滨海生态城学校2025--2026学年高一上册第二次限时训练（12月）数学试题【附答案】，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．下列角中，与角终边相同的角是（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
4．角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．0
5．设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
9．已知，则（ ）
A．B．C．4D．6
10．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（ ）天.
（参考数据：，，
A．9B．15C．25D．35
11．函数，若，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
12．若函数的图象上存在两点，关于原点对称，则称点对为的“基点对”，点对与可看作同一个“基点对”.若恰好有两个“基点对”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
13．设集合，，，则 ．
14．若函数（为常数）在定义域上为奇函数，则 .
15．已知函数的单调递增区间为 ．
16．已知角的终边经过点，则 ．
17．已知，则 .
18．已知，则的最大值是 ．
19．已知，方程有四个不同根，且满足，则的取值范围是 ．
20．已知函数，给出下面四个结论：
①当时，只有一个零点；
②对任意，既没有最大值，也没有最小值；
③存在实数，在上单调递增；
④若存在最小值，则的最小值为．
其中所有正确结论的序号是 ．
21．
22．
23．
24．（1）已知，在第二象限，求，的值；
（2）已知，且，求的值；
（3）若角的终边落在直线上，求的值.
25．已知函数（为常数）
（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围：
（2）当时，
①若 试用表示;
②是否存在正整数，使得关于的不等式 在区间上有解?若存在，求出的最大值，若不存在，请说明理由.
26．设函数（且），且，，函数．
（1）求和的解析式；
（2）若关于x的方程在区间上有实数解，求实数m的取值范围；
（3）设，，，若对任意的，均存在，满足．求实数λ的取值范围．
参考答案
1．【答案】C
【详解】根据终边相同的角的知识确定正确选项.
【详解】与角终边相同的角是，
令，得.
故选C
2．【答案】A
【详解】当时，必有，
故“”是“”的充分条件，
当时，或，推不出；
故“”是“”的充分不必要条件，
故选A．
3．【答案】B
【详解】由题可得函数的图象关于原点对称，定义域为，
对于A，，函数关于y轴对称，故A错误；
对于C，因为的定义域为，故C错误；
对于D，当，时，，不符合图象，故D错误；
对于B，，函数的图象关于原点对称，且时，，符合题意，所以B正确.
故选B.
4．【答案】D
【详解】因为角的终边经过点，
则,.
所以
故选D
5．【答案】A
【详解】由题意，，，故.
又，所以.
故选A
6．【答案】A
【详解】设该扇形的圆心角弧度为，则，
则.
故选A.
7．【答案】C
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，
所以的图象关于原点对称，由此画出函数在上的图象，
在同一坐标系内画出的图象，
因为，，所以，
又，，
所以的图象与的图象交于和两点，如图，
所以结合图象可知，的解集为.
故选C.
8．【答案】B
【详解】函数在区间上单调递增，
，
，得，
所以函数的零点在区间内．
故选B
9．【答案】D
【详解】根据诱导公式可得 ，
即 ，所以 ，
则，
因为，则，而又因为，
所以，
将 代入得： ；
故选D
10．【答案】D
【详解】设经过天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则，
所以，
故选D.
11．【答案】D
【详解】函数在上单调递减，函数在上单调递增，
则函数在上单调递减，因此函数在上单调递增，
当时，，，
函数在上单调递增，而函数在处连续，因此在上单调递增，
由，得，解得，
所以实数的取值范围是.
故选D
12．【答案】D
【详解】函数与的图象关于原点对称，
由恰好有两个“基点对”，得函数与
函数的图象恰有两个交点，即方程 在上恰有两个不相等的实根，
因此，整理得，解得，
所以实数的取值范围是.
故选D
13．【答案】
【详解】，，
故.
14．【答案】
【详解】由题设，即恒成立，所以，经验证满足题设.
15．【答案】
【详解】函数有意义，，解得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
而函数在上单调递减，
所以函数的单调递增区间是.
16．【答案】
【详解】由题意，，
则.
17．【答案】
【详解】根据待求角与已知角的关系，利用诱导公式求解即可.
【详解】因为，
所以
.
18．【答案】4
【详解】，，，则
．当且仅当时，函数取得最大值．
19．【答案】
【详解】函数与直线的图象如下图所示：
因为方程有四个不同根，
所以函数的图象与直线有四个不同的交点，
由图可知：，
因为二次函数的对称轴为，
所以，
由及图象可得，
因为，
所以由
，
因为，所以，
于是，
由对勾函数的单调性可知函数在时，单调递减，
所以有，
所以的取值范围是.
20．【答案】①②④
【详解】对于①，当时，，
当时，令，即，解得（舍）或；
当时，令，即，方程无解，
所以当时，只有一个零点，故①正确；
对于②，当时，因为在单调递增，
所以，无最大值；
又因为在单调递增，所以，
又，
即，所以，无最小值，
所以函数既没有最大值，也没有最小值，故②正确；
对于③，当时，在单调递减，在单调递增，
所以在上不单调递增；
当时，在单调递增，
所以；
在单调递增，所以，
要使在上单调递增，则，即，
当时，显然，，不满足，
所以在上不单调递增；
当时，单调递增，单调递增，
且当时，，
又因为的增长速度比的增长速度快，
所以，不满足，所以在上不单调递增，
综上，不存在实数，使在上单调递增，故③错误；
对于④，当时，因为在单调递增，
所以；
因为在单调递增，所以，
若存在最小值，则，解得，所以；
当时，在单调递减，在单调递增，
所以；
因为在单调递增，所以，
若存在最小值，则，所以，
综上，，所以的最小值为，故④正确.
计算下列各式：
【答案】21． 22． 23．
24．【答案】（1）；（2），（3）0
【详解】（1）在第二象限，
，.
（2）将两边平方得，
所以，
又∵，，又 ， ∴，
所以，
所以，
则.
（3），
∵角的终边落在直线上，∴是第二或第四象限角，
当是第二象限角时，，
当是第四象限角时，，
综上，的值为.
25．【答案】（1）
（2）①；②存在，
【详解】（1）由题意函数的定义域为，
则对于恒成立，
当时，，不恒成立；
当时，，无解；
综上所述，实数的取值范围为.
（2）当时，，
①因为，，
所以.
②存在，理由如下：
由，则，
则不等式 可化为，
则，即在区间上有解，
令，，则，
因为，，
所以，
又因为为正整数，所以的最大值为.
故存在.
26．【答案】（1）；
（2）
（3）
【详解】（1）已知，且，即，
因为且，所以，则.
又因为，即，所以.
对于，因为，所以.
（2）由，可得：，不妨设，
则有：，又，则有： .
故当时，取得最小值为；当时，取得最大值为 ，故
故实数的取值范围为：
（3），若对任意的，均存在，
满足 ，则只需：恒成立.，
不妨设，则设，，则.
在上可分如下情况讨论：
当时，，此时，不满足恒成立.
当时，，此时只需：在上恒成立.
则只需：在上恒成立.
则需：时，不等式成立.解得：，与矛盾；
当时，，此时，只需保证：.
则只需：在上恒成立.
当时，只需保证：当时，成立.
则有：，解得：，
又，故有：，
当时，只需保证：当时，成立，
此时解得：，又故有：，故当时，.
综上所述，解得：实数的取值范围为：