广东省深圳市桃源居中澳实验学校2025--2026学年高一上册12月月考数学试题【附解析】

这是一份广东省深圳市桃源居中澳实验学校2025--2026学年高一上册12月月考数学试题【附解析】，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共10小题，每小题6分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（）
A. B.
CD.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，求出集合，，再求即可．
【详解】由题知，，，
．
故选：B．
2. 函数的定义域是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由题意得，
所以
故选A.
3. 函数（，且）图象过定点，则（）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据得到定点坐标，即可得到答案.
【详解】因为，所以定点为，
则，故.
故选：A
4. “”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】要说明“”不是“”的充分条件，只需举反例即可；要得到“”是“”的必要条件，则必须推理.
【详解】若取，显然满足，但,即“”不是“”的充分条件；
若，因函数的定义域为,则必有成立, 即“”是“”的必要条件.
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
5. 已知函数，则（）
A. 0B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用给定的分段函数分段判断求出函数值.
【详解】函数，则.
故选：C
6. 下列函数中，既是偶函数且在上单调递增的函数是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由偶函数和单调性的概念逐项判断即可.
【详解】对于A，为偶函数，在上不具有单调性，故错误，
对于B，为奇函数，故错误；
对于C，由，定义域为R，偶函数，
当时，，在上单调递增，正确，
对于D, 定义域为，非奇非偶，故错误，
故选：C
7. 函数的单调增区间为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性求解即可.
【详解】函数，
故，解得或者，
且函数，在上单调递减，上单调递增，
函数为单调减函数，
根据复合函数的单调性可得，函数的单调增区间为.
故选：D
8. 如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用拼接后的图形面积不变建立方程，进而求解即可.
【详解】由题意得拼接后，图形面积不变，
则，化简得，
两端同时除以，可得，
解得（负根舍去），故C正确.
故选：C
9. 函数的零点所在的区间为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求得函数的单调性，利用函数零点存在性定理，即可得解.
【详解】由为减函数，而也为减函数，
所以为减函数，
由，
所以零点在区间上，
故选：B
10. 已知奇函数的定义域为且在上单调递减，，则满足的的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇偶性及条件，可得在上的单调性，及，，将所求变为或，结合示意图，分析即可得答案.
【详解】因为为上的奇函数，且在上单调递减，
所以在上单调递减，且，，
由，得或，
作出的示意图，
所以x的取值范围是.
故选：C
二、填空题：本题共5小题，共30分.
11. 已知一个扇形的圆心角为，面积为27，则该扇形的半径为______．
【答案】6
【解析】
【分析】根据扇形面积公式列方程求解即得.
【详解】设该扇形的半径为，则由题意可得，解得．
故答案为：6.
12. 若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由指对互换公式可得答案.
【详解】由 ，得： ，
于是，
因此
故答案为：
13. 已知，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】利用同角三角函数的基本关系可求得的值.
【详解】因为，，所以，
则，
因此.
故答案为：.
14. 已知，且，则的最小值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式即可得解.
【详解】因为，，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是．
故答案为：.
15. 已知函数的最小值为，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】当时，由题意可得二次函数的对称轴，求出此时的最小值，当时，求出此时的最小值为，再根据的最小值为列不等式即可求出答案.
【详解】当时，，二次函数对称轴为，
由的最小值为，得，此时的最小值为，
当时，，当且仅当时，等式成立，
此时在上的最小值为，
因为的最小值为，则，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
三、解答题：本题共4小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. （1）计算：；
（2）已知角的终边经过点，求及的值．
【答案】（1）；（2），.
【解析】
【分析】（1）根据指对数运算法则化简即可.
（2）根据三角函数的定义求得，利用诱导公式化简多项式，从而求得值.
【详解】（1）原式
．
（2）∵角的终边经过点，
∴，
∴
【点睛】（1）熟练或者拿给我指对数运算法则来化简多项式；
（2）熟练利用诱导公式化简多项式，并求解.
17. （1）已知，求的值；
（2）已知角是第二象限角，且，若角的终边与单位圆交于第二象限内的点P，求点P坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用齐次式弦化切即可求解
（2）利用同角三角函数的关系解方程组可得和 , 然后利用正弦函数和余弦函数的定义即可得出点的坐标.
【详解】（1）.
（2）因为是第二象限角，所以，，由，解得，所以点的坐标为.
18. 已知函数
（1）若函数定义域为，求的取值范围；
（2）当时，求不等式的解集；
（3）若，恒成立，直接写出的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据不等式的解集为求的取值范围.
（2）结合对数函数的定义域和单调性列式求解即可.
（3）问题转化为当时，恒成立，可求的取值范围.
【小问1详解】
由恒成立，可得.
即实数的取值范围为.
【小问2详解】
当时，.
由.
因为或；
.
所以不等式的解集为.
【小问3详解】
因为，，
当时，恒成立.
所以只需保证时，即可，即，恒成立.
因为函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为，
所以当时，，故.
即的取值范围.
19. 已知定义在上的函数.
(1) 当时,试判断在区间上的单调性,并给予证明.
(2) 当时,试求的最小值.
【答案】(1) 在区间上单调递增，证明见解析； (2)4.
【解析】
【分析】（1）用定义法严格证明即可
（2）用换元法设，，由（1）可得，再根据对勾函数增减性求出最小值即可
【详解】(1) 用定义法证明如下:
设,
则
，
,，
, ，
, 即，
在区间上单调递增；
(2)设,则，
由(1)知, 当时在区间上单调递增
，
在区间上单调递减,在区间上单调递增，
当, 即,解得时,.
【点睛】本题考查函数增减性的证明，复合函数值域的求法，换元法的应用，换元法的核心在于新元的取值范围必须明确，复合函数的增减性遵循同增异减