福建省厦门市海沧中学2025--2026学年高二上册期中适应性练习数学试题【附解析】

这是一份福建省厦门市海沧中学2025--2026学年高二上册期中适应性练习数学试题【附解析】，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线上两点，，则直线的斜率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用过直线上两点斜率公式计算求解．
【详解】，是直线上的两点，设直线的斜率为，则，
，故直线的斜率是．
故选：C．
2. 已知空间向量，则的位置关系是（ ）
A. 垂直B. 平行C. 异面D. 根据a的取值而定
【答案】A
【解析】
【分析】计算，可知，得到答案.
【详解】向量，∴，∴.
故选：A．
3. 已知椭圆方程，则它的焦距是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出的值，由此可得出椭圆的焦距.
【详解】在椭圆中，，，则，因此，该椭圆的焦距为.
故选：B.
4. 圆，圆，则两圆的位置关系是（ ）
A. 内含B. 相交C. 外切D. 外离
【答案】B
【解析】
【分析】求得两圆的圆心与半径，结合圆与圆的位置关系的判定方法，即可求解.
【详解】由题意，圆，圆，
可得，且，
则，可得，即，
所以两圆相交.
故选：B.
5. 如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（ ）

A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量基本定理得到，求出，得到答案.
【详解】正方体中，点为上底面的中心，
所以，
故，
因为，所以，.
故选：B.
6. 已知点 和圆 ，一束光线从点 出发，经过轴反射到圆的最短路程是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】先将圆化为标准方程,求出圆心和半径,再找出圆心关于轴对称的点,最短距离即和圆的圆心关于轴对称的点的距离再减去半径的距离.
【详解】解:由题可知，圆,
整理得,圆心,半径
最短距离即和圆的圆心关于轴对称的点的距离再减去半径的距离，
所以.
故选:C
【点睛】本题主要考查圆的方程和直线与圆的位置关系,考查两点间的距离公式,属于简单题.
7. 已知直三棱柱的所有棱长都相等，M为的中点，则与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取的中点，连接，证明，则或其补角即为异面直线与所成的角，再利用余弦定理求解即可.
【详解】取的中点，连接，
则且，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以或其补角即为异面直线与所成的角，
设正三棱柱的各棱长为，则，
在中，由余弦定理可得，
即异面直线与所成角的余弦值为.

故选：D．
8. 已知直线与轴和轴分别交于A，两点，以点A为圆心，2为半径的圆与轴的交点为（在点A右侧），点在圆上，当最大时，的面积为（ ）
A. B. 8C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】当BP为圆的一条位于AB下方的切线时满足最大，通过计算得的方程再通过面积公式计算即可.
【详解】如图所示，不难发现当BP为圆的一条位于AB下方的切线时满足最大，
由题意可得，不妨设，
则A到BP的距离为，或（舍去）.
则，
此时到BP的距离为，
所以的面积为
故选：A
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 在上的投影向量的模为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算，结合空间向量平行、垂直及模的坐标表示求解判断ABC；求出投影向量的模判断D.
【详解】对于A，，而，A错误；
对于B，，则，B正确；
对于C，，，C错误；
对于D，在上的投影向量为，则，D正确.
故选：BD
10. 对于直线和直线，以下说法正确的有（ ）
A. 直线一定过定点B. 若，则
C. 的充要条件是D. 点到直线的距离的最大值为5
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，求定点即可；对于B，线线垂直时；对于C，线线平行时；对于D，过定点，直线与点和的连线垂直时取最值.
【详解】直线，即直线为，
所以直线过定点，故A正确；
当时，，解得，故B正确；
当时，，解得或，
当时，两直线为，符合题意；
当时，两直线为，符合题意，故C错误；
因为直线，即，过定点，
当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为，故D正确.
故选：ABD
11. 正方体的棱长为，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线与直线所成的角为
B. 直线与平面所成的角为
C. 二面角的平面角为
D. 点到平面的距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可判断ABC，根据向量法求距离即可判断D.
【详解】以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，
则，
对于A：，，
又，所以，
所以直线与直线所成的角为，故A正确；
对于B：因为，，
设平面的法向量为，则
，
故，令，则，
所以为平面的一个法向量，又，
设直线与平面所成角为，
所以，
又，所以，
所以直线与平面所成的角为，故B正确；
对于C：由选项B的解析可得为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，，，
则，
故，令，则，
所以为平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，
则，，
结合图象可得，所以二面角的平面角为，故C错误；
对于D：因为，为平面的一个法向量，
所以点到平面的距离，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，，则与的夹角__.
【答案】##
【解析】
【分析】利用数量积计算向量夹角余弦，进而求得夹角.
【详解】，由的范围为，
所以.
故答案为：.
13. 已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据椭圆的概念，判断基本量，进而写出椭圆标准方程.
【详解】由题意可知，动点P的轨迹为椭圆，且，则，
所以椭圆标准方程为.
故答案为：.
14. 某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则的最小值为___________；类比地，已知函数，则的最小值为___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用两点间的距离公式，结合几何意义求出的最小值；变形，再利用几何意义求出其最小值.
【详解】由，得是坐标平面内点与
点距离的和，则，当且仅当重合时取等号，
所以的最小值为；

由，得是坐标平面内点与
点距离的和，则，当且仅当为线段与轴的交点时取等号，
所以的最小值为.

故答案为：；
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知直线，圆C的圆心在x轴正半轴上，且圆C与l和y轴均相切．
（1）求圆C的方程；
（2）过点直线与圆C交于A,B两点，且，求该直线方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据题目条件求出圆心和半径，写出圆的方程；
（2）先求圆心到直线的距离，再利用弦长可得答案
【小问1详解】
设圆心坐标为 ，半径为. 因为圆与直线 相切，
所以圆心到该直线的距离等于半径，所以；
因为圆与轴相切，则 .
故.
故该圆的方程为：.
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，直线方程为，直线与圆无交点，不合题意，故直线斜率存在.
设直线的方程为：，圆心到直线的距离为，则.
由垂径定理得：，即，解得，即，
解得.所以该直线方程为：或.
16. 如图，直线过椭圆的左焦点和一个顶点B．

（1）求该椭圆的离心率；
（2）记直线l与椭圆的另一交点为A，求的面积S．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意，分别求出B点和点坐标，可得b和c的值，根据的关系，可得a值，代入离心率公式，即可得答案.
（2）由（1）得椭圆的方程，与直线l联立，可得A点横坐标，代入面积公式，即可得答案.
【小问1详解】
因为直线过椭圆的左焦点和一个顶点B，
令，解得，则上顶点，即，
令，解得，则左焦点，即，
所以，则离心率
【小问2详解】
由（1）得，椭圆的方程为，与直线联立
，消去y得，
解得或，则A点的横坐标，
所以的面积.

17. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，且，M是棱的中点．

（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的大小；
（3）E为棱的中点，在棱上是否存在点F，使得∥平面？若存在，确定点F的位置，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）存在，当点F为棱的中点时，∥平面，证明见解析.
【解析】
分析】（1）先证明平面，再证平面,平面，所以
（2）建立空间直角坐标系，即可求解.
（3）利用线面平行的判定定理即可证明.
【小问1详解】
底面是边长为2的正方形，
底面，平面，,，
平面，平面，平面，
又，平面，平面，.
，M是棱的中点，所以，平面，
平面，，平面,
平面，所以
【小问2详解】
如图：以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系,
则,，
设平面的法向量为
则即 ，取，则，
，所以，
直线与平面所成角的大小
【小问3详解】

存在，当点F为棱的中点时，∥平面，证明如下：
分别是的中点，.
E为棱的中点，,，
四边形为平行四边形，，平面，
平面,∥平面.
18. 已知直线交y轴于点P，圆，过点P作圆M两条切线，切点分别为A，B．
（1）当时，求切线长；
（2）求证：直线恒过定点；
（3）记直线与交于点C，，是否为定值？若是，求其值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）为定值
【解析】
【分析】（1）求出及圆的半径，再利用勾股定理即可得解；
（2）根据相切可知四点共圆，且为直径，求出圆的方程即可得弦所在的直线方程，即可得证；
（3）根据直线过定点及可得，即C在以为直径的圆上，求出圆的方程可发现圆心为点，即可得解.
【小问1详解】
圆圆心，半径，
当时，，则，
因为为圆的切线，所以，
所以；
【小问2详解】
因为，，且，
所以四点共圆，且为直径，
所以该圆圆心为，半径为，
所以圆的方程为：，
因为是该圆和圆的相交弦，
所以直线的方程为两圆方程相减，
即，
化简可得，
所以直线经过定点；
【小问3详解】
因为，所以，
因为在直线上，所以，
即点C在以为直径的圆上，因为，，
所以圆心为，半径为，
所以圆的方程为：，圆心为，
因为点C在该圆上，所以为定值．
19. 若集合表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是中的一条直线，则称该圆为集合的包络圆．
（1）若圆是集合包络圆．
（i）求，满足的关系式；
（ii）若，求的取值范围；
（2）若集合的包络圆为，是上任意一点，判断轴上是否存在定点，，使得，若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）.
（2）存在，，或，.
【解析】
【分析】（1）（i）根据所给新定义，利用圆心到直线距离等于半径得解；
（ii）转化为圆与直线有公共点列出不等式求解即可；
（2）根据新定义，可得出圆的方程，再设轴上存在定点，，使得，化简可知方程有解，求解即可得出点的坐标.
【小问1详解】
（ⅰ）因为圆：是集合的包络圆，
所以圆心到直线的距离为2，
所以.
（ⅱ）由及，可得圆与直线有公共点，
所以.
所以的取值范围是；
【小问2详解】
设，由题意可知：点到直线的距离是与无关的定值，
所以为无关的定值.
所以，故，此时.
所以圆：.
设，则即.
假设轴上存在点、，使得，
即，
即恒成立，
所以，解得或.
所以，或，.