2025-2026学年北京市门头沟区九年级上学期期末数学试卷（学生版）

这是一份2025-2026学年北京市门头沟区九年级上学期期末数学试卷（学生版），共7页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A.B.
C.D.
2.下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A.三角形两边之和大于第三边
B.射击运动员射击一次，命中靶心
C.圆内接四边形的对角互补
D.在装有3个红球的袋子中摸到蓝球
3.已知的半径为3，一点到圆心的距离是5，则这点在( )
A.在内B.在上
C.在外D.不能确定
4.将抛物线向下平移1个单位后得到的拋物线的解析式为（ ）
A.B.
C.D.
5.如图，，与分别相切于点A，B．如果，，那么长度是（ ）
A.2B.3C.D.
6.如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，如果，，那么下列结论错误的是（ ）
A.B.
C.D.
7.南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问宽和长各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列方程正确的是（ ）
A.B.
C.D.
8.已知二次函数（）图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：
给出下面四个结论：
①抛物线的对称轴为直线；
②抛物线的开口向下；
③是关于的一元二次方程（）的一个根；
④如果点，在此二次函数图象上，那么．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A.①③B.①④C.②③D.②④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是____________．
10.抛物线y＝2（x﹣3）2+5的顶点坐标为_________．
11.如图，正六边形的周长为18，则它的外接圆的半径为____________．
12.若关于一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为______．
13.如图，是的直径，C，D在上，，如果，那么____________．
14.写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点（0，2），这个二次函数的解析式可以是______．
15.“莱洛三角形”是机械学家莱洛发现的一种曲边三角形，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．如图，等边的边长为6，那么此“莱洛三角形”的周长是____________．
16.某校组织学生参加“永定河文化节”实践活动，该活动设有“生态保护”、“历史溯源”、“民俗体验”、“红色教育”、“地质探索”五个主题，每位学生必须参加其中的两个主题活动（不考虑主题顺序）．以下是报名情况的统计表：
该校参加此次实践活动的学生共有____________人；若同时报名参加“历史溯源”和“红色教育”主题的学生刚好有人，则同时报名参加“生态保护”和“民俗体验”主题的学生有____________人．
三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每小题5分，第27、28题每小题5分）
17.已知二次函数的图象经过点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在平面直角坐标系中，画出此函数的图象；
（3）当时，结合图象，直接写出的取值范围．
18.近年来我国航天事业取得了一系列的伟大成就．下面是四张印有中国航天飞行任务标识图案的卡片A，B，C，D，四张卡片除正面图案外其它均相同．将这四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上．
（1）从这四张卡片中随机抽取1张卡片，正面图案恰好是“神州22”飞行任务标识的概率是 ；
（2）从这四张卡片中随机同时抽取2张卡片，用列举法求出正面图案恰好是“神州19”和“神舟20”飞行任务标识的概率．
19.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图1，当筒车工作时，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O（O在水面上方）为圆心的圆，已知被水面截得的弦长为6米，点C为运行轨道的最低点，于D，点C到水面的距离是1米，求的半径．
20.下面是小明设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图1，及上一点P．
求作：直线，使得与相切．
作法：如图2，
①作射线，在射线上截取；
②分别以点O和点N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在射线上方交于点M；
③作直线．
所以直线就是所求作直线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图2（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接，．
∵由作图可知， ，，
∴（ ）（填推理依据）．
∵为的半径，
∴是切线（ ）（填推理依据）．
21.已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个实数根为2，求的值．
22.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点O逆时针旋转得到，其中点A，B，C的对应点分别为，，．

（1）在图中画出旋转后的；
（2）点的坐标为 ，点的坐标为 ；
（3）如果为边上一点，那么点P的对应点的坐标为 ．
23.如图，在中，，以为直径作交于点D，过点D作的切线交于点E．
（1）求证：；
（2）如果，，求的长．
24.元旦联欢会上，小宇设计了一项抛掷乒乓球的游戏．如图1，向斜坡抛掷一个乒乓球，乒乓球从斜坡弹起，第一次落地后再一次弹起，第二次又落在地面上，如果把乒乓球看成点，乒乓球两次的飞行路线都可以近似看成某条抛物线的一部分．
如图2，小宇以斜坡底端为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，记弹起点为A，两次落地点分别为B，C，乒乓球飞行过程中距斜坡底端O的水平距离为，距地面的竖直高度为．如果乒乓球的弹起点为，第一次弹起时的最高点为，请帮助小宇求解下列问题：
（1）求乒乓球第一次飞行路线对应的抛物线的解析式；
（2）求乒乓球第一次落地点B距斜坡底端O的水平距离；
（3）若乒乓球第二次飞行路线和第一次飞行路线的抛物线形状相同，且第二次落地点C距离第一次落地点B的水平距离是，如果规定乒乓球第二次弹起时达到的最高点距地面的竖直高度超过，则挑战成功，否则挑战失败，判断此次游戏小宇是否挑战成功，并说明理由．
25.在平面直角坐标系中，已知抛物线（）．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）点和在该抛物线上，如果，且，那么 ；
（3）已知点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，当线段的长随的增大而减小时，求的取值范围．
26.在中，，，点D为平面内任意一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接，取的中点F，连接．
（1）如图1，当点D在线段上时，点E恰好落在上，求证：；
（2）如图2，当点D在内部时，
①依题意补全图2；
②用等式表示的数量关系，并证明．
27.在平面直角坐标系中，已知两定点M，N及动点P，给出如下定义：如果以P为顶点的的两边经过点M，N，且，那么称点P为点M，N的“相关等角点”．如图，已知：，．
（1）在，，中，是点M，N的“相关等角点”的是 ；
（2）如果点是点M，N的“相关等角点”，那么 ；
（3）已知点，，如果线段AB上存在点M，N的“相关等角点”，且，直接写出的取值范围．
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活动主题
生态保护
历史溯源
民俗体验
红色教育
地质探索
报名人数（人）
18
8
14
8
12