湖南省长沙市第一中学2026届高三上学期月考（六）数学试卷含解析（word版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.已知复数 满足 ,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由 可得, ,所以 .
2.已知集合 ,则集合
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由 ,则 .
3.函数 的零点个数为
A. 0 B. 1C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】由题意得, ,即 , 在同一平面直角坐标系中,作出函数 和 的图象, 由图象可得两函数的图象有 2 个交点,
函数 的零点个数为 2 .
4.已知 表示两个不同的平面, 为平面 内的一条直线,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当 时,平面 内的直线 不一定与平面 垂直;当直线 垂直于平面 时,根据面面垂直的判定定理,知两个平面一定垂直,故 “ ” 是 “ ” 的必要不充分条件.
5.已知 是数列 的前 项和, 是等差数列,若 , 则
A. 18 B. 24C. 32 D. 42
【答案】C
【解析】由题设 是等差数列, ,得 的公差为 2,所以 ,所以 ,所以 .
6.若变量 线性相关，由数据 求得回归方程为 ，则下列结论一定成立的是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由回归直线过样本中心点 ,得 ,
,代入,得 ,
方程两边同时乘 5,得 .
7.已知等差数列 ,公差为 ,则下列命题正确的是
A. 函数 可能是奇函数
B. 若函数 是偶函数，则
C. 若 ，则函数 是偶函数
D. 若 ，则函数 的图象是轴对称图形
【答案】D
【解析】对于 ,若函数 是奇函数,则 ,
可得 ,所以 ,此时 ,
此时函数 是偶函数，故 A 错误；
对于 ,当 时, ,所以 ,
,函数 是偶函数,
但 ,故 错误;
对于 ,若 ,则 ,则 ,所以 ,
则 ,所以函数 不是偶函数,故 错误;
对于 ,若 ,则 ,
,所以 ,
所以函数 的图象关于直线 对称,是轴对称图形,故 正确.
8.某医院分三批共派出六位年龄互不相同的医务人员支援六个不同的方舱医院，每个方舱医院分配一人. 第一批派出一名医务人员的年龄为 ,第二批派出两名医务人员的年龄最大者的年龄为 ,第三批派出三名医务人员的年龄最大者的年龄为 ,则满足 的分配方案的概率为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】假设 6 位医务人员按年龄排序为 ,由题意知,年龄最大的医务人员必在第三批，派遣方式如下:
①第一批派 ，第二批年龄最大者为 ，第三批年龄最大者为 ，剩下的医务人员一个在第二批，两个在第三批,有 种方案;
②第一批派 ，第二批年龄最大者为 或 ，第三批年龄最大者为 ，当第二批年龄最大者为 ，则有 种方案,当第二批年龄最大者为 ,则有 种方案,其 种方案;
③第一批派 ,第二批年龄最大者为 或 或 ,第三批年龄最大者为 ,当第二批年龄最大者为 ,则有 种方案,当第二批年龄最大者为 ,则有 种方案,当第二批年龄最大者为 ,则有 1 种方案,其 种方案;
④第一批派 ，第二批年龄最大者为 或 或 ，第三批年龄最大者为 ，当第二批最大者为 ，则有 种方案,当第二批年龄最大者为 ,则有 种方案,当第二批年龄最大者为 ,则有 1 种方案,其 种方案,
种方案,而总派遣方案有 种,
满足 的分配方案的概率为 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知点 分别为双曲线 的左、右焦点,点 为双曲线 上一动点,则下列说法正确的是
A. 双曲线 与双曲线 有相同的渐近线
B. 若 ,则 的周长为
C. 若 ,则 的面积为
D. 若直线 与双曲线 的两支各有一个交点,则直线 的斜率
【答案】ABD
【解析】对于 A，双曲线 ，则 ， ，故渐近线方程为 ，即 ，双曲线 ,故渐近线方程为 ,即 ,故 A 正确;
对于 ,由题意得, ,由双曲线的定义得, ,
,故 的周长为 ,故 B 正确;
对于 ,不妨设点 在右支上,设 ,则 ,
因为 ,所以 ,解得 或 (舍去),
所以 的面积为 ,故 C 错误;
对于 ,若直线 与双曲线 的两支各有一个交点,则直线 的斜率必须介于两条渐近线的斜率之间,即 ,故 正确.
10.已知函数 ,则下列说法正确的是
A. 的图象关于直线 对称
B. 在区间 上单调递增
C. 的图象可以由 的图象向右平移 个单位长度得到
D. 若 在区间 上存在极大值点和极小值点,则实数 的取值范围为
【答案】BC
【解析】 .
对于 ,因为 ,所以直线 不是 图象的对称轴,故 不正确; 对于 ,若 ,则 ,所以 在区间 上单调递增,故 B 正确;
对于 向右平移 个单位长度,
得 ,故 正确; 对于 ,由 ,得 ,而 在区间 上有极大值点和极小值点, 则 ,解得 ,所以实数 的取值范围为 . 故 不正确.
11.已知在矩形 中, 为线段 的中点,将 分别沿 翻折,使得 两点重合于点 ,则
A.
B. 三棱锥 的体积为
C. 点 到平面 的距离为
D. 存在半径为 的球 ,使得 四点均在球 的球面上
【答案】AC
【解析】对于 ,有 ,故 ,故 正确;
对于 ,由 ,故 ,又 平面 ,故 平面 ,
故 ,故 B 错误;
对于 ,设点 到平面 的距离为 ,则由 可得,
,则 ,故 正确;
对于 ,设三棱锥 外接球球心为 ,半径为 ,
由 平面 ,取 的中点 ,则 ,且 ,则 ,
则有 ,即 ,故 D 错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 的展开式中 项的系数为________.
【答案】-5
【解析】 的展开式中 项的系数为 .
13.在平面直角坐标系中,已知点 是 轴上的两个动点，且 ，则 的最小值为_______.
【答案】 -5
【解析】当点 在点 左侧时,设 ,
则 ,当 时, 的最小值为 -5 ;
同理,当点 在点 右侧时,设 ,
求得 ,当 时, 的最小值为 -5 .
14.已知 内角 的对边分别为 分别为 上一点, 为 上一点, 与 关于 对称. 若 , ,则 ________.
【答案】
【解析】如图,由 得 .
令 .
令 ,
在 上单调递减, 在 上单调递减,
,
由题意知 ,
,
.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知数列 的前 项和为 ,且
(1)求证:数列 是等比数列；
(2)求 .
【解析】(1)由题意得,当 时, ,①
当 时, ,②
将①代入②得: ，
所以 ,又 ,
所以数列 是以 3 为首项,2 为公比的等比数列. 6 分
(2)由(1)知 ，即 ，
所以 ,
所以
,
所以 .
16.如图，在四棱锥 中，已知 平面 . ， ，线段 的中点 满足 平面 .
(1)求 的长；
(2)若 ，求二面角 的余弦值.
【解析】(1) 取 的中点为 ,连接 ,
因为 分别为 的中点,所以 ,
因为在四边形 中, ,
所以 ,即 四点共面.
因为 平面 平面 ,平面 平面 ,
所以 ,
又 ,所以四边形 是平行四边形,则 ,
所以 ,则 .
(2)因为 平面 平面 ,所以 ,
又因为 平面 ,
所以 平面 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
所以 两两垂直，故以 为原点，分别以 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系 .
在梯形 中, ,所以 ,
由题可知 ,
则 ,
设 为平面 的法向量,则
即 令 ,可得 .
同理求得平面 的法向量 .
设二面角 的平面角为 ,
则 ,
由图可知,二面角 的平面角为锐角,
所以二面角 的余弦值为 .
17.某靶场有 两种型号的步枪可供选用,其中甲使用 两种型号的步枪的命中率分别为 .
(1)若出现连续两次子弹脱靶或者子弹打光耗尽便立刻停止射击，若击中标靶至少 3 次，则可以获得一份奖品，若甲使用 型号的步枪， 并装填 5 发子弹，求甲获得奖品的概率；
(2)现在 两把步枪中各装填 3 发子弹,甲打算轮流使用 两种步枪进行射击,若击中标靶,则继续使用该步枪,若未击中标靶,则改用另一把步枪,甲先使用 种型号的步枪,若出现连续两次子弹脱靶或者其中某一把步枪的子弹打光耗尽便立刻停止射击，记 为射击的次数，求 的分布列与数学期望.
【解析】
(1)设事件 “甲获得奖品”，
方法一:获得奖品是 5 次击中 3 次、4 次、5 次，且不能连续两次不中，即 3 次击中中去除第一枪、第二枪不中， 第二枪、第三枪不中，第三枪、第四枪不中三种情况,
即 . 6 分
方法二: 记事件 “甲使用 型号的步枪射击一次击中标靶”,
事件 “甲使用 型号的步枪射击一次未击中标靶”,
则 ,
所以 ,
所以 . 6 分
(2)由题意， 的所有可能取值为2,3,4,5，
设事件 “甲使用 型号的步枪射击一次击中标靶”,
事件 “甲使用 型号的步枪射击一次未击中标靶”,
则 ,
所以 的分布列为
所以 的数学期望为 .
18.已知 是椭圆 上的两个动点, 在 轴上方, 在 轴下方,直线 与 轴、 轴分别交于 两点, 为坐标原点.
(1)若直线 与 的斜率之积为 ，证明: 为定值；
(2)点 关于 轴的对称点为 ，设 的面积分别为 ，且 .
(i)求直线 的斜率；
(ii)是否存在直线 ,使 ? 若存在,求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.
【解析】(1) 证明: 设 ,
由题意得 ,所以 ,
又点 在椭圆上,所以 ,
得 ,
代入 得 ,
所以 .
(2)(i)因为 ，
所以 ,即 .
所以直线 与 关于直线 对称,所以 ,
整理得 ,
由题意得直线 的斜率存在,设直线 的方程为 ,
与椭圆 联立得 ,
所以 ,
代入
,
整理得 ,解得 或 (直线 不过点 ,舍去),
所以直线 的斜率为 .
(ii) 由 (i) 知直线 的方程为 ,
联立 与椭圆 ,得 ,
且应满足 ,解得 .
如图,过 两点分别向 轴作垂线,垂足分别为 ,
则
得 ,解得 (舍) 或 ,
所以存在直线 ,其方程为 或 .
19.已知函数 (其中 为自然对数的底数, ).
(1)当 时,求 处的切线方程；
(2)若函数 在其定义域上不单调，求证: ；
(3)若 对任意 恒成立,求实数 的取值范围.
【解析】(1) 当 时, ,则 ,所以 ,
所以 在 处的切线方程为 ,即 .
(2)因为 ，所以 ，
当 时, 在 上单调递减,不合题意;
当 时,由 得 ,由 得 ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,符合题意,
此时 ,
要证 ,只需证 ,即证 .
不等式 等价于 ,
令 ,则 ,
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ,故 .
(3)由题意得，
,
令 ,则原不等式等价于 恒成立,令 ,则 ,当 时, ,则 在 上单调递减;
当 时,令 ,则 ,故 在 上单调递增,
又 ,所以存在唯一的 ,使得 ,
且当 时, 在 上单调递减,当 时, 在 上单调递增,
综上所述， 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ,故存在唯 ,使得 ,
从而 .
① 当 时， 是减函数，故 的值域为 ，此时 恒成立，符合题意；
② 当 时， 是减函数，故 的值域为 ，此时存在 ，不符合题意;
③ 当 时，由 (2) 知 ，又当 时， ，
故 的值域为 ,
若 ,即 时, ,此时 恒成立,符合题意, 若 ,即 时,取 ,此时存在 ,不符合题意.
综上所述，实数 的取值范围为 .2
3
4
5