2023年湖北省鄂州市中考数学试卷（Word版附解析）

这是一份2023年湖北省鄂州市中考数学试卷（Word版附解析），共9页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
学校：___________ 考生姓名：___________ 准考证号：___________
注意事项：
1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答题前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上无效．
4．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试卷上无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
·祝考试顺利·
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）
1. 10的相反数是（ ）
A. －10B. 10C. D.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 中华鲟是地球上最古老的脊椎动物之一，距今约有140000000年的历史，是国家一级保护动物和长江珍稀特有鱼类保护的旗舰型物种，3月28日是中华鲟保护日，有关部门进行放流活动，实现鱼类物种的延续并对野生资源形成持续补充．将140000000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，直线，于点E．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知不等式组的解集是，则（ ）
A. 0B. C. 1D. 2023
7. 象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④若，（其中）是抛物线上的两点，且，则，其中正确的选项是（ ）
A. ①②③B. ①③④C. ②③④D. ①②④
10. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）
11. 计算：=_______．
12. 为了加强中学生“五项管理”，葛洪学校就“作业管理”、“睡眠管理”、“手机管理”、“读物管理”、“体质管理”五个方面对各班进行考核打分（各项满分均为100），九（1）班的五项得分依次为95，90，85，90，92，则这组数据的众数是___________．
13. 实数m，n分别满足，且，则的值是_______．
14. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，且．若，则点的坐标是___________．
15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（其中）相交于，两点，过点B作轴，交y轴于点P，则的面积是___________．
16. 2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直角三角形（）拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接和，与、、分别相交于点P、O、Q，若，则的值是___________．
三、解答题（本大题共8小题，17~21题每题8分，22~23每题10分，24题12分，共计72分）
17. 先化简，再求值：，其中．
18. 如图，点E是矩形边上的一点，且．

（1）尺规作图（请用铅笔）：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）试判断四边形的形状，并说明理由．
19. 为庆祝建党100周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，东营市某中学九（1）班团支部组织了一次手抄报比赛．该班每位同学从A．“北斗卫星”；B．“5G时代”；C．“东风快递”；D．“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成以下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）九（1）班共有________名学生；
（2）补全折线统计图；
（3）D所对应扇形圆心角大小为________；
（4）小明和小丽从A、B、C、D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图方法求出他们选择相同主题的概率．
20. 鄂州市莲花山是国家级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部F点沿水平方向步行30米到达自动扶梯底端A点，在A点用仪器测得条幅下端E的仰角为；接着他沿自动扶梯到达扶梯顶端D点，测得点A和点D的水平距离为15米，且；然后他从D点又沿水平方向行走了45米到达C点，在C点测得条幅上端G的仰角为．（图上各点均在同一个平面内，且G，C，B共线，F，A，B共线，G、E、F共线，，）．

（1）求自动扶梯的长度；
（2）求大型条幅长度．（结果保留根号）
21. 1号探测气球从海拔处出发，以的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以的速度竖直上升．两个气球都上升了．1号、2号气球所在位置的海拔，（单位：m）与上升时间x（单位：）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：

（1）___________，___________；
（2）请分别求出，与x的函数关系式；
（3）当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为？
22. 如图，为的直径，E为上一点，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点D，延长交的延长线于点F．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径长．
23. 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，．

【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________；
【技能训练】
（2）如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
【能力提升】
（3）如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值；
【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至．抛物线内有一定点，直线l过点且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：
如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请求出的面积．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线轴，交y轴的正半轴于点，且，点B是y轴右侧直线l上的一动点，连接．

（1）请直接写出点A的坐标；
（2）如图2，若动点B满足，点C为的中点，点为线段上一动点，连接．在平面内，将沿翻折，点B的对应点为点P，与相交于点Q，当时，求线段的长；
（3）如图3，若动点B满足，为的中位线，将绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，求直线EB与x轴交点的坐标；
（4）如图4，平分交于点，于点，交于点，为的一条中线．设，，的周长分别为，，．试探究：在B点的运动过程中，当时，请直接写出点B的坐标．
鄂州市2023年初中学业水平考试
数学试题
学校：___________ 考生姓名：___________ 准考证号：___________
注意事项：
1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答题前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上无效．
4．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试卷上无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
·祝考试顺利·
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）
1.【2023·鄂州】10的相反数是（ ）
A －10B. 10C. D.
【答案】A
2. 【2023·鄂州】下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3. 【2023·鄂州】中华鲟是地球上最古老的脊椎动物之一，距今约有140000000年的历史，是国家一级保护动物和长江珍稀特有鱼类保护的旗舰型物种，3月28日是中华鲟保护日，有关部门进行放流活动，实现鱼类物种的延续并对野生资源形成持续补充．将140000000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
4. 【2023·鄂州】下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
5. 【2023·鄂州】如图，直线，于点E．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
6. 【2023·鄂州】已知不等式组的解集是，则（ ）
A. 0B. C. 1D. 2023
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得，再结合已知可得，，然后进行计算可求出，的值，最后代入式子中进行计算即可解答．
【答案】B【解析】，解不等式①得：，解不等式②得：，∴原不等式组的解集为：.∵不等式组的解集是，∴，.∴，.∴.
【点评】本题考查了根据一元一次不等式组的解集求参数，准确熟练地进行计算是解题的关键．
7. 【2023·鄂州】象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（ ）
A. B. C. D.
【分析】利用待定系数法求解一次函数即可得解．
【答案】A【解析】如图，建立平面直角坐标系，可得“马”所在的点，设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为，∵过点和，∴，解得.∴经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为.
【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法式解题的关键．
8. 【2023·鄂州】如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【分析】连接，，作交于点，首先根据勾股定理求出的长度，然后利用解直角三角形求出、的长度，进而得到是等边三角形，，然后根据角直角三角形的性质求出的长度，最后根据进行计算即可．
【答案】C【解析】如图所示，连接，，作交于点.∵在中，，，，∴.∵点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，∴是半圆的直径.∴.∵，∴，.又∵，∴.∴是等边三角形.∴. ∵，，∴.∴．
【点评】本题考查了角直角三角形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质和判定，扇形面积，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
9. 【2023·鄂州】如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④若，（其中）是抛物线上的两点，且，则，其中正确的选项是（ ）
A. ①②③B. ①③④C. ②③④D. ①②④
【分析】根据二次函数的性质可得，，，可判断结论①；由处的函数值可判断结论②；由处函数值可判断结论③；根据得到点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离可判断结论④．
【答案】D【解析】二次函数开口向下，则，二次函数对称轴为，则，，，
∴，故①正确；∵过点，∴由对称性可得二次函数与轴的另一交点为.由函数图象可得时，，故②正确；时，，代入得：，故③错误；∵对称轴是直线，∴若，即时，.∴当时，点到对称轴距离小于点到对称轴的距离.∵二次函数开口向下,∴，故④正确．综上所述，正确的选项是①②④．
【点评】本题考查了二次函数的综合，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键．
10. 【2023·鄂州】如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【分析】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，利用相似三角形的性质即可求解．
【答案】D【解析】∵点为平面内一动点，，∴点在以点为圆心，为半径的上.在轴负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、， ∵，∴.∴.∵，∴.∵，∴.∴.∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值.∵，，∴.∴.∵，∴.∵轴轴，，∴.∵，∴.∴即，解得.同理可得，，∴即，解得.∴.∴当线段取最大值时，点的坐标是，
【点评】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）
11. 【2023·鄂州】计算：=_______．
【答案】4
12. 【2023·鄂州】为了加强中学生“五项管理”，葛洪学校就“作业管理”、“睡眠管理”、“手机管理”、“读物管理”、“体质管理”五个方面对各班进行考核打分（各项满分均为100），九（1）班的五项得分依次为95，90，85，90，92，则这组数据的众数是___________．
【答案】90
13. 【2023·鄂州】实数m，n分别满足，且，则的值是_______．
【分析】直接利用根与系数的关系进行求解即可．
【答案】【解析】由题可知，m和n是的两个根，所以，所以．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握“若一元二次方程的两个根分别为和，则”．
14. 【2023·鄂州】如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，且．若，则点的坐标是___________．
【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长．
【答案】【解析】设∵与位似，原点是位似中心，且．若，∴位似比为.∴，解得，.∴.
【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．
15. 【2023·鄂州】如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（其中）相交于，两点，过点B作轴，交y轴于点P，则的面积是___________．
【分析】把代入到可求得的值，再把代入双曲线函数的表达式中，可求得的值，进而利用三角形的面积公式进行求解即可．
【答案】【解析】∵直线与双曲线（其中）相交于，两点，∴∴.∴双曲线的表达式为：，.∵过点作轴，交轴于点，∴.∴.
【点评】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键．
16. 【2023·鄂州】2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直角三角形（）拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接和，与、、分别相交于点P、O、Q，若，则的值是___________．
【分析】设，，则，证明，利用相似三角形的性质求出，可得，，利用勾股定理求出和，进而可得的长，再证明，可得，然后根据正方形的性质求出，即可得出答案．
【答案】【解析】设，，则，∵，，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，整理得：，解得：，（舍去），即，∴，，∴，，∴，∴∴，∵四边形是正方形，∴，，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程以及二次根式的混合运算等知识，证明，求出的长是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，17~21题每题8分，22~23每题10分，24题12分，共计72分）
17. 【2023·鄂州】先化简，再求值：，其中．
【分析】根据题意，先进行同分母分式加减运算，再将代入即可得解．
【解析】解：原式
，
当时，原式．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减，约分等相关计算法则是解决本题的关键．
18. 【2023·鄂州】如图，点E是矩形的边上的一点，且．

（1）尺规作图（请用铅笔）：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）试判断四边形的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）根据矩形的性质和平行线的性质得出，结合角平分线的定义可得，则，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论．
解：（1）如图所示：
（2）四边形是菱形.
理由：∵矩形中，，∴.
∵平分，∴.∴.
∴.
∵，∴.
∵，∴四边形是平行四边形.
又∵，∴平行四边形是菱形．
【点评】本题主要考查了尺规作角平分线，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
19. 【2023·鄂州】为庆祝建党100周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，东营市某中学九（1）班团支部组织了一次手抄报比赛．该班每位同学从A．“北斗卫星”；B．“5G时代”；C．“东风快递”；D．“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成以下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）九（1）班共有________名学生；
（2）补全折线统计图；
（3）D所对应扇形圆心角的大小为________；
（4）小明和小丽从A、B、C、D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．
【分析】（1）用B组频数除以所占百分比即可求解；
（2）用50减去A、B、C组频数，求出D组频数，即可补全折线统计图；
（3）用360°乘以D组所占百分比即可求解；
（4）列表得出所有等可能结果，根据概率公式即可求解．
解:（1）20÷40%=50（人）.
（2）50-10-20-5=15（人），
补全折线统计图如图：
；
（3）.
（4）列表如下：
由列表可知，一共有16种等可能的结果，他们选择相同主题的结果有4种，
所以P（相同主题）．
【点评】本题考查了折线统计图与扇形统计图，求概率等知识，理解两幅统计图提供的公共信息是解题第（1）（2）（3）步关键，列表得出所有等可能的结果是解题第（4）步关键．
20. 【2023·鄂州】鄂州市莲花山是国家级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部F点沿水平方向步行30米到达自动扶梯底端A点，在A点用仪器测得条幅下端E的仰角为；接着他沿自动扶梯到达扶梯顶端D点，测得点A和点D的水平距离为15米，且；然后他从D点又沿水平方向行走了45米到达C点，在C点测得条幅上端G的仰角为．（图上各点均在同一个平面内，且G，C，B共线，F，A，B共线，G、E、F共线，，）．

（1）求自动扶梯长度；
（2）求大型条幅的长度．（结果保留根号）
【分析】（1）过D作于M，由可得，求出的长，利用勾股定理即可求解；
（2）过点D作于N，则四边形是矩形，得，，由已知计算得出的长度，解直角三角形得出的长度，在中求得的长度，利用线段的和差，即可解决问题．
解：（1）过D作于M，如图：

在中，，∵(米)，
∴(米).
由勾股定理得(米).
（2）如图，过点D作于N，
∵，∴四边形是矩形.
∴(米)，(米).
由题意，(米)，
∵，∴.
∴(米)，（米）.
由题意，，(米)，∴.
∴(米).∴米.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题、勾股定理、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21. 【2023·鄂州】1号探测气球从海拔处出发，以的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以的速度竖直上升．两个气球都上升了．1号、2号气球所在位置的海拔，（单位：m）与上升时间x（单位：）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：

（1）___________，___________；
（2）请分别求出，与x的函数关系式；
（3）当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为？
【分析】（1）根据1号探测气球的出发海拔和速度即可计算b的值，根据b的值、2号探测气球的出发海拔和运动时间可计算2号探测气球的速度可计算a的值；
（2）由（1）可得与函数图象的交点坐标为，分别代入计算即可；
（3）由题意可得或，分别计算即可．
解：（1），.
（2）由（1）可得与函数图象的交点坐标为，
设，，
将分别代入可得：，
解得：，，∴，.
（3）由题意可得或，
当时，，解得，
当时，，解得，
∴当上升或时，两个气球的海拔竖直高度差为．
【点评】本题考查了一次函数的应用，从图中获取信息是解题的关键．
22. 【2023·鄂州】如图，为的直径，E为上一点，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点D，延长交的延长线于点F．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径长．
【分析】（1）连接，根据弦、弧、圆周角的关系可证，根据圆的性质得，证明，得到，根据切线的判定定理证明；
（2）连接，，根据勾股定理得到的长，根据等弧对等弦得到，根据圆内接四边形对角互补得，推出，证明，利用相似三角形的性质即可求解．
（1）证明：连接，

∵点C为的中点，∴.∴.
∵，∴.∴.
∴，∴.
∵为半径，∴为切线.
（2）解：连接，，

∵，∴.
∵，，∴.
∵D是的中点，∴.∴.
∵为的直径，∴.
∵，，
∴.∴.∴.
∴.∴，.∴的半径长为．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
23. 【2023·鄂州】某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，．

【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________；
【技能训练】
（2）如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
【能力提升】
（3）如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值；
【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至．抛物线内有一定点，直线l过点且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：
（4）如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请求出的面积．
【分析】（1）根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可；
（2）利用两点间距离公式结合已知条件列式整理得，然后根据，求出，进而可得，问题得解；
（3）过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；待定系数法求直线的解析式，求得点的坐标为，根据点是直线和直线m的交点，求得点的坐标为，即可求得和的值，即可求得；
（4）根据题意求得抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；求得，即可求得的面积．
解：（1）∵抛物线中，∴，.
∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为.
（2）由（1）知抛物线的焦点F的坐标为，
∵点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，
∴，整理得：.
又∵，∴解得：或（舍去）.
∴.∴点P的坐标为.
（3）过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，如图：

若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；
∵直线与直线垂直，故设直线的解析式为，
将代入解得：，∴直线的解析式为，
∵点是直线和抛物线的交点，
令，解得：，（舍去），
故点的坐标为，∴.
∵点是直线和直线m的交点，令，解得：，
故点的坐标为，∴，
．即的最小值为．
（4）∵抛物线中，∴，.
∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为.
过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，如图：

若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；如图：

∵点的坐标为，准线，
∴点的横坐标为，代入解得，
即，，
则的面积为．
【点评】本题考查了两点间距离公式结合，两点之间线段最短，三角形的面积，一次函数的交点坐标，一次函数与抛物线的交点坐标等，解决问题的关键是充分利用新知识的结论．
24. 【2023·鄂州】如图1，在平面直角坐标系中，直线轴，交y轴的正半轴于点，且，点B是y轴右侧直线l上的一动点，连接．

（1）请直接写出点A的坐标；
（2）如图2，若动点B满足，点C为的中点，点为线段上一动点，连接．在平面内，将沿翻折，点B的对应点为点P，与相交于点Q，当时，求线段的长；
（3）如图3，若动点B满足，为的中位线，将绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，求直线EB与x轴交点的坐标；
（4）如图4，平分交于点，于点，交于点，为的一条中线．设，，的周长分别为，，．试探究：在B点的运动过程中，当时，请直接写出点B的坐标．
【分析】（1）根据，点A位于y轴的正半轴即可得出答案；
（2）根据折叠性质和特殊角解三角形，先求出，，再过点D作，得出，解三角形即可求出，从而求出，
（3）将绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，有两种情况，当将绕点B在平面内逆时针旋转，可得点、F恰好落在x轴，，从而可得直线与x轴交点的坐标；当将绕点B在平面内逆时针旋转到上方时，可得，从而得出，，继而可求，再由即可求出交点坐标．
（4）由已知可证明，进而可得，由此可得，延长交于H点，可得，，然后由双勾股求出，进而求出点B坐标．
解：（1）∵，点A位于y轴的正半轴，∴点A坐标为.
（2）∵，直线轴，，
∴，.
∵点C为的中点，∴.
又∵，∴.
由折叠可知：,∴.
如解（2）图，过点D作，

∴，.
∴，即.
∴.∴.
∴.
（3）∵，，∴.
又∵为的中位线，∴，，.
∴.
I．如图，将绕点B在平面内逆时针旋转，到如解（3）-1图所示位置时，

∴，直线轴.∴.
又∵，∴四边形矩形.
∴点、F恰好落在x轴，，
此时直线EB与x轴交点的坐标为.
II．如图，将绕点B在平面内逆时针旋转到点O、E、F三点共线时，，如解（3）-2图所示位置时，

延长交x轴于点K，
∵，，，
∴.∴，.
∴，.
在中，，即：，
解得：，∴.∴.
∵直线轴，∴直线轴.∴.
∴在中，.∴.
∴此时直线EB与x轴交点的坐标为.
综上所述：将绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，直线与x轴交点的坐标为或.
（4）直线轴，于点D，
∴，.
又∵平分交于点，即：，
∴.
又∵，∴.
∴.
∵为的一条中线,∴，即：.
∵，，
∴.
∴设，，的周长分别为，，．
∴，.
∵，∴.
∴.∴.
延长交于H点，如解（4）图，

∵，，，
∴.∴，.
∴，.
∵，，
∴
解得： （不合题意，舍去），.
∴.∴.
∴.所以点B坐标为．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质、解三角形、相似三角形的判定和性质，难度较大，确定运动后线段之间的位置关系、正确作出辅助线是解题的关键．小明
小丽
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D
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B
C
D