广东省广州市花都区2022~2023学年九年级上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份广东省广州市花都区2022~2023学年九年级上学期期末数学试卷（含答案），共38页。试卷主要包含了本次考试不允许使用计算器等内容，欢迎下载使用。
本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分120分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必在答题卡第1页、第5页上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、姓名、考号；并用2B铅笔把对应号码的标号涂黑．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用铅笔画困．答亲必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域，不准使用铅笔，圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，不能折叠答题卡．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
5．本次考试不允许使用计算器．
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．）
1. 如图，我国传统文化中“福禄寿喜”图由四个图案构成，这四个图案中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列事件中，必然事件是（ ）
A. 抛掷一枚骰子，出现4点向上B. 明天会下雨
C. 抛掷一枚硬币，正面朝上D. 四边形的内角和为360°
3. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在中，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 关于二次函数的最值，下列说法正确的是（ ）
A. 有最小值3B. 有最小值4C. 有最大值3D. 有最大值4
6. 如图，为的直径，，是上位于两侧的点，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
7. 若一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知反比例函数，下列说法中正确的是（ ）
A. 该函数的图像分布在第一、三象限
B. 点在函数图像上
C. y随x的增大而增大
D. 若点和在该函数图像上，则
9. 如图，在矩形中，，，点在边上，，垂足为．若，则线段的长为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11. 坐标平面内的点与点关于原点对称，则______．
12. 在一个不透明的箱子中，装有白球、红球共个，这些球的形状、大小、质地等完全相同．小华通过多次试验后发现，从盒子中摸出红球的频率是，那么可以估计盒子中红球的个数是______．
13. 如图，在中，点、分别是、的中点，若的面积是2，则的面积为______．
14. 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为______．
15. 如图，在正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在上，点E是线段与的交点．则的正切值为________．
16. 如图，四边形中，，，，，点是四边形内的一个动点，满足，则面积的最小值为______．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17 解方程：．
18. 如图，为等边三角形，将边绕点顺时针旋转40°，得到线段，连接，求的度数．
19. 为了推进学校与社区融合发展，光明社区开通公众号进行免费线上公益直播授课，9月份该公众号关注人数为2万人，11月份该公众号关注人数达到万人．若从9月份到11月份，每月该公众号关注人数的平均增长率都相同，求该公众号关注人数的月平均增长率．
20. 如图，利用标杆测量建筑物的高度，如果标杆高1.2m，测得，，楼高是多少？
21. 随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调査了部分学生，调査结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两个统计图．
（1）本次调查的学生共有______人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数是______人；
（2）“非常了解”的4人有，两名男生，，两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用列举法求至少抽到一名女生的概率．
22. 如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作的垂线交于点E．
（1）请画出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：是的切线；
23. 如图，在平面直角坐标系中，矩形顶点 B、C在x轴的正半轴上，，．对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点E，分别与，交于点F，G．
（1）若，求k的值；
（2）连接，若，求面积．
24. 已知拋物线（是常数）
（1）证明：该抛物线与轴总有交点；
（2）设该抛物线与轴的一个交点为，若，求的取值范围
（3）在（2）的条件下，若为整数，将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折．其余部分保持不变，得到一个新图象，请你结合新图象，探究直线（为常数）与新图象公共点个数的情况．
25. 如图，四边形为平行四边形，以为直径的交于点，连接，，，．过点作直线．过点作，垂足为．
（1）求的值；
（2）若，且与交于另一点，求的长；
（3）过点作，垂足为，当直线绕点旋转时，求的最大值．
2022学年第二学期九年级阶段性抽测
数学（问卷）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分120分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必在答题卡第1页、第5页上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、姓名、考号；并用2B铅笔把对应号码的标号涂黑．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用铅笔画困．答亲必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域，不准使用铅笔，圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，不能折叠答题卡．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
5．本次考试不允许使用计算器．
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．）
1. 如图，我国传统文化中的“福禄寿喜”图由四个图案构成，这四个图案中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】一个图形绕着某固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形；根据中心对称图形的概念逐一判断即可．
【详解】A.不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
B.是中心对称图形，符合题意，
C.不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
D.不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2. 下列事件中，必然事件（ ）
A. 抛掷一枚骰子，出现4点向上B. 明天会下雨
C. 抛掷一枚硬币，正面朝上D. 四边形的内角和为360°
【答案】D
【解析】
【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
【详解】A. 抛掷一枚骰子，出现4点向上，是随机事件，故该选项不符合题意；
B. 明天会下雨，是随机事件，故该选项不符合题意；
C. 抛掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故该选项不符合题意；
D. 四边形的内角和为，是必然事件，故该选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键．
3. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先将常数项移到等号右边，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后整理成完全平方式即可．
【详解】解：方程移项得，
两边同时加上得，
整理得，
，选项C符合题意，
故选:C．
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的过程是解题关键．
4. 如图，在中，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题需先根据勾股定理得出的长，再根据锐角三角函数的定义即可得出的值．
【详解】，，，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，在解题时要根据勾股定理解出的长是解本题的关键．
5. 关于二次函数的最值，下列说法正确的是（ ）
A. 有最小值3B. 有最小值4C. 有最大值3D. 有最大值4
【答案】C
【解析】
【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，开口向下，
∴有最大值
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数顶点式顶点坐标为，掌握二次函数的性质是解题的关键．
6. 如图，为的直径，，是上位于两侧的点，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先由直径得，然后根据条件求出的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等，即可求出的度数．
【详解】解：为的直径，
，
，
，
与都是的圆周角，
．
故选A
【点睛】本题考查了圆周角的性质，弧、弦、圆周角三者之间的熟练转化是解题关键．
7. 若一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次方程的根的判别式得到一元一次不等式，求解即可．
【详解】∵一元二次方程有实数根，
∴，
解得．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与一元二次方程的根的关系式解决本题的关键．
8. 已知反比例函数，下列说法中正确的是（ ）
A. 该函数的图像分布在第一、三象限
B. 点在函数图像上
C. y随x的增大而增大
D. 若点和在该函数图像上，则
【答案】A
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质逐一进行判断即可得．
【详解】解：A、，函数的图像在第一、三象限，选项说法正确，符合题意；
B、因为，所以点不在函数图像上，选项说法错误，不符合题意；
C、，在每个象限内，y随着x的增大而减小，选项说法错误，不符合题意；
D、，在每个象限内，y随着x的增大而减小，因为，则，选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的性质．
9. 如图，在矩形中，，，点在边上，，垂足为．若，则线段的长为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先根据矩形的性质得到，再利用勾股定理求出，证明求出，则．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据各选项中一次函数与二次函数图像分别判断各自a值的正负，若同正或同负，则判断该选项为符合题意的选项．
【详解】解： A、直线经过二、四象限，则，抛物线开口向上，则，矛盾，故不符合题意；
B、直线经过二、四象限，则，抛物线开口向上，则，由抛物线与y轴交点在x轴下方，得，故符合题意；
C、直线经过二、四象限，则，抛物线开口向下，则，抛物线与y轴交点x轴上方，得，矛盾，故不符合题意；
D、直线经过一、三象限，则，抛物线开口向下，则，矛盾，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数图象与系数的关系．解题的关键在于熟练掌握系数与函数图象的关系．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11. 坐标平面内的点与点关于原点对称，则______．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据关于原点对称的两个点的坐标的特点分别求出和的数值，然后求和即可．
【详解】解：点与点关于原点对称，
两点的横纵坐标互为相反数，
，，
．
故答案为
【点睛】本题考查了坐标与图形，熟记关于原点对称的两个点的坐标的特点是解题关键．
12. 在一个不透明的箱子中，装有白球、红球共个，这些球的形状、大小、质地等完全相同．小华通过多次试验后发现，从盒子中摸出红球的频率是，那么可以估计盒子中红球的个数是______．
【答案】
【解析】
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，根据红球概率，即可得出红球的个数．
【详解】解：依题意，估计盒子中红球的个数是个，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，解决本题的关键是要熟练掌握频率，概率的关系．
13. 如图，在中，点、分别是、的中点，若的面积是2，则的面积为______．
【答案】8
【解析】
【分析】先根据三角形的中位线定理可得，再根据相似三角形的判定与性质即可得．
【详解】、分别是、中点，
，，
，，
，
，
，
∴，
故答案为8．
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理及相似三角形的判定与性质．
14. 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解的定义，得出，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
15. 如图，在的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在上，点E是线段与的交点．则的正切值为________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意易得BD=4，BC=2，∠DBC=90°，∠BAE=∠BDC，然后根据三角函数可进行求解．
【详解】解：由题意得：BD=4，BC=2，∠DBC=90°，
∵∠BAE=∠BDC，
∴，
故答案为．
【点睛】本题主要考查三角函数及圆周角定理，熟练掌握三角函数及圆周角定理是解题的关键．
16. 如图，四边形中，，，，，点是四边形内的一个动点，满足，则面积的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】取的中点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于，交于，则，通过计算得出当三点共线时，有最小值，求出最小值即可．
【详解】解：如图，
取的中点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于，交于，则，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为等腰梯形，
，
，，，
，
点在以点为圆心，2为半径的圆上，
，
，
，
，，
，
，
，，，
，
当三点共线时，有最小值，
面积的最小值为．
【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点位置的确定是解题关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】运用因式分解法—十字相乘法求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了求解一元二次方程，解决本题的关键是运用因式分解法—十字相乘法求解．
18. 如图，为等边三角形，将边绕点顺时针旋转40°，得到线段，连接，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质得出，，再由旋转得出，，再由等腰三角形及三角形内角和得出即可得出结果．
【详解】解：为等边三角形，
，．
根据题意可知，．
，，
．
【点睛】题目主要考查等边三角形的性质及旋转的性质，等边对等角及三角形内角和定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
19. 为了推进学校与社区融合发展，光明社区开通公众号进行免费线上公益直播授课，9月份该公众号关注人数为2万人，11月份该公众号关注人数达到万人．若从9月份到11月份，每月该公众号关注人数的平均增长率都相同，求该公众号关注人数的月平均增长率．
【答案】该公众号关注人数的月平均增长率为
【解析】
【分析】设该公众号关注人数的月平均增长率为x，则10月份的关注人数为万人，11月份的关注人数为万人，据此列出方程求解即可．
【详解】解：设该公众号关注人数的月平均增长率为x，
由题意得：，
解得或（舍去），
∴该公众号关注人数的月平均增长率为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键．
20. 如图，利用标杆测量建筑物的高度，如果标杆高1.2m，测得，，楼高是多少？
【答案】楼高是10.5m
【解析】
【分析】证明，由相似三角形的性质可知，然后结合题意代入数值求解即可获得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
答：楼高是10.5m．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，理解并掌握相似三角形的判定方法与性质是解题关键．
21. 随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调査了部分学生，调査结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两个统计图．
（1）本次调查的学生共有______人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数是______人；
（2）“非常了解”的4人有，两名男生，，两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用列举法求至少抽到一名女生的概率．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据非常了解的占比除以人数，得出本次调查的学生人数，根据扇形统计图得出不了解的人数的占比，乘以，即可求解；
（2）根据列表法求概率即可求解．
【小问1详解】
解：本次调查的学生共有（人），
不了解的人数的占比为，
估计该校1200名学生中“不了解”的人数是（人）
故答案为：，．
【小问2详解】
列表如下，
共有12种等可能结果，符合题意的有10种，
∴至少抽到一名女生的概率为．
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，样本估计总体，列表法求概率，从统计图表中获取信息，掌握求概率的方法是解题的关键．
22. 如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作的垂线交于点E．
（1）请画出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：是的切线；
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理可知是的外接圆的直径，所以作的垂直平分线，交于点O，以O为圆心以为半径画圆即可；
（2）连接，由为直径、可得出点D在上且，根据平分可得出，进而得出，再结合即可得出，进而即可证出是的切线；
【小问1详解】
解：如图1所示，即为所求；
【小问2详解】
证明：如图2，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、平行线的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点 B、C在x轴的正半轴上，，．对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点E，分别与，交于点F，G．
（1）若，求k的值；
（2）连接，若，求面积．
【答案】（1）28 （2）
【解析】
【分析】（1）先利用矩形的性质和线段中点坐标公式得到，然后把E点坐标代入，可求得k的值；
（2）利用勾股定理计算出，则，所以，设，则，，利用反比例函数图象上点的坐标得到，解得，从而得到反比例函数解析式为，然后确定G点坐标，最后利用三角形面积公式计算的面积．
【小问1详解】
∵矩形的顶点B，，
而，
∴
∵对角线相交于点E，
∴点E为的中点，
∴，
把代入，得；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵反比例函数的图象经过点E、F，
∴，解得，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∴．
当时，，
∴，
∴的面积．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
24. 已知拋物线（是常数）
（1）证明：该抛物线与轴总有交点；
（2）设该抛物线与轴的一个交点为，若，求的取值范围
（3）在（2）的条件下，若为整数，将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折．其余部分保持不变，得到一个新图象，请你结合新图象，探究直线（为常数）与新图象公共点个数的情况．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）当时，直线 (为常数)与新图象公共点有3个，当时，直线 (为常数)与新图象公共点有4个，当时，直线 (k为常数)与新图象公共点有个，当时，直线 (为常数)与新图象公共点有3个，当时，直线 (为常数)与新图象公共点有4个，当时，直y (为常数)与新图象公共点有2个
【解析】
【分析】（1）令抛物线的值等于，证所得方程的即可；
（2）将点坐标代入可求的值，即可求的取值范围；
（3）分和两种情况讨论，结合图象可求解．
【小问1详解】
解：设，则，
∵，
∴有实数根，
∴该抛物线与轴总有交点；
【小问2详解】
∵抛物线与x轴的一个交点为，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：
∴；
【小问3详解】
∵，且a为整数，
∴，
∴抛物线解析式为：，
令，即,
解得
如图，当时，

若过点时，直线 (为常数)与新图象公共点有3个，
即，解得：
即时，直线 (为常数)与新图象公共点有3个，
当时，直线 (为常数)与新图象公共点有4个，
当时，直线 (k为常数)与新图象公共点有个，
如图，当时，

若过点(1，0)时，直线 (为常数)与新图象公共点有3个，
即，解得
当时，直线 (为常数)与新图象公共点有3个，
当时，直线 (为常数)与新图象公共点有4个，
当时，直y (为常数)与新图象公共点有2个，
综上所述，当时，直线 (为常数)与新图象公共点有3个，
当时，直线 (为常数)与新图象公共点有4个，
当时，直线 (k为常数)与新图象公共点有个，
当时，直线 (为常数)与新图象公共点有3个，
当时，直线 (为常数)与新图象公共点有4个，
当时，直y (为常数)与新图象公共点有2个．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数相结合的综合题：熟练掌握二次函数的性质；会利用根的判别式确定抛物线与x轴的交点个数；理解坐标与图形性质，会利用分类讨论的方法解题；要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用数形结合的方法是解题的关键．
25. 如图，四边形为平行四边形，以为直径的交于点，连接，，，．过点作直线．过点作，垂足为．
（1）求的值；
（2）若，且与交于另一点，求的长；
（3）过点作，垂足为，当直线绕点旋转时，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据为的直径，得出，根据勾股定理求得的长，进而根据正弦的定义即可求解；
（2）延长，交于点，连接，先证明，得出，继而得出，中，，继而证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）过点作于，过点作交于，，先证四边形是平行四边形，得到，再证，得到，即可推出，又由 即可得到当直线l与直线BC垂直时，，即此时的最大值即为，由此求解即可．
【小问1详解】
解：∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图所示，延长，交于点，连接
∵，
∴，又，则，
∴
∴
又∵，
∴，
∵中，
∴
∵，
∴，
∴
∴，
解得：
【小问3详解】
解：如图所示，过点作于，过点作交于，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形为平行四边形，，，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵
∴当直线与直线垂直时，，即此时的最大值即为，如图所示，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴的最大值为．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，弧、弦，圆周角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，圆内一点到圆上一点的最大距离，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等，熟练掌握相关知识是解题的关键．