2022-2023学年广东省广州市增城区九年级上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份2022-2023学年广东省广州市增城区九年级上学期期末数学试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图所示历届冬奥会会标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．“翻开数学书，恰好翻到的页数为奇数页”，这个事件是（ ）
A．必然事件B．随机事件C．不可能事件D．确定事件
3．已知反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣3），则k＝（ ）
A．2B．3C．﹣6D．6
4．已知⊙O的半径为3，点P在⊙O外，则OP的长可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．抛物线y＝﹣（x+2）2+3的最大值是（ ）
A．2B．3C．﹣2D．﹣3
6．如图，将△AOB以O为位似中心，扩大到△COD，各点坐标分别为A（1，2），B（2，0），D（4，0），则点C的坐标为（ ）
A．（3，4）B．（3，6）C．（2，4）D．（2，6）
7．如图，在平面直角坐标系中xOy中，点A的坐标为（3，4）．将点A绕点O逆时针旋转90°，则点A的对应点坐标为（ ）
A．（﹣4，3）B．（﹣4，﹣3）C．（4，3）D．（4，﹣3）
8．某商品经过两次连续提价，每件售价由原来的100元上涨到了121元．设平均每次涨价的百分率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．100（1﹣x）2＝121B．121（1+x）2＝100
C．121（1﹣x）2＝100D．100（1+x）2＝121
9．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx+b＞的解集是（ ）
A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜0
C．x＜﹣1或0＜x＜2D．﹣1＜x＜0或x＞2
10．若直线y＝n截抛物线y＝x2+bx+c所得线段AB＝4，且该抛物线与x轴只有一个交点，则n的值为（ ）
A．﹣1B．2C．25D．4
二、填空题（本题共6个小题）
11．已知PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，若PA＝2，则PB＝ ．
12．2022北京冬奥会雪花图案令人印象深刻，如图所示，雪花图案围绕旋转中心至少旋转 度后可以完全重合．
13．已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，该圆锥的侧面展开图的面积为 ．
14．如图，已知△ADE∽△ABC，且AD：AB＝2：3，则S△ADE：S△ABC＝ ．
15．若函数y＝x2+bx+c经过点（﹣1，0）和（3，0），则该函数的对称轴是直线 ．
16．如图，在平面直角坐标中，菱形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点B在函数的图象上，若∠ABC＝60°，菱形OABC的面积为，则k的值为 ．
三、解答题（本题共9个小题）
17．解方程：x2﹣4x＝0．
18．如图，已知点A、B、C在半圆上，AB是半圆的直径，点C是的中点，且AC＝3，求直径AB的长．
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，﹣1）、B（1，﹣3）、C（4，﹣4），
（1）作出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）写出点A1、B1、C1的坐标．
20．根据《广州市初中学业水平考试体育与健康考试实施意见》，2021年至2022年广州中考实施方案，广州市体育中考分成：一类考试项目：（1）中长跑：800米（女）、1000米（男）；二类考试项目：跳类：立定跳远、三级蛙跳、一分钟跳绳；投掷类：投掷实心球、推铅球；球类：足球、篮球、排球．某中学毕业班学生1120人，现抽取240名学生对四个项目A中长跑、B跳绳、C足球、D实心球的喜好进行抽样调查调查结果如图．
（1）补全条形图；
（2）依据本次调查的结果，估计全体1120名学生中最喜欢A中长跑的人数；
（3）现从喜欢中长跑的学生中选取两人作为领跑员，符合条件的有甲乙两名男生和丙丁两名女生，从这四人中任选两人，求刚好选中甲和丁的概率．
21．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数在第一象限的图象交于点A（1，a）和点B，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积．
22．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点E在⊙O外．
（1）动手操作：作∠ACB的角平分线CD，与圆交于点D（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）综合运用，在你所作的图中．若∠EAC＝∠ADC，求证：AE是⊙O的切线．
23．如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B，当她走到P点时，发现身后影子的顶端刚好接触到路灯A的底部，当她向前再步行12m到Q点时，发现身前影子的顶端刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6m，两路灯的高度都是9.6m．
（1）当AP＝QB＝xm时，求x的值；
（2）当小华在路灯A与路灯B之间走动时，在两灯光下的影子长是变化的，那么两个影子长的和是否发生变化？若不变，求出两个影子长的和；若发生变化，请说明理由．
24．如图1，正方形ABCD的边长为5，点M是线段CB延长线一点，连接AM，AM＝a．
（1）如图2，线段AM沿着射线AD平移得DM'，直接写出四边形AMM'D的面积；
（2）将△ABM绕着点A旋转，使得AB与AD重合，点M落在点N，求线段AM扫过的平面部分的面积；
（3）将△ABM顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合（第（2）小题的情况除外），请在给出的图中画出符合条件的3种情况，并写出相应的旋转中心和旋转角．
25．已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）经过点A（1，0）、B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将抛物线向左平移m个单位（m＞2），平移后点A、B、C的对应点分别记作A1、B1、C1，过点C1作C1D⊥x轴，垂足为点D，点E在y轴负半轴上，使得以O、E、B1为顶点的三角形与△A1C1D相似，
①求点E的坐标；（用含m的代数式表示）
②如果平移后的抛物线上存在点F，使得四边形A1FEB1为平行四边形，求m的值．
2022-2023学年广东省广州市增城区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10个小题，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．如图所示历届冬奥会会标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义依次对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．正确掌握中心对称图形与轴对称图形定义是解题关键．
2．“翻开数学书，恰好翻到的页数为奇数页”，这个事件是（ ）
A．必然事件B．随机事件C．不可能事件D．确定事件
【分析】随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件，据此即可解答．
【解答】解：“翻开数学书，恰好翻到的页数为奇数页”，这个事件是随机事件．
故选：B．
【点评】本题考查了确定事件与随机事件的概念，确定事件又分为必然事件与不可能事件，熟练掌握随机事件的概念是解题的关键．
3．已知反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣3），则k＝（ ）
A．2B．3C．﹣6D．6
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点可得k＝2×（﹣3）＝﹣6．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣3），
∴k＝2×（﹣3）＝﹣6，
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
4．已知⊙O的半径为3，点P在⊙O外，则OP的长可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由⊙O的半径及点P在⊙O外，可得出OP的长大于3，再对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：∵⊙O的半径为3，点P在⊙O外，
∴OP的长大于3．
故选：D．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，牢记“①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r”是解题的关键．
5．抛物线y＝﹣（x+2）2+3的最大值是（ ）
A．2B．3C．﹣2D．﹣3
【分析】用顶点式根据开口的方向确定函数的最大值．
【解答】解：∵y＝﹣（x+2）2+3，a＝﹣1，
∴当x＝﹣2时，y有最大值是3，
故答案为：B．
【点评】本题考查了二次函数的最值，掌握顶点式最大值确定的方法是解题关键．
6．如图，将△AOB以O为位似中心，扩大到△COD，各点坐标分别为A（1，2），B（2，0），D（4，0），则点C的坐标为（ ）
A．（3，4）B．（3，6）C．（2，4）D．（2，6）
【分析】求出位似比，得到OC＝2OA，即点A为OC的中点，即可求出点C的坐标．
【解答】解：∵B（2，0），D（4，0），
∴OB＝2，OD＝4，
∴，
∵将△AOB以O为位似中心，扩大到△COD，
∴，
∴OC＝2OA，即点A为OC的中点，
∵A（1，2），
∴C（2，4）；
故选：C．
【点评】本题考查坐标系下的位似．正确的求出位似比是解题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系中xOy中，点A的坐标为（3，4）．将点A绕点O逆时针旋转90°，则点A的对应点坐标为（ ）
A．（﹣4，3）B．（﹣4，﹣3）C．（4，3）D．（4，﹣3）
【分析】设点A的对应点为点B，过点A，B分别作AD⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别为D，C，证明△ADO≌△OCB，得到OC＝AD，BC＝DO，即可求出点B的坐标．
【解答】解：设点A的对应点为点B，过点A，B分别作AD⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别为D，C，由题意，得：OA＝OB，∠AOB＝90°，
∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，
∴∠BCO＝∠ADO＝90°，
∴∠AOD+∠OAD＝∠BOC+∠AOD＝90°，
∴∠OAD＝∠BOC，
∴△ADO≌△OCB（AAS），
∴OC＝AD，BC＝DO，
∵点A的坐标为（3，4），
∴AD＝4，OD＝3，
∴OC＝AD＝4，BC＝DO＝3，
∴B（﹣4，3）；
故选：A．
【点评】本题考查坐标系下的旋转．熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等，是解题的关键．
8．某商品经过两次连续提价，每件售价由原来的100元上涨到了121元．设平均每次涨价的百分率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．100（1﹣x）2＝121B．121（1+x）2＝100
C．121（1﹣x）2＝100D．100（1+x）2＝121
【分析】可先表示出第一次提价后的价格，那么第一次提价后的价格×（1+提价的百分率）＝121，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：设平均每次提价的百分率为x，
第一次提价后的价格为100（1+x），
连续两次提价后售价在第一次提价后的价格的基础上提高x，为100（1+x）×（1+x），
则列出的方程是100（1+x）2＝121．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b是解决问题的关键．
9．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx+b＞的解集是（ ）
A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜0
C．x＜﹣1或0＜x＜2D．﹣1＜x＜0或x＞2
【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围便是不等式kx+b＞的解集．
【解答】解：由函数图象可知，当一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象在反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象上方时，x的取值范围是：x＜﹣1或0＜x＜2，
∴不等式kx+b＞的解集是x＜﹣1或0＜x＜2
故选：C．
【点评】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．
10．若直线y＝n截抛物线y＝x2+bx+c所得线段AB＝4，且该抛物线与x轴只有一个交点，则n的值为（ ）
A．﹣1B．2C．25D．4
【分析】由抛物线与x轴只有一个交点，得出b2﹣4c＝0，设A、B的交点的横坐标为x1、x2，则x1+x2＝﹣b，x1x2＝c﹣n，由AB＝4，即可得出（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，即可得出4n＝16，解得n＝4．
【解答】解：∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴b2﹣4c＝0，
设A、B的交点的横坐标为x1、x2，
∴x1、x2是方程x2+bx+c＝n的两个根，
∴x1+x2＝﹣b，x1x2＝c﹣n，
∵AB＝4，
∴|x1﹣x2|＝4，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，
∴（﹣b）2﹣4（c﹣n）＝16，即b2﹣4c+4n＝16，
∴4n＝16，
∴n＝4，
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与方程的关系，根与系数的关系，根据题意得出（﹣b）2﹣4（c﹣n）＝16，即b2﹣4c+4n＝16是解题的关键．
二、填空题（本题共6个小题）
11．已知PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，若PA＝2，则PB＝ 2 ．
【分析】根据切线长定理，得到PB＝PA，即可得出结论．
【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，PA＝2，
∴PB＝PA＝2；
故答案为：2．
【点评】本题考查切线的性质．熟练掌握从圆外一点，引圆的两条切线，两条切线长相等是解题的关键．
12．2022北京冬奥会雪花图案令人印象深刻，如图所示，雪花图案围绕旋转中心至少旋转 60 度后可以完全重合．
【分析】根据旋转对称图形的性质即可解决问题．
【解答】解：由题意这个图形是中心旋转图形，＝60°，
故答案为：60．
【点评】本题考查了利用旋转设计图案，解题的关键是理解题意，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13．已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，该圆锥的侧面展开图的面积为 3π ．
【分析】根据圆锥的侧面积公式：S侧＝2πr•l＝πrl．即可得圆锥的侧面展开图的面积．
【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是扇形，
∴S侧＝πrl＝3×1×π＝3π，
∴该圆锥的侧面展开图的面积为3π．
故答案为：3π．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥的侧面展开图的扇形面积公式．
14．如图，已知△ADE∽△ABC，且AD：AB＝2：3，则S△ADE：S△ABC＝ 4：9 ．
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题．
【解答】解：∵△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝，
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质解决问题，记住相似三角形的面积比等于相似比的平方．
15．若函数y＝x2+bx+c经过点（﹣1，0）和（3，0），则该函数的对称轴是直线 x＝1 ．
【分析】根据点（﹣1，0）和（3，0）关于对称轴对称，求出对称轴即可．
【解答】解：∵y＝x2+bx+c经过点（﹣1，0）和（3，0），
∴x＝﹣1和x＝3的函数值相同，
∴点（﹣1，0）和（3，0）关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线；
故答案为：x＝1．
【点评】本题考查利用抛物线的对称性，求抛物线的对称轴．熟练掌握抛物线关于对称轴对称，是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标中，菱形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点B在函数的图象上，若∠ABC＝60°，菱形OABC的面积为，则k的值为 ．
【分析】延长BC交x轴于点D，根据菱形的性质，易得：BD⊥x轴，∠DOC＝30°，设BC＝a，利于30°的直角三角形，求出DO，CD，根据菱形OABC的面积为，求出a的值，得到B点坐标，进而求出k的值．
【解答】解：延长BC交x轴于点D，设BC＝a，
∵四边形OABC为菱形，
∴∠AOC＝∠ABC＝60°，BC＝OC＝a，BC∥OA，
∴∠CDO＝∠AOD＝90°，
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝30°，
∴，，
∴菱形OABC的面积为，
∴，（舍去）；
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查利用图形的面积求k．熟练掌握菱形的性质，求出B点坐标，是解题的关键．
三、解答题（本题共9个小题）
17．解方程：x2﹣4x＝0．
【分析】因式分解法求解可得．
【解答】解：∵x（x﹣4）＝0，
∴x＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝0或x2＝4．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．如图，已知点A、B、C在半圆上，AB是半圆的直径，点C是的中点，且AC＝3，求直径AB的长．
【分析】AB是半圆的直径，得到∠ACB＝90°，等弧对等弦，得到BC＝AC，勾股定理求出AB的长即可．
【解答】解：∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵点C是的中点，
∴，
∴BC＝AC＝3，
∴．
【点评】本题考查圆周角定理．熟练掌握直径所对的圆周角是直角，等弧对等弦，是解题的关键．
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，﹣1）、B（1，﹣3）、C（4，﹣4），
（1）作出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）写出点A1、B1、C1的坐标．
【分析】（1）根据中心对称的定义作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接可得；
（2）由所作图形可得点的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）由图知点A1的坐标为（﹣2，1）、B1的坐标为（﹣1，3）、C1的坐标为（﹣4，4）．
【点评】此题考查了作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的定义和性质是解本题的关键．
20．根据《广州市初中学业水平考试体育与健康考试实施意见》，2021年至2022年广州中考实施方案，广州市体育中考分成：一类考试项目：（1）中长跑：800米（女）、1000米（男）；二类考试项目：跳类：立定跳远、三级蛙跳、一分钟跳绳；投掷类：投掷实心球、推铅球；球类：足球、篮球、排球．某中学毕业班学生1120人，现抽取240名学生对四个项目A中长跑、B跳绳、C足球、D实心球的喜好进行抽样调查调查结果如图．
（1）补全条形图；
（2）依据本次调查的结果，估计全体1120名学生中最喜欢A中长跑的人数；
（3）现从喜欢中长跑的学生中选取两人作为领跑员，符合条件的有甲乙两名男生和丙丁两名女生，从这四人中任选两人，求刚好选中甲和丁的概率．
【分析】（1）总人数乘以A项目对应百分比求出其人数，再根据四个项目人数之和等于240求出C项目人数，从而补全图形；
（2）总人数乘以样本中A项目人数所占比例即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出刚好选中甲和丁的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）A项目人数为240×25%＝60（人），
C项目人数为240﹣（60+84+24）＝72（人），
补全图形如下：
（2）估计全体1120名学生中最喜欢A中长跑的人数为1120×25%＝280（人）；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中刚好选中甲和丁的有2种结果，
∴刚好选中甲和丁的概率为＝．
【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数在第一象限的图象交于点A（1，a）和点B，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积．
【分析】（1）将点A代入一次函数解析式，求出a的值，待定系数法求出反比例函数的解析式即可；
（2）联立解析式，求出B点坐标，过点A，B分别作AD⊥x轴，BF⊥x轴，垂足分别为D，F，利用S△AOB＝S△AOD+S梯形ABFD﹣S△BOF，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数在第一象限的图象交于点A（1，a）和点B，
∴a＝﹣1+3＝2，
∴A（1，2），
∴k＝1×2＝2，
∴；
（2）解：联立，
解得：或；
∴B（2，1），
过点A，B分别作AD⊥x轴，BF⊥x轴，垂足为D，F，
∵A（1，2），B（2，1），
∴AD＝2，BF＝1，OD＝1，OF＝2，
∴DF＝OF﹣OD＝1，
∴S△AOB＝S△AOD+S梯形ABFD﹣S△BOF，
＝
＝．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．正确的求出反比例函数的解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
22．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点E在⊙O外．
（1）动手操作：作∠ACB的角平分线CD，与圆交于点D（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）综合运用，在你所作的图中．若∠EAC＝∠ADC，求证：AE是⊙O的切线．
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图求解即可；
（2）由∠ADC＝∠ABC、∠EAC＝∠ADC知∠EAC＝∠ABC，再由∠ABC+∠BAC＝90°知∠EAC+∠BAC＝90°，即∠BAE＝90°，从而得证．
【解答】（1）解：如图所示，CD即为所求．
（2）证明：由图知，∠ADC＝∠ABC，
∵∠EAC＝∠ADC，
∴∠EAC＝∠ABC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∴∠EAC+∠BAC＝90°，
∴∠BAE＝90°，
∴AE是⊙O的切线．
【点评】本题主要考查作图—基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图和圆周角定理、切线的判定．
23．如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B，当她走到P点时，发现身后影子的顶端刚好接触到路灯A的底部，当她向前再步行12m到Q点时，发现身前影子的顶端刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6m，两路灯的高度都是9.6m．
（1）当AP＝QB＝xm时，求x的值；
（2）当小华在路灯A与路灯B之间走动时，在两灯光下的影子长是变化的，那么两个影子长的和是否发生变化？若不变，求出两个影子长的和；若发生变化，请说明理由．
【分析】（1）证明△APM∽△ABD，利用对应边对应成比例列式计算即可；
（2）根据题意作出图形，找出其中的相似三角形，根据三角形的相似比即可求出影子的长度和．
【解答】解：（1）∵MP⊥AB，DB⊥AB，
∴MP∥DB，
∴△APM∽△ABD，
∴，即：，
解得：x＝3；
（2）不会发生变化；
如图，当小华在A，B之间走动时，在A路灯下的影子长度为OH，在B路灯下的影子长度为OG，
∵AD⊥AB，BC⊥AB，OE⊥OB，
∴AD∥OE∥BC，
∴△AHD∽△OHE，△BGC∽△OGE，
∴，，
则，，整理得：，，
∴，
∴，
由（1）得：AB＝12+3+3＝18（m），
∴，解得：GH＝3.6m，
∴两个影子的长的和不会变，一直都是3.6m．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，要求学生能根据题意画出对应图形，能判定出相似三角形，以及能利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等的原理解决求线段长的问题等，蕴含了数形结合的思想方法．
24．如图1，正方形ABCD的边长为5，点M是线段CB延长线一点，连接AM，AM＝a．
（1）如图2，线段AM沿着射线AD平移得DM'，直接写出四边形AMM'D的面积；
（2）将△ABM绕着点A旋转，使得AB与AD重合，点M落在点N，求线段AM扫过的平面部分的面积；
（3）将△ABM顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合（第（2）小题的情况除外），请在给出的图中画出符合条件的3种情况，并写出相应的旋转中心和旋转角．
【分析】（1）根据平移的性质和平行四边形的面积计算即可；
（2）根据扇形的面积计算即可；
（3）根据旋转的性质画出图形得出旋转中心和角度即可．
【解答】解：（1）线段AM沿着射线AD平移得DM'，四边形AMM'D的面积为：AD⋅DC＝5×5＝25；
答：线段AM扫过的平面部分的面积为25．
（2）解：△ABM绕着点A旋转，使得AB与AD重合，则△ABM旋转的角度是90°或270°，
∴或，
∴或，
答：线段AM扫过的平面部分的面积为：或．
（3）如图1，旋转中心：AB边的中点为O，顺时针180°；
如图2，旋转中心：点B，顺时针旋转90°；
如图3，旋转中心：正方形对角线交点O，顺时针旋转90°．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，关键是根据旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角解答．
25．已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）经过点A（1，0）、B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将抛物线向左平移m个单位（m＞2），平移后点A、B、C的对应点分别记作A1、B1、C1，过点C1作C1D⊥x轴，垂足为点D，点E在y轴负半轴上，使得以O、E、B1为顶点的三角形与△A1C1D相似，
①求点E的坐标；（用含m的代数式表示）
②如果平移后的抛物线上存在点F，使得四边形A1FEB1为平行四边形，求m的值．
【分析】（1）将点A（1，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx﹣2，即可求解；
（2）①分别求出A1（1﹣m，0），B1、（2﹣m，0），C1（﹣m，﹣2），D（﹣m，0），设E（0，y），由题意可知要使三角形相似，只需∠OB1E＝∠DC1A1或∠OB1E＝∠C1A1D，当∠OB1E＝∠DC1A1，tan∠OB1E＝tan∠DC1A1＝，＝则，求出E（0，1﹣m）；当∠OB1E＝∠C1A1D，则＝2，求出E（0，4﹣2m）；
②设F（x，y），当E（0，1﹣m）时，由题意可知四边形A1E为平行四边形的对角线，可得，再由y＝﹣（x﹣+m）2+，求出m＝2（舍）或m＝；同理当E（0，4﹣2m）时，求得m＝5．
【解答】解：（1）将点A（1，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx﹣2，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+3x﹣2；
（2）①y＝﹣x2+3x﹣2＝﹣（x﹣）2+，
平移先后抛物线解析式为y＝﹣（x﹣+m）2+，
令x＝0，则y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
平移后A1（1﹣m，0），B1、（2﹣m，0），C1（﹣m，﹣2），
∵C1D⊥x轴，
∴D（﹣m，0），
∴OB1＝m﹣2，C1D＝2，A1D＝1，
设E（0，y），
∴OE＝﹣y，
∵∠B1OE＝90°，∠C1DA1＝90°，
∴∠OB1E＝∠DC1A1或∠OB1E＝∠C1A1D，
当∠OB1E＝∠DC1A1，
∴tan∠OB1E＝＝，tan∠DC1A1＝＝，
∴＝，
∴y＝1﹣m，
∴E（0，1﹣m）；
当∠OB1E＝∠C1A1D，
∴＝2，
∴y＝4﹣2m，
∴E（0，4﹣2m）；
综上所述：E点坐标为（0，1﹣m）或（0，4﹣2m）；
②设F（x，y），
当E（0，1﹣m）时，
∵四边形A1FEB1为平行四边形，
∴四边形A1E为平行四边形的对角线，
∴，
∴x＝﹣1，
∵平移先后抛物线解析式为y＝﹣（x﹣+m）2+，
∴y＝（﹣+m）2+，
∴1﹣m＝﹣（﹣+m）2+，
解得m＝2（舍）或m＝，
当m＝时，y＝﹣，F（﹣1，﹣），
∴m＝；
当E（0，4﹣2m）时，
∵四边形A1FEB1为平行四边形，
∴四边形A1E为平行四边形的对角线，
∴，
∴x＝﹣1，
∵平移先后抛物线解析式为y＝﹣（x﹣+m）2+，
∴y＝（﹣+m）2+，
∴4﹣2m＝﹣（﹣+m）2+，
∴m＝5或m＝2（舍）；
综上所述：m＝或m＝5．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，抛物线平移的性质，平行四边形的性质是解题的关键．
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