2022-2023学年广东省广州市天河区九年级上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份2022-2023学年广东省广州市天河区九年级上学期期末数学试卷（含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列垃圾分类标识图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．经过红绿灯路口，遇到绿灯
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．班里的两名同学的生日是同一天
D．从一个只装有白球的袋中摸球，摸出黄球
3．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣5，1）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（5，﹣1）B．（5，1）C．（1，﹣5）D．（﹣5，﹣1）
4．（3分）用配方法解方程x2+2x＝2时，配方后正确的是（ ）
A．（x+1）2＝3B．（x+1）2＝6C．（x﹣1）2＝3D．（x﹣1）2＝6
5．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞4B．k＜4C．k＞﹣4D．k＜﹣4
6．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B＝20°，则∠CAD的度数是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
7．（3分）如图，P为⊙O外一点，PT与⊙O相切于点T，OP＝10，∠OPT＝30°，则PT的长为（ ）
A．B．C．5D．8
8．（3分）一个扇形的弧长是10π，面积为60π，则其半径为（ ）
A．6B．36C．12D．144
9．（3分）点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在抛物线y＝x2上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A．m＞4B．m＜4C．D．
10．（3分）用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）
A．方案1B．方案2
C．方案3D．方案1或方案2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）抛物线y＝﹣3（x﹣2）2+2的顶点坐标为 ．
12．（3分）一个布袋里放有1个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同，从布袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是 ．
13．（3分）关于x的方程x2﹣3x+m＝0有两根，其中一根为x＝1，则两根之积为 ．
14．（3分）右表是某球员在罚球线上投篮的结果．则估计该球员投篮一次投中的概率约为 （结果保留小数点后一位）
15．（3分）⊙O的直径为10，弦AB的长为8，若P为AB的中点，则OP＝ ．
16．（3分）一副三角板按图1放置，O是边BC（DF）的中点，BC＝20cm．如图2，将△ABC绕点O顺时针旋转60°，AC与EF相交于点G，则FG的长是 ．
三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）解方程：x2﹣7x﹣8＝0．
18．（8分）如图，已知△ABC中，BD是中线，且BD＝4．
（1）用尺规作△EAD，使它与△BCD关于点D中心对称；
（2）若m＝AB+BC，求m的取值范围．
19．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与y轴相交于点A，y与x的部分对应值如表所示，写出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及点A的坐标．
20．（8分）某校九（1）班学生成立了一个“关于新冠肺炎45个知识点”的防疫科普宣传小组，其中男生2人，女生3人，现从小组中选人进社区宣传．
（1）若选1人，则恰好选中女生的概率是 ；
（2）若选2人，求恰好选中一男一女的概率．
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm．完成以下两个小题的解答：
（1）用尺规作BC的中点D，并以AD为半径作⊙A（不写作法，保留作图痕迹），求证：⊙A与边BC相切；
（2）若⊙A恰好交于边AB的中点，求⊙A的半径长．
22．（8分）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价100元时，房间会全部住满，当每个房间定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，若宾馆在某一个时间段把每个房间定价增加10x元（x为正整数且x≤15）．
（1）当宾馆每天收入为8000元，求x的值．
（2）如果宾馆每天收入要最大，请直接写出每个房间的定价．
23．（8分）老师给小明出了一道题，小明感到有困难，请你帮助小明解决这个问题，题目是这样的：一个三角形两边长分别是3和4，第三边长是x2﹣8x+15＝0的一个实数根，请结合作图求这个三角形的外接圆面积．
24．（8分）已知关于x的方程x2﹣2bx+c＝0有两个相等的实数根．
（1）若b＝1，求c的值；
（2）在△ABC中，已知点A（0，c），点，点C在x轴上，且该方程的解是点C的横坐标．
①过点C作CD⊥x轴，交边AB于点D，求证：CD的长为定值；
②求△ABC面积的最小值．
25．（8分）在边长为10的正方形ABCD中，以AB为直径作半圆，圆心为O，E是半圆上一动点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DE．
（1）如图1，若直线DE与圆O相切，求线段DE的长；
（2）求DE的最小值；
（3）如图2，若t＝EA2+EB2+EC2+ED2，求t的最小值．
2022-2023学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列垃圾分类标识图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（3分）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．经过红绿灯路口，遇到绿灯
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．班里的两名同学的生日是同一天
D．从一个只装有白球的袋中摸球，摸出黄球
【分析】一定不能发生的事件是不可能事件，据此判定即可．
【解答】解：A、经过红绿灯路口，遇到绿灯是随机事件，不符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，不符合题意；
C、班里的两名同学的生日是同一天是随机事件，不符合题意；
D、从一个只装有白球的袋中摸球，摸出黄球是不可能事件，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了不可能事件即一定不能发生的事件，熟练掌握定义是解题的关键．
3．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣5，1）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（5，﹣1）B．（5，1）C．（1，﹣5）D．（﹣5，﹣1）
【分析】根据关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数，即可进行解答．
【解答】解：点（﹣5，1）关于原点对称的点的坐标是（5，﹣1），
故选：A．
【点评】本题主要考查了关于原点对称点的坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数．
4．（3分）用配方法解方程x2+2x＝2时，配方后正确的是（ ）
A．（x+1）2＝3B．（x+1）2＝6C．（x﹣1）2＝3D．（x﹣1）2＝6
【分析】方程两边同时加上1，再写为完全平方式即可．
【解答】解：两边同时加1，得：x2+2x+1＝3，
配方，得：（x+1）2＝3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方的方法和步骤．
5．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞4B．k＜4C．k＞﹣4D．k＜﹣4
【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0没有实数根，
∴Δ＝（4）2﹣4×（﹣k）＜0，
解得：k＜﹣4．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握当Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＝b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根是解题的关键．
6．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B＝20°，则∠CAD的度数是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABD＝90°，从而可求出∠CBD的度数，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
【解答】解：连接BD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠ABC＝20°，
∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝70°，
∴∠CAD＝∠CBD＝70°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
7．（3分）如图，P为⊙O外一点，PT与⊙O相切于点T，OP＝10，∠OPT＝30°，则PT的长为（ ）
A．B．C．5D．8
【分析】连接OT，则OT⊥PT，再根据PT＝OP•cs∠OPT即可求解．
【解答】解：连接OT，
∵PT与⊙O相切于点T，
∴OT⊥PT，
∴PT＝OP•cs∠OPT＝10×＝5．
故选：B．
【点评】本题主要考查了切线的定义以及解直角三角形，解题的关键是掌握经过圆上一点，且垂直于半径的直线是原点切线．
8．（3分）一个扇形的弧长是10π，面积为60π，则其半径为（ ）
A．6B．36C．12D．144
【分析】根据S＝lr代入计算即可．
【解答】解：∵S＝lr，弧长是10π，面积为60π，
∴60π＝×10π×r，
解得r＝12，
故选：C．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，熟练掌握扇形面积与弧长的关系是解题的关键．
9．（3分）点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在抛物线y＝x2上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A．m＞4B．m＜4C．D．
【分析】根据y1＜y2列出关于m的不等式即可解得答案．
【解答】解：∵点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝x2的图象上，
∴y1＝（m﹣1）2，
y2＝m2，
∵y1＜y2，
∴（m﹣1）2＜m2，
∴（m﹣1）2﹣m2＜0，
即﹣2m+1＜0，
∴m＞，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式．本题属于基础题，难度不大．
10．（3分）用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）
A．方案1B．方案2
C．方案3D．方案1或方案2
【分析】分别计算三个方案的菜园面积进行比较即可．
【解答】解：方案1：
设垂直于墙面的一边长为x，则平行于墙面的边长为（12﹣2x），
则菜园面积＝x（12﹣2x）＝﹣2x2+12x＝﹣2（x﹣3）2+18，（0＜x＜6）
∴当x＝3时，y有最大值，最大值为18；
方案2：
设等腰三角形底边长为d，高为h，
∵△ABC为等腰三角形，
∴AD＝AB＝，AC＝BC＝×12＝6，
∴AD2+CD2＝AC2，即（）2+h2＝36，整理得：h2＝36﹣，
∵S＝dh，
∴S2＝d2h2＝d2（36﹣），
令d2＝T，则S2＝T（36﹣）＝﹣+9T＝﹣（T﹣72）2+324，
∴当T＝72时，S2有最大值，最大值为324，
∴当d＝2时，S有最大值，最大值为18，
方案3：
设半圆半径为r，
∵半圆的弧长为12米，
∴πr＝12，解得：r＝，
∴S＝π•（）2，
∵18＜，
∴最佳方案是方案3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了用二次函数求图形面积的最大值，和求弧的半径，解题的关键是熟练掌握二次函数的图图象和性质，以及根据弧长求半径的方法．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）抛物线y＝﹣3（x﹣2）2+2的顶点坐标为 （2，2） ．
【分析】根据抛物线的顶点式确定顶点坐标即可．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣3（x﹣2）2+2，
∴抛物线y＝﹣3（x﹣2）2+2的顶点坐标为（2，2）．
故答案为：（2，2）．
【点评】本题考查了抛物线顶点式确定抛物线的顶点坐标，熟练掌握顶点式的特点是解题的关键．
12．（3分）一个布袋里放有1个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同，从布袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是 ．
【分析】根据概率公式进行计算即可．
【解答】解：摸到白球的概率＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了求等可能时间的概率，解题的关键是掌握概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（3分）关于x的方程x2﹣3x+m＝0有两根，其中一根为x＝1，则两根之积为 2 ．
【分析】设方程的另一个根为a，利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【解答】解：设方程的另一个根为a，
∵方x2﹣3x+m＝0有两根，其中一根为x＝1，
∴a+1＝3，m＝a
解得：m＝2，
即两根之积为2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握是一元二次方的两个实数根与系数的关系是解题的关键．
14．（3分）右表是某球员在罚球线上投篮的结果．则估计该球员投篮一次投中的概率约为 0.8 （结果保留小数点后一位）
【分析】根据投篮投中的频率估计投篮投中的概率，关键看随着投篮次数的增多，投中频率越接近的数就是投中的概率．
【解答】解：15÷20＝0.75，
33÷40＝0.825，
78÷100＝0.78，
158÷200＝0.79，
321÷400＝0.8025，
801÷1000＝0.801，
由此发现，随着投篮次数的增多，投中的频率在0.8附近摆动．
根据频率的稳定性，估计这名球员一次投中的概率为0.8．
故答案为：0.8．
【点评】本题考查了用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定的数据附近左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的数据的近似值就是这个事件的概率．
15．（3分）⊙O的直径为10，弦AB的长为8，若P为AB的中点，则OP＝ 3 ．
【分析】连接AO，OP，根据垂径定理和勾股定理即可求解．
【解答】解：连接AO，OP，
∵P为AB的中点，
∴OP⊥AB，AP＝AB＝4，
∵⊙O的直径为10，
∴AO＝5，
根据勾股定理可得：OP＝＝＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查垂径定理和勾股定理，解题的关键是正确会出图形，构造直角三角形，用勾股定理求解．
16．（3分）一副三角板按图1放置，O是边BC（DF）的中点，BC＝20cm．如图2，将△ABC绕点O顺时针旋转60°，AC与EF相交于点G，则FG的长是 （5﹣5）cm ．
【分析】BC交EF于点N，由题意得，∠EGF＝∠BAC＝90°，∠DEF＝60°，∠DFE＝30°，∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝DF＝20cm，根据锐角三角函数即可得DE，EF，根据旋转的性质得△ONF是直角三角形，根据直角三角形的性质得ON＝5cm，即NC＝5cm，FN＝＝5cm，根据角之间的关系得△CNG是等腰直角三角形，即NG＝NC＝5cm，问题随之得解．
【解答】解：如图所示，BC交EF于点N，
由题意得，∠EGF＝∠BAC＝90°，∠DEF＝60°，∠DFE＝30°，∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝DF＝20cm，
根据点O是边BC（DF）的中点，可得：BO＝OC＝DO＝FO＝10cm
∵△ABC绕点O顺时针旋转60°，∠DFE＝30°，
∴∠BOD＝NOF＝60°，
∴∠NOF+∠F＝90°，
∴∠FNO＝180°﹣∠NOF﹣∠F＝90°，
∴△ONF是直角三角形，
∴ON＝OF＝5cm，
∴FN＝＝5，NC＝OC﹣ON＝5cm，
∵∠FNO＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠GNC＝180°﹣∠FNO＝90°，
∴△CNG是直角三角形，
∴∠NGC＝180°﹣∠GNC﹣∠ACB＝45°，
∴△CNG是等腰直角三角形，
∴NG＝NC＝5cm，
∴FG＝FN﹣NG＝（5﹣5）cm，
故答案为：（5﹣5）cm．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形的性质以及理解三角板中自带的角度．
三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）解方程：x2﹣7x﹣8＝0．
【分析】利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
【解答】解：∵x2﹣7x﹣8＝0，
∴（x+1）（x﹣8）＝0，
则x+1＝0或x﹣8＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝8．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
18．（8分）如图，已知△ABC中，BD是中线，且BD＝4．
（1）用尺规作△EAD，使它与△BCD关于点D中心对称；
（2）若m＝AB+BC，求m的取值范围．
【分析】（1）延长BD到点E，使得BD＝DE，连接AE即可．
（2）根据△EAD≌△BCD，得到AE＝BC，结合三角形三边关系定理计算即可．
【解答】解：（1）如图，延长BD到点E，使得BD＝DE，连接AE，
则△EAD即为所求．
（2）∵△EAD≌△BCD，BD＝4，
∴AE＝BC，
∴m＝AB+BC＝AB+AE＞BE＝2BD＝24＝8．
【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换，涉及到三角形三边关系定理，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
19．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与y轴相交于点A，y与x的部分对应值如表所示，写出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及点A的坐标．
【分析】根据表格中的数据可得抛物线经过（1，0），（3，0）即可求出抛物线的对称轴，进而得出顶点坐标，分析该抛物线的增减性，即可判断开口方向．
【解答】解：由表可知：抛物线经过（1，0），（3，0），
∴该抛物线的对称轴为直线：x＝，
∵当x＝1时，y＝4，
∴该抛物线顶点坐标为（1，4），
∵当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向下，
∵该抛物线对称轴为直线x＝1，且经过（2，3），
∴当x＝0时，y＝3，即A（0，3），
综上：抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标（1，4），点A坐标为（0，3）．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握熟练掌握二次函数的增减性，对称性等知识点．
20．（8分）某校九（1）班学生成立了一个“关于新冠肺炎45个知识点”的防疫科普宣传小组，其中男生2人，女生3人，现从小组中选人进社区宣传．
（1）若选1人，则恰好选中女生的概率是 ；
（2）若选2人，求恰好选中一男一女的概率．
【分析】（1）根据概率公式计算即可．
（2）画树状图计算即可．
【解答】解（1）∵男生2人，女生3人，
∴选1人，则恰好选中女生的概率是．
故答案为：．
（2）根据题意，画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中符合题意的有12种，
∴P＝＝．
【点评】本题考查了概率公式计算，用画树状图法或列表法求概率，熟练掌握画树状图计算概率是解题的关键．
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm．完成以下两个小题的解答：
（1）用尺规作BC的中点D，并以AD为半径作⊙A（不写作法，保留作图痕迹），求证：⊙A与边BC相切；
（2）若⊙A恰好交于边AB的中点，求⊙A的半径长．
【分析】（1）作∠BAC的平分线交BC于点D，再以AD为半径作⊙A，再根据等腰三角形 的性质可得AD⊥BC即可；
（2）设边AB的中点为点E，⊙A的半径为r，可得AD＝AE＝BE＝r，在Rt△ABD中，根据勾股定理求出r，即可求解．
【解答】（1）解：如图，点D和⊙A即为所求；
证明：∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵AD为⊙A的半径，
∴⊙A与边BC相切；
（2）解：设边AB的中点为点E，⊙A的半径为rcm，
∴AD＝AE＝BE＝rcm，
∵BC＝6cm，
∴BD＝3cm，
在Rt△ABD中，
∵AB2＝BD2+AD2，
∴（r+r）2＝32+r2，
解得：r＝（负值舍去），
即⊙A的半径为cm．
【点评】本题主要考查的是作图﹣基本作图，涉及到切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定，等腰三角形的性质，作已知角的平分线，灵活运用勾股定理是解题的关键．
22．（8分）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价100元时，房间会全部住满，当每个房间定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，若宾馆在某一个时间段把每个房间定价增加10x元（x为正整数且x≤15）．
（1）当宾馆每天收入为8000元，求x的值．
（2）如果宾馆每天收入要最大，请直接写出每个房间的定价．
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可知宾馆每个房间定价增加10x元，也就会有x个房间空闲，然后即可得到这天游客租住的房间数和每间房间的利润；根据宾馆每天的利润能达到8000元可以列出相应的方程，从而求出答案；
（2）根据题意，可以得到利润W和x之间的函数关系式，然后化为顶点式，利用二次函数的性质，即可得到房价定为多少时，宾馆每天的利润最大．
【解答】解：（1）由题意可得，
宾馆每个房间定价增加10x元后，这天游客租住了（50﹣x）间房，每间房间的利润是（100+10x）元，
由题意可得，（100+10x）（50﹣x）＝8000，
解得x1＝10，x2＝30，
∵x为正整数且x≤15，
∴x＝10，
答：宾馆每天的收入为8000元时，x＝10；
（2）设利润为W元，
由题意可得W＝（100+10x）（50﹣x）＝﹣10（x﹣20）2+9000，
∴该函数图象开口向下，对称轴为x＝20，
∵x为正整数且x≤15，
∴x＝15时取得最大值，此时W＝8750，100+10x＝100+10×15＝250，
答：房价定为250元时，宾馆每天的利润最大．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答．
23．（8分）老师给小明出了一道题，小明感到有困难，请你帮助小明解决这个问题，题目是这样的：一个三角形两边长分别是3和4，第三边长是x2﹣8x+15＝0的一个实数根，请结合作图求这个三角形的外接圆面积．
【分析】利用因式分解法求出三角形的第三边长，然后分两种情况：当第三边长是3时，当第三边长是5时，结合三角形外接圆的性质解答，即可．
【解答】解：x2﹣8x+15＝0，
解得：x1＝3，x2＝5，
当第三边长是3时，三角形三边长为3，3，4，
如图，AB＝AC＝3，BC＝4，点O为△ABC的外接圆，连接OA，OB，OA交BC于点D，
∵点O为△ABC的外接圆，AB＝AC＝3，
∴OD垂直平分BC，
∴BD＝BC＝2，
∴AD＝＝，
设OA＝OB＝r，
∵OB2＝BD2+OD2，
∴r2＝（r﹣）2+22，
解得：r＝，
∴这个三角形的外接圆面积为＝；
当第三边长是5时，三角形三边长为3，4，5，
如图，AB＝3，AC＝4，BC＝5，点O为△ABC的外接圆，连接OA，
∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∵点O为△ABC的外接圆，
∴BC为圆O的直径，
∴OA＝，
∴这个三角形的外接圆面积为＝；
综上所述，这个三角形的外接圆面积为或π．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，三角形的外接圆，勾股定理，垂径定理等知识，熟练掌握解一元二次方程，三角形的外接圆，勾股定理，垂径定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
24．（8分）已知关于x的方程x2﹣2bx+c＝0有两个相等的实数根．
（1）若b＝1，求c的值；
（2）在△ABC中，已知点A（0，c），点，点C在x轴上，且该方程的解是点C的横坐标．
①过点C作CD⊥x轴，交边AB于点D，求证：CD的长为定值；
②求△ABC面积的最小值．
【分析】（1）利用根的判别式计算即可；
（2）①根据方程确定点C的横坐标，判定点C的位置，统一字母表示，确定直线AB的解析式，再确定点D的坐标，计算CD的长即可；
②根据b＞0，＞0得到（﹣）2≥0，即b+≥2，结合S△ABC＝•CD•|Bx|，计算即可．
【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2bx+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2b）2﹣4c＝0，
∴b2＝c，，
当b＝1时，c＝b2＝1；
（2）①∵关于x的方程x2﹣2bx+c＝0有两个相等的实数根，
∴x＝﹣＝﹣＝b，
点C（b，0），
∵点B（b+，）（b＞0），
∴b+＞b，
∴点C在点B的左侧，
∵b2＝c，A（0，c），
∴A（0，b2），点B（b+，）（b＞0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b2，
∴＝k（b+）+b2，
解得k＝﹣b，
∴直线AB的解析式为y+（﹣b）x+b2，
当x＝b时，y＝（﹣b）×b+b2＝1，
∴D（b，1），
∴CD＝1﹣0＝1，是定值．
②∵b＞0，＞0，
∴（﹣）2≥0即b+≥2，
∴S△ABC＝•CD•|Bx|＝×1×（b+）≥1，
∴△ABC面积的最小值为1．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，求方程的解，一次函数的解析式，完全平方式的性质，熟练掌握根的判别式，解析式的确定，完全平方式的非负性是解题的关键．
25．（8分）在边长为10的正方形ABCD中，以AB为直径作半圆，圆心为O，E是半圆上一动点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DE．
（1）如图1，若直线DE与圆O相切，求线段DE的长；
（2）求DE的最小值；
（3）如图2，若t＝EA2+EB2+EC2+ED2，求t的最小值．
【分析】（1）连接OE，OD，根据正方形的性质，切线的性质，证明Rt△OED≌Rt△OAD即可．
（2）设OD与半圆于点M，当点E与点M重合时，DE最短，运用勾股定理计算即可．
（3）根据AB为直径，则AB＝10，∠AEB＝90°，得到EA2+EB2＝100是定值，故t的最小值，有EC2+ED2的最小值确定，且当E位于正方形对角线交点处时，取得最小值．
【解答】解：（1）连接OE，OD，
∵边长为10的正方形ABCD，直线DE与⊙O相切，E为切点，
∴AD＝10，∠OAD＝∠OED＝90°，OA＝OE，
在△OED和△OAD中，
，
∴Rt△OED≌Rt△OAD（HL），
∴OE＝AD＝10．
（2）如图1，连接OD，
设OD与半圆于点M，当点E与点M重合时，DE最短，
∵边长为10的正方形ABCD，
∴AD＝10，∠OAD＝90°，OA＝OE＝OM＝5，
∴OD＝＝5，
∴DE＝OD﹣OE＝5﹣5．
（3）∵AB为直径，
∴AB＝10，∠AEB＝90°，
∴EA2+EB2＝100是定值，
故t的最小值，有EC2+ED2的最小值确定，
∵点E在半圆弧上，
∴在正方形ABCD中，△EDC只能是锐角三角形或者直角三角形，不可能是钝角三角形，
∴EC2+ED2≥CD2＝100，
当且当E位于正方形对角线交点处时（此时△EDC是直角三角形），取等号．
∴EC2+ED2＝100，
∴t＝EA2+EB2+EC2+ED2＝200，
故t的最小值为200．
【点评】本题考查了正方形的性质，圆的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，圆的性质，勾股定理是解题的关键．
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