2022-2023学年广东省广州市越秀区八年级上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份2022-2023学年广东省广州市越秀区八年级上学期期末数学试卷（含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在所有图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，1cm3可燃冰的质量仅为0.00092kg．数字0.00092用科学记数法表示是（ ）
A．9×10﹣4B．92×10﹣3C．9.2×10﹣3D．9.2×10﹣4
3．（3分）要使分式子有意义，x的取值应满足（ ）
A．x＞5B．x≠5C．x≠0D．x≠﹣5
4．（3分）在Rt△ABC中，若∠A＝90°，∠C＝50°，则∠B的度数是（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
5．（3分）如图，在△ACD与△ABD中，∠C＝∠B，再添加一个下列条件，能判断△ADC≌△ADB的是（ ）
A．AC＝ABB．∠ADC＝∠ADBC．CD＝BDD．AC⊥CD
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣x3）2＝x6B．x3•x3＝x9
C．（a﹣2b）3＝﹣a6b3D．3a2÷a2＝3a
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直线DE是边AB的垂直平分线，连接BE．若∠A＝30°，则∠CBE＝（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
8．（3分）下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图，在平面直角坐标xOy中，∠A＝90°，OA＝2，OB平分∠AOx，点B（a﹣1，a﹣2）关于x轴的对称点是（ ）
A．（﹣2，1）B．（3，﹣2）C．（2，﹣1）D．（3，﹣1）
10．（3分）若△ABC的边a，b满足式子：a2+6b2﹣8b+8＝4ab，则第三边的长可能是（ ）
A．2B．5C．7D．8
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．（3分）计算：（﹣2）0＝ ．
12．（3分）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是 边形．
13．（3分）若5m＝8，5n＝4，则5m﹣n＝ ．
14．（3分）若边长为a，b的长方形周长为10，面积为5，则a2+b2的值是 ．
15．（3分）若等腰三角形其中两个外角的和为230°，则这个等腰三角形的顶角度数是 ．
16．（3分）如图，△ABC为等边三角形，F，E分别是AB，BC上的一动点，且AF＝BE，连结CF，AE交于点H，连接BH．
给出下列四个结论：
①∠AHF＝60°；②若BH＝HC，则AE平分∠BAC；
③S四边形BEHF＞S△AHC；④若BH⊥CF，则CH＝2HA．
其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：﹣＝0
18．（8分）如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AB＝DE，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，CD＝BF．求证：AB∥DE．
19．（8分）（1）计算：5ab（2a﹣b）+5ab2；
（2）因式分解：x3﹣4x．
20．（8分）如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）在第一象限的格点（网格线的交点）上找一点D（ ， ），使得S△ACB＝S△ACD．
21．（8分）设．
（1）化简A；
（2）若x2+mx+16是一个完全平方式，求A的值．
22．（8分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°．
（1）尺规作图：作∠ACB的角平分线，交AB于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，延长CA至点E，使AE＝AD，连接BE．求证：CD＝BE，且CD⊥BE．
23．（8分）为了增强体质，某学校组织徒步活动．两小组都走完了3千米的绿道，第一小组的速度是第二小组速度的1.2倍，第一小组比第二小组提早小时到达目的地．
（1）求两个小组的速度分别是多少？
（2）假设绿道长为a千米，第一小组走完绿道需要m（m＞1）小时，第二小组走完绿道的时间是第一小组时间的1.2倍还要多小时，是否存在m，使得第一小组的速度是第二小组速度的2倍？请说明理由．
24．（8分）如图，OC平分∠AOB，P为OC上的一点，∠MPN的两边分别与OA、OB相交于点M、N．
（1）如图1，若∠AOB＝90°，∠MPN＝90°，过点P作PE⊥OA于点E，作PF⊥OB于点F，请判断PM与PN的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若∠AOB＝120°，∠MPN＝60°，求证：OP＝OM+ON．
25．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，射线AD⊥BC于点D．
（1）如图1，求∠BAD的度数；
（2）若点E，F分别是射线AD，边AC上的动点，AE＝CF，连接BE，BF．
①如图2，连接EF，当EF∥BC时，求∠EBD的度数；
②如图3，当BE+BF最小时，求证：∠ABF＝∠DBE．
2022-2023学年广东省广州市越秀区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）在所有图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此解答即可．
【解答】解：由分析可知，已知图形中不属于轴对称图形的是图形D．
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，1cm3可燃冰的质量仅为0.00092kg．数字0.00092用科学记数法表示是（ ）
A．9×10﹣4B．92×10﹣3C．9.2×10﹣3D．9.2×10﹣4
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00092＝9.2×10﹣4．
故选：D．
【点评】本题考查科学记数法的表示，解题的关键是掌握科学记数法表示的方法．
3．（3分）要使分式子有意义，x的取值应满足（ ）
A．x＞5B．x≠5C．x≠0D．x≠﹣5
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0列出不等式，解可得自变量x的取值范围，
【解答】解：由题意得，x﹣5≠0，
解得，x≠5．
故选：B．
【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于0是解题的关键．
4．（3分）在Rt△ABC中，若∠A＝90°，∠C＝50°，则∠B的度数是（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
【分析】根据直角三角形中两锐角互余即可得出答案．
【解答】解：∵∠A＝90°，∠C＝50°，
∴∠B＝90°﹣∠C＝90°﹣50°＝40°．
故选：C．
【点评】本题主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形中两锐角互余是解题的关键．
5．（3分）如图，在△ACD与△ABD中，∠C＝∠B，再添加一个下列条件，能判断△ADC≌△ADB的是（ ）
A．AC＝ABB．∠ADC＝∠ADBC．CD＝BDD．AC⊥CD
【分析】用全等三角形的判定方法逐一判断即可．
【解答】解：A、AD＝AD，∠C＝∠B，AC＝AB不能证明△ADC≌△ADB，故不合题意；
B、∠C＝∠B，∠ADC＝∠ADB，AD＝AD，根据AAS证明△ADC≌△ADB，故符合题意；
C、CD＝BD，∠C＝∠B，AD＝AD，不等证明△ADC≌△ADB，故不合题意；
D、AC⊥CD，则∠C＝∠B＝90°，AD＝AD，不能证明，故不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定方法，熟练掌握三角形全等的条件是解题的关键．
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣x3）2＝x6B．x3•x3＝x9
C．（a﹣2b）3＝﹣a6b3D．3a2÷a2＝3a
【分析】运用同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，负指数的运算和单项式除以单项式的法则逐一判断即可．
【解答】解：A、（﹣x3）2＝x6，故正确；
B、x3•x3＝x6，故不正确；
C、，故不正确；
D、3a2÷a2＝3，故不正确．
故选：A．
【点评】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，负指数的运算和单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直线DE是边AB的垂直平分线，连接BE．若∠A＝30°，则∠CBE＝（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【分析】根据直角三角形两锐角互余得出∠ABC的度数，然后结合垂直平分线的性质，推出∠ABE的度数，从而求出结论即可．
【解答】解：由直角三角形两锐角互余得：∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，
∵直线DE是边AB的垂直平分线，
∴BE＝AE，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝60°﹣30°＝30°，
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形的性质，垂直平分线的性质等，掌握直角三角形的基本特点，熟练运用线段垂直平分线的性质是解题关键．
8．（3分）下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．依据分式的基本性质进行判断即可．
【解答】解：A.＝，故原等式不成立，不合题意；
B.＝，故原等式不成立，不合题意；
C.＝x﹣y，原等式成立，符合题意；
D.＝，故原等式不成立，不合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了分式的基本性质，即分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
9．（3分）如图，在平面直角坐标xOy中，∠A＝90°，OA＝2，OB平分∠AOx，点B（a﹣1，a﹣2）关于x轴的对称点是（ ）
A．（﹣2，1）B．（3，﹣2）C．（2，﹣1）D．（3，﹣1）
【分析】过B点作BC⊥x轴于点C，则△OAB≌△OCB，即OC＝OA，写出B点坐标，最后求出关于x轴的对称点的坐标．
【解答】解：如图，过B点作BC⊥x轴于点C，
∵∠A＝90°，
∴∠A＝∠OCB＝90°．
∵OB平分∠AOx，
∴∠AOB＝∠BOC．
又∵OB＝OB，
∴△OAB≌△OCB，
∴OC＝OA，
即：a﹣1＝2，
解得：a＝3，
∴B（2，1），
∴B（2，1）关于x轴的对称点是（2，﹣1）．
故选C．
【点评】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，平面直角坐标系点的对称，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
10．（3分）若△ABC的边a，b满足式子：a2+6b2﹣8b+8＝4ab，则第三边的长可能是（ ）
A．2B．5C．7D．8
【分析】根据a2+6b2﹣8b+8＝4ab得到（a﹣2b）2+2（b﹣2）2＝0，确定a，b的值，根据三角形三边关系定理计算判断即可．
【解答】解：∵a2+6b2﹣8b+8＝4ab，
∴（a﹣2b）2+2（b﹣2）2＝0，
∴a﹣2b＝0，b﹣2＝0，
∴a＝2b，b＝2，
∴a＝4，
∴4﹣2＜x＜4+2，
∴第三边x的取值范围是2＜x＜6．
故选：B．
【点评】本题考查了完全平方公式，实数的非负性，三角形的三边关系定理，熟练掌握实数的非负性，完全平方公式是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．（3分）计算：（﹣2）0＝ 1 ．
【分析】根据零指数幂的运算法则进行计算．
【解答】解：（﹣2）0＝1．
【点评】主要考查了零指数幂的意义，即任何非0数的0次幂等于1．
12．（3分）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是 五 边形．
【分析】利用n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，结合方程即可求出答案．
【解答】解：根据多边形的内角和可得：（n﹣2）180°＝540°，
解得：n＝5．
则这个多边形是五边形．
故答案为：五．
【点评】此题考查多边形的内角和问题，关键是根据n边形的内角和公式（n﹣2）•180°．
13．（3分）若5m＝8，5n＝4，则5m﹣n＝ 2 ．
【分析】逆用同底数幂的除法进行计算即可．
【解答】解：∵5m＝8，5n＝4，
∴5m﹣n＝5m÷5n＝8÷4＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法的运算法则是解决本题的关键．
14．（3分）若边长为a，b的长方形周长为10，面积为5，则a2+b2的值是 15 ．
【分析】根据“边长为a、b的长方形的周长为10，面积为5可得a+b＝5，ab＝5，再将原式转化为a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，代入计算即可．
【解答】解：∵边长为a、b的长方形的周长为10，面积为5，
∴a+b＝5，ab＝5，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25﹣10＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的变形是解决问题的关键．
15．（3分）若等腰三角形其中两个外角的和为230°，则这个等腰三角形的顶角度数是 50°或80° ．
【分析】根据题意可以得到等腰三角形的一个内角为50°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论，由此即可求解．
【解答】解：根据外角和定理可得，另一个外角为：360°﹣230°＝130°，
则与这个外角相邻的内角为180°﹣130°＝50°，
当50°为顶角时，其他两角都为65°、65°；
当50°为底角时，其他两角为80°、50°，
所以等腰三角形的顶角为80°或50°．
故答案为：50°或80°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．
16．（3分）如图，△ABC为等边三角形，F，E分别是AB，BC上的一动点，且AF＝BE，连结CF，AE交于点H，连接BH．
给出下列四个结论：
①∠AHF＝60°；②若BH＝HC，则AE平分∠BAC；
③S四边形BEHF＞S△AHC；④若BH⊥CF，则CH＝2HA．
其中正确的结论有 ①②④ （填写所有正确结论的序号）．
【分析】证明△ABE≌△CAF，利用全等三角形的性质可以判断①③，利用垂直平分线的判定可以判断②，利用等腰三角形和全等三角形可以判断④．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°，
又∵AF＝BE，
∴△ABE≌△CAF（SAS），
∴∠BAE＝∠ACF，
∴∠FHA＝∠FCA+∠CAH＝∠BAE+∠CAH＝60°，
故①正确；
∵AB＝AC，BH＝HC，
∴AH是BC的垂直平分线，
∴AE平分∠BAC，
故②正确；
∵△ABE≌△CAF，
∴S△ABE＝S△CAF，
∴，
即S四边形BEHF＝S△AHC．
故③不正确；
如图，在CH上截取CD＝AH，连接AD，
∵AB＝AC，∠BAE＝∠ACF，
∴△AHB≌△CDA（SAS），
∴∠ADC＝∠AHB，
又∵BH⊥CF，
∴∠BHF＝90°，
∵∠FHA＝60°，
∴∠ADC＝∠AHB＝90°+60°＝150°，∠AHD＝180°﹣∠AHF＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ADH＝180°﹣∠ADC＝180°﹣150°＝30°，
∴∠HAD＝180°﹣∠AHD﹣∠ADH＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴HA＝HD，
∴HC＝2AH．
故④正确；
故答案为：①②④．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：﹣＝0
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x﹣3﹣2x＝0
﹣x＝3
x＝﹣3
经检验：x＝﹣3是原方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
18．（8分）如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AB＝DE，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，CD＝BF．求证：AB∥DE．
【分析】证明Rt△ABC≌Rt△EDF（HL），得出∠B＝∠D，即可得出AB∥DE．
【解答】证明：∵AC⊥BD，EF⊥BD，
∴△ABC和△EDF为直角三角形，
∵CD＝BF，
∴CF+BF＝CF+CD，即BC＝DF，
在Rt△ABC和Rt△EDF中，，
∴Rt△ABC≌Rt△EDF（HL），
∴∠B＝∠D，
∴AB∥DE．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和性质（即对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
19．（8分）（1）计算：5ab（2a﹣b）+5ab2；
（2）因式分解：x3﹣4x．
【分析】（1）先去括号，然后合并同类项解题即可；
（2）先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：（1）5ab（2a﹣b）+5ab2
＝10a2b﹣5ab2+5ab2
＝10a2b；
（2）x3﹣4x
＝x（x2﹣4）
＝x（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查整式的加减和因式分解，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
20．（8分）如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）在第一象限的格点（网格线的交点）上找一点D（ 2 ， 1 ），使得S△ACB＝S△ACD．
【分析】（1）描出对应点A1、B1、C1的位置，连线即可；
（2）过A，B两点作x轴的垂线，过C点作y轴的垂线交于E，F两点，先得到∠BCA＝90°，然后利用轴对称找到点D，写出坐标即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，过A，B两点作x轴的垂线，过C点作y轴的垂线交于E，F两点，
则AE＝CF＝3，∠BFC＝∠AEC＝90°，CE＝BF＝2，
∴△AEC≌△CFB
∴∠EAC＝∠FCB，
∴∠BCA＝∠FCB+∠ECA＝∠EAC+∠ECA＝90°，
即要使得S△ACB＝S△ACD，则B，D两点关于AC对称，
即点D的坐标为（2，1），
故答案为：2，1．
【点评】本题考查轴对称图形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握轴对称的性质是解题的关键．
21．（8分）设．
（1）化简A；
（2）若x2+mx+16是一个完全平方式，求A的值．
【分析】（1）根据分式的性质，分式的混合运算法则即可求解；
（2）根据完全平方公式的形式a2±2ab+b2＝（a±b）2，由此即可求解．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝2（m+3），
∴A＝2（m+3）．
（2）x2+mx+16是一个完全平方式，
∴x2+mx+16＝（x+4）2＝x2+8x+16或x2+mx+16＝（x﹣4）2＝x2﹣8x+16，
∴m＝8或m＝﹣8，
∴当m＝8时，A＝2（m+3）＝2×（8+3）＝22；
当m＝﹣8时，A＝2（m+3）＝2×（﹣8+3）＝﹣10，
∴A的值是22或﹣10．
【点评】本题主要考查分式，乘法公式的综合，掌握分式的混合运算，乘法公式，配方法的运算是解题的关键．
22．（8分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°．
（1）尺规作图：作∠ACB的角平分线，交AB于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，延长CA至点E，使AE＝AD，连接BE．求证：CD＝BE，且CD⊥BE．
【分析】（1）利用基本尺规作图作角平分线即可；
（2）证明△BAE≌△CAD解题即可．
【解答】解：（1）如图，CD即为所作，
（2）如图，延长CD，交BE于F，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，∠EAB＝∠BAC＝90°，
又∵AE＝AD，
∴△BAE≌△CAD，
∴CD＝BE，∠ABE＝∠ACD，
∴∠ABE+∠E＝90°，
∴∠ECF+∠E＝90°，
∴∠EFC＝90°，即CD⊥BE．
【点评】本题考查基本作图—作角平分线，三角形全等的判定，解题的关键是掌握用尺规基本作图的步骤．
23．（8分）为了增强体质，某学校组织徒步活动．两小组都走完了3千米的绿道，第一小组的速度是第二小组速度的1.2倍，第一小组比第二小组提早小时到达目的地．
（1）求两个小组的速度分别是多少？
（2）假设绿道长为a千米，第一小组走完绿道需要m（m＞1）小时，第二小组走完绿道的时间是第一小组时间的1.2倍还要多小时，是否存在m，使得第一小组的速度是第二小组速度的2倍？请说明理由．
【分析】（1）设第二小组的速度是x千米/h，根据第一小组比第二小组提早小时到达目的地，列分式方程，求解即可；
（2）根据第一小组的速度是第二小组速度的2倍，列分式方程，求出m的值，再根据m的取值范围即可判断．
【解答】解：（1）设第二小组的速度是x千米/h，
根据题意，得，
解得x＝3，
经检验，x＝3是原方程的根且符合题意，
3×1.2＝3.6（千米/h），
答：第一小组的速度是3.6千米/h，第二小组的速度是3千米/h；
（2）不存在，理由如下：
根据题意，得，
解得m＝，
经检验，m＝是原方程的根，
∵m＞1，
∴m＝不符合题意，
∴不存在满足条件的m．
【点评】本题考查了分式方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键．
24．（8分）如图，OC平分∠AOB，P为OC上的一点，∠MPN的两边分别与OA、OB相交于点M、N．
（1）如图1，若∠AOB＝90°，∠MPN＝90°，过点P作PE⊥OA于点E，作PF⊥OB于点F，请判断PM与PN的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若∠AOB＝120°，∠MPN＝60°，求证：OP＝OM+ON．
【分析】（1）根据角平分线的性质可得PE＝PF，∠PEM＝∠PFN＝90°，再根据∠AOB＝90°，∠MPN＝90°，可得∠PMO+∠PNO＝180°，进一步可得∠PMA＝∠PNO，可证△PEM≌△PFN（AAS），根据全等三角形的性质即可证明PM＝PN；
（2）过点P作PE⊥OA于点E，过点P作PF⊥OB于点F，根据角平分线的性质可得PE＝PF，∠PEM＝∠PFN＝90°，可证△PME≌△PNF（AAS），可得EM＝FN，再根据含30°角的直角三角形的性质可得OP＝2OE，OP＝2OF，进一步可证OP＝OE+OF＝OM+ON．
【解答】（1）解：PM＝PN，理由如下：
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE＝PF，∠PEM＝∠PFN＝90°，
∵∠AOB＝90°，∠MPN＝90°，
∴∠PMO+∠PNO＝180°，
∵∠PMO+∠PMA＝180°，
∴∠PMA＝∠PNO，
∴在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（AAS），
∴PM＝PN；
（2）证明：过点P作PE⊥OA于点E，过点P作PF⊥OB于点F，如图所示：
∵OC平分∠AOB，
∴PE＝PF，∠PEM＝∠PFN＝90°，
∵∠AOB＝120°，∠MPN＝60°，
∴∠PMO+∠PNO＝180°，
∵∠PNO+∠PNF＝180°，
∴∠PMO＝∠PNF，
在△PME和△PNF中，
，
∴△PME≌△PNF（AAS），
∴EM＝FN，
∵∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠BOP＝60°，
∴∠EPO＝∠FPO＝30°，
∴OP＝2OE，OP＝2OF，
∴OP＝OE+OF＝OM+ON．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
25．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，射线AD⊥BC于点D．
（1）如图1，求∠BAD的度数；
（2）若点E，F分别是射线AD，边AC上的动点，AE＝CF，连接BE，BF．
①如图2，连接EF，当EF∥BC时，求∠EBD的度数；
②如图3，当BE+BF最小时，求证：∠ABF＝∠DBE．
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一进行解答即可；
（2）①根据等腰三角形的性质，得出AG＝AF，得出BG＝CF，根据等腰三角形的判定得出AE＝GE，即可证明BG＝GE，得出∠GBE＝∠GEB，根据平行线的性质得出∠GEB＝∠EBD，证明∠GBE＝∠EBD，根据∠GBE+∠EBD＝45°即可得出答案；
②过点C作CM⊥BC，在CM上截取CG＝AB，证明△ABE≌△CGF，得出BE＝GF，从而得出BE+BF＝BF+FG，B、F、G在同一直线上时，BF+FG最小，即BE+BF最小，连接BG交AC于一点，该点即为F，交AD于点H，证明∠HBE＝∠HAF，得出∠HBE＝45°，证明∠ABD＝∠HBE，得出∠ABF+∠FBC＝∠FBC+∠DBE，即可证明结论．
【解答】（1）解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝90°，
∴；
（2）解：①延长FE交AB于点G，如图所示：
∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴，
∵EF∥BC，
∴∠AGF＝∠ABC＝45°，∠AFG＝∠ACB＝45°，
∴∠AGF＝∠AFG，
∴AG＝AF，
∴AB﹣AG＝AC﹣AF，
∴BG＝CF，
∵∠AGE＝∠GAE＝45°，
∴AE＝GE，
∵AE＝CF，
∴BG＝GE，
∴∠GBE＝∠GEB，
∵EF∥BC，
∴∠GEB＝∠EBD，
∴∠GBE＝∠EBD，
∵∠GBE+∠EBD＝45°，
∴∠EBD＝22.5°；
②过点C作CM⊥BC，在CM上截取CG＝AB，如图所示：
∵∠BCG＝90°，∠BCA＝45°，
∴∠ACG＝45°，
∵∠BAD＝45°，
∴∠ACG＝∠BAD，
∵AB＝CG，AE＝CF，
∴△ABE≌△CGF（SAS），
∴BE＝GF，
∴BE+BF＝BF+FG，
∴B、F、G在同一直线上时，BF+FG最小，即BE+BF最小，连接BG交AC于一点，该点即为F，交AD于点H，如图所示：
∵△ABE≌△CGF，
∴∠AEB＝∠CFG，
∵∠AFH＝∠CFG，
∴∠AEB＝∠AFH，
∵∠BHE＝∠AHF，
又∵∠HBE+∠BEH+∠BHE＝180°，∠AHF+∠AFH+∠HAF＝180°，
∴∠HBE＝∠HAF，
∵，
∴∠HBE＝45°，
∵∠ABD＝45°，
∴∠ABD＝∠HBE，
∴∠ABF+∠FBC＝∠FBC+∠DBE，
∴∠ABF＝∠DBE．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法．
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