2025-2026学年高二上学期期末模拟数学（人教B版）试题（Word版附解析）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教B版2019选择性必修第一册+第二册
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量，且，那么（ ）
A．4B．6C．8D．
2．哈三中百年校庆活动将5名教师志愿者分配到教学楼、田径场、艺体中心、普育广场4个地点参加志愿活动，每名志愿者仅去1个地点，每个地点至少需要1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种B．120种C．240种D．480种
3．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程为．
表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（ ）
A．55 B．55.8 C．59D．51
4．某奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，则．记一天中旅客人数不少于万人的概率为，则的值约为（ ）
（参考数据：若，则，，）
A．B．C．D．
5．如图，在棱长为6的正四面体中，，分别为棱，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆 与圆 的公共弦所在的直线与直线 平行，则两平行线间的距离为（ ）
A．B．C．D．
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，且双曲线的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
8．为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）：
从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的优势，在发生的条件下的优势，则（ ）
A．可化简为，估计其值为B．可化简为，估计其值为
C．可化简为，估计其值为D．可化简为，估计其值为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．已知，则
B．设随机变量服从，若，则
C．已知随机变量服从，若，则
D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验（），可判断与不独立
10．已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为4，过的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为B．若，则点到轴的距离为6
C．当，则直线的倾斜角为D．
11．如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点，在底面内（包括边界），则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．当时，点的轨迹长度为
C．存在唯一，使
D．若，则三棱锥外接球的半径为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．的展开式中的系数是 （用数字作答）
13．有3个分别标有数字的小球，从中有放回地随机取4次，每次取1个球．记为这3个球中至少被取出1次的球的个数，则的数学期望 ．
14．数学家笛卡尔通过研究一簇花瓣和叶形曲线特征，得到了一簇花瓣曲线的一般方程为：，该方程表示的曲线就是优美的“笛卡尔叶形线”，若某种花瓣曲线特征满足（如图），该花瓣曲线上任意一点，则的范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知，且展开式中有且仅有第6项的二项式系数最大.
(1)求展开式的所有二项式系数之和；
(2)求的值；
(3)判断的展开式中第几项系数的绝对值最大.
16．（15分）如图，在三棱柱中，，，，平面.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值.
17．（15分）某兴趣小组为宣传传统非遗文化制定了两种宣传方法，为了解两种宣传方法的宣传效果，该小组在人群中随机对84人进行了宣传（宣传前所有人均未了解过），其中42人采用宣传方法一，其余采用宣传方法二，宣传后的人群对传统非遗文化的了解程度分为“比较了解”和“有点了解”.经统计发现，采用宣传方法一宣传后的人中有30人是“比较了解”，采用宣传方法二宣传后的人中有18人是“比较了解”.
(1)以频率估计概率，现给2人采用宣传方法一宣传传统非遗文化（宣传前均未了解过），记宣传后“比较了解”的人数为，求的分布列和数学期望；
(2)列出列联表，并依据的独立性检验，是否可以认为宣传效果与宣传方法有关?
(3)若按照宣传方法进行分层抽样，从这84人中随机抽取14人，再从这14人中等可能依次抽取2人，求在第一次抽到“有点了解”的人的情况下，第二次抽到采用宣传方法二宣传且了解程度为“有点了解”的人的概率.
附：，.
18．（17分）近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展．某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩（单位：分），将他们的成绩分成以下6组：，，，…，，统计结果如下面的频数分布表所示．
(1)现利用分层随机抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，设这4人中来自前2组的人数为，求的分布列和期望．
(2)高一学生的这次化学成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得．
（ⅰ）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
（ⅱ）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下：
方案1：每人均赠送25小时学习视频．
方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频．问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明．
参考数据：若，则，．
19．（17分）已知椭圆的离心率为，且经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求的取值范围及的值；
(3)点，在椭圆上，且关于坐标原点对称，过点与垂直的直线与椭圆的另一个交点为，轴，垂足为，直线与轴交于点，的面积和的面积分别记为，，求的值.
零件数x（个）
1
2
3
4
5
加工时间y（min）
50
67
71
79
发病
未发病
合计
使用药物
10
40
50
未使用药物
30
20
50
合计
40
60
100
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
组别
频数
20
30
40
60
30
20