2024-2025学年河南省郑州市经开外国语学校九年级（上）期末数学试卷

这是一份2024-2025学年河南省郑州市经开外国语学校九年级（上）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，是由5个大小一样的立方体摆放而成的，移动立方体A，由左图变化至右图，那么由左图的三视图变化至右图的三视图中，则（ ）
A．左视图不变，俯视图不变
B．主视图不变，左视图不变
C．主视图不变，俯视图不变
D．三个视图都不变
2．菱形的两条对角线长分别是3和4，则此菱形的周长是（ ）
A．5B．10C．20D．25
3．商场有一个自动扶梯，倾斜角为30°，高为6m，则扶梯的长度为（ ）m．
A．12B．63C．6D．62
4．一块矩形的纸片的长AB＝a，宽AD＝1，按照图中的方式将它裁成相同的两个矩形，且使裁成的每个矩形的宽和长的比与原纸片的宽与长的比相同，即AEAD=ADAB，则a的值为（ ）
A．2B．3C．2D．5
5．方程﹣2x2+kx﹣3＝0的一个根为2，则另一个根为（ ）
A．112B．1C．34D．−12
6．游戏规则如下：掷两次质地均匀的骰子，掷得的点数之和恰好为所选的数的获胜!如果你参与这个游戏，要想获胜可能性最大，你会选择（ ）
A．6B．7C．8D．9
7．人体美学中的黄金分割有很多种，其中肚脐是头顶到足底的黄金分割点（从头顶到足底画一条线段，肚脐是该线段的黄金分割点）．小明同学从足底到肚脐的距离是105cm，小明同学的最佳身高大约是（ ）
A．160cmB．170cmC．180cmD．190cm
8．调查一个班50名同学的生日，发现有两个人生日相同，对此你认为以下说法正确的是（ ）
A．纯属巧合，任意50人中有两个人生日相同的概率极低
B．必然事件，任意50人中一定有两个人生日相同
C．正常现象，任意50人中有两个人生日相同的概率很高
D．任意50人中，有两个人生日相同和没有两个人生日相同的概率各占50%
9．平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O点，点E在AD的延长线上，连接OE交CD于F点，若AD＝8，DE＝8，DF＝5，则AB＝（ ）
A．10B．12C．13.5D．15
10．点P在一次函数y＝﹣2x+3的图象上，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为C、D，当矩形OCPD的面积为1时，满足条件的P点的坐标有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本题共5小题。
11．电磁波的波长λ（单位：m）与频率f（单位：MHz）是反比例函数关系，当频率f＝10MHz时，波长λ＝30m，那么当f＝15MHz时，波长λ＝ m．
12．小明和爸爸都站在平地上，他们的身高分别为1.5m和1.8m，在某一时刻，小明在太阳下的影子长为1m，此时，小明爸爸的影子长为 ．
13．请你写一个图象过点（1，﹣2）的二次函数： ．
14．如图，用几个相同的含30°角的直角三角尺、按照图中所示的方式可以拼成封闭的多边形，则整体围成的图形和中间围成的图形的面积之比为 ．
15．从地面向上抛出的小球，小球的高度h（单位m）与运动时间t（单位：s）之间的关系是h＝30t﹣5t2，则小球运动过程中，小球高于地面25m的时长为 ．
三、解答题：本题共8小题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．如图，在平面直角坐标系中，A（0，6），B（14，0），C（14，4），点P在线段OB上运动．当以P，C，B为顶点的三角形和△APO相似时，求P点坐标．
17．建筑工人在工作时，通常要用到梯子．梯子摆放的角度α（如图）为60°到70°之间时，符合安全标准．一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为8m．（sin70°≈0.9397，cs70°≈0.3420，3≈1.732)
（1）梯子摆放是否符合安全标准？请说明原因．
（2）如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动了多少米？
18．如图：在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的角平分线．
（1）求证：∠DAN＝90°；
（2）用尺规作图：过C作AN的垂线CE，垂足为E（不写过程，需保留作图痕迹）；
（3）求证：四边形ADCE是矩形．
19．如图，已知点P（2，a）、点Q（b，﹣2）都在反比例函数y=kx图象上．过点P作x轴的垂线，垂足为H，△OPH的面积为1，一次函数y＝mx+n的图象过点P、Q．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求一次函数的表达式，并求△OPQ的面积；
（3）根据图象直接写出不等式mx+n＜kx的解集．
20．有心理学家研究发现，学生对某类概念的接受能力y与教师讲授概念所用时间x（min）之间满足函数关系y＝ax2+2.6x+44（0≤x≤30），y值越大，表示接受能力越强．当x＝10时，y＝60．
（1）求函数关系式；
（2）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？最强时y的值为多少？
（3）请你从数学角度，给老师提出一个讲授此类概念所用时间的建议，并说明理由．
21．小明同学测量底部不可以到达的物体MN的高度，按下列步骤进行：
（1）在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE＝15°；
（2）在测点A与物体之间的B处安置测倾器（A，B与N在一条直线上，且A，B之间的距离可以直接测得），测得此时M的仰角∠MDE＝20°；
（3）量出测倾器的高度AC＝BD＝1.5m，以及测点A，B之间的距高AB＝50m．根据测量数据，求出物体MN的高度（tan15°＝0.27，tan20°＝0.36）．
22．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，每月能售出600个．按商场管理规定，售价在40元至60元范围内．调查发现，在该范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个．
（1）为了实现每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？
解：假设售价为x元，则每月台灯的销售量为 个，每个台灯的利润为 元．（用含x的代数式表示，并完成解答）
（2）要使每月的销售利润最大，售价应定为多少？请说明原因．
23．（1）尝试探究：如图，在正方形ABCD中，边长为a，点E，F，G，H分别在正方形的四条边上，并且EF⊥GH，若EF＝1，则GH＝ ；
（2）类比延伸：如图，在长方形ABCD中，AD＝a，AB=2a，点E，F，G，H分别在正方形的四条边上，并且EF⊥GH，若EF＝1，则GH＝ ；
（3）拓展应用：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E分别在边BC和AC上，并且AD⊥BE，若AE＝a，AB=5a，则BD和CD的数量关系为： ，并写出解答过程．
2024-2025学年河南省郑州市经开外国语学校九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、单项选择题：本题共10小题。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，是由5个大小一样的立方体摆放而成的，移动立方体A，由左图变化至右图，那么由左图的三视图变化至右图的三视图中，则（ ）
A．左视图不变，俯视图不变
B．主视图不变，左视图不变
C．主视图不变，俯视图不变
D．三个视图都不变
【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看得到的图形，可得答案．
【解答】解：主视图都是第一层三个正方形，第二层右边一个正方形，故主视图不变；
左视图都是第一层两个正方形，正方形位置发生了变化，故左视图改变；
俯视图底层的正方形没有变化，故俯视图不变．
∴主视图不变，俯视图不变．
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，能熟练找准物体的三视图是解题关键．
2．菱形的两条对角线长分别是3和4，则此菱形的周长是（ ）
A．5B．10C．20D．25
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．
【解答】解：如图所示，
根据题意得AO=12×3=32，BO=12×4＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，
∴△AOB是直角三角形，
∴AB=AO2+BO2=52，
∴此菱形的周长为：52×4＝10．
故选：B．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键，同学们也要熟练掌握菱形的性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
3．商场有一个自动扶梯，倾斜角为30°，高为6m，则扶梯的长度为（ ）m．
A．12B．63C．6D．62
【分析】结合含30度角的直角三角形的性质可得扶梯的长度为2×6＝12cm．
【解答】解：如图，
由图可得，扶梯的长度为2×6＝12cm．
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题、含30度角的直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
4．一块矩形的纸片的长AB＝a，宽AD＝1，按照图中的方式将它裁成相同的两个矩形，且使裁成的每个矩形的宽和长的比与原纸片的宽与长的比相同，即AEAD=ADAB，则a的值为（ ）
A．2B．3C．2D．5
【分析】根据题意求出AE，把已知数据代入比例式，计算即可．
【解答】解：由题意可知：AB＝a，AE=12a，AD＝1，
则12a1=1a，
解得：a=2（负值舍去），
故选：A．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．
5．方程﹣2x2+kx﹣3＝0的一个根为2，则另一个根为（ ）
A．112B．1C．34D．−12
【分析】方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得2t=−3−2，然后解一次方程即可．
【解答】解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得2t=−3−2，
解得t=34，
即方程的另一个根为34．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
6．游戏规则如下：掷两次质地均匀的骰子，掷得的点数之和恰好为所选的数的获胜!如果你参与这个游戏，要想获胜可能性最大，你会选择（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】用列表法或画树状图法分别求出掷得的点数之和为6，7，8，9的概率，即可得的答案．
【解答】解：列表如下：
所有可能的结果共有36种，每一种结果出现的可能性相同．
∴P（点数之和为6）=536，P（点数之和为7）=636，P（点数之和为8）=536，P（点数之和为9）=436，
∵636＞536＞436，
∴选择7的可能性大，
故选：B．
【点评】本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
7．人体美学中的黄金分割有很多种，其中肚脐是头顶到足底的黄金分割点（从头顶到足底画一条线段，肚脐是该线段的黄金分割点）．小明同学从足底到肚脐的距离是105cm，小明同学的最佳身高大约是（ ）
A．160cmB．170cmC．180cmD．190cm
【分析】设小明同学的最佳身高是xcm，根据题意可得：105x≈0.618，然后进行计算即可解答．
【解答】解：设小明同学的最佳身高是xcm，
由题意得：105x≈0.618，
解得：x≈170，
经检验：x＝170是原方程的根，
∴小明同学的最佳身高约为170cm，
故选：B．
【点评】本题考查了分式方程的应用，黄金分割，准确熟练地进行计算是解题的关键．
8．调查一个班50名同学的生日，发现有两个人生日相同，对此你认为以下说法正确的是（ ）
A．纯属巧合，任意50人中有两个人生日相同的概率极低
B．必然事件，任意50人中一定有两个人生日相同
C．正常现象，任意50人中有两个人生日相同的概率很高
D．任意50人中，有两个人生日相同和没有两个人生日相同的概率各占50%
【分析】结合随机事件的定义可得结论．
【解答】解：∵一年有365天，一个班只有50人，
∴有两个人生日相同是随机时间，但任意50人中有两个人生日相同的概率很高．
故A，B，D选项不符合题意，C选项符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查列表法与树状图法、随机事件，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9．平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O点，点E在AD的延长线上，连接OE交CD于F点，若AD＝8，DE＝8，DF＝5，则AB＝（ ）
A．10B．12C．13.5D．15
【分析】延长EO交AB于G点，如图，先根据平行四边形的性质得到AB∥CD，OB＝OD，再证明△EDF∽△EAG，利用相似比可计算出AG＝10，接着证明△OBG∽△ODF，则利用相似比可计算出
BG＝DF＝5，然后计算AG+BG即可．
【解答】解：延长EO交AB于G点，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，OB＝OD，
∵DF∥AG，
∴△EDF∽△EAG，
∴DFAG=EDEA，
即5AG=88+8，
解得AG＝10，
∵DF∥BG，
∴△OBG∽△ODF，
∴BGDF=OBOD=1，
∴BG＝DF＝5，
∴AB＝AG+BG＝10+5＝15．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了平行四边形的性质．
10．点P在一次函数y＝﹣2x+3的图象上，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为C、D，当矩形OCPD的面积为1时，满足条件的P点的坐标有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出一次函数y＝﹣2x+3的图象与x轴的交点坐标，设点P的坐标为（m，﹣2m+3），分m＜0或m＞32及0＜m＜32两种情况考虑，根据矩形OCPD的面积为1，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，由m的值均符合题意，可得出满足条件的P点的坐标有4个．
【解答】解：当y＝0时，﹣2x+3＝0，
解得：x=32，
∴一次函数y＝﹣2x+3的图象与x轴交于点（32，0）．
设点P的坐标为（m，﹣2m+3），
当m＜0或m＞32时，m（﹣2m+3）＝﹣1，
整理得：2m2﹣3m﹣1＝0，
解得：m1=3−174，m2=3+174；
当0＜m＜32时，m（﹣2m+3）＝1，
整理得：2m2﹣3m+1＝0，
解得：m3=12，m4＝1．
∴满足条件的P点的坐标有4个．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及解一元二次方程，通过解一元二次方程，找出满足条件的P点的横坐标是解题的关键．
二、填空题：本题共5小题。
11．电磁波的波长λ（单位：m）与频率f（单位：MHz）是反比例函数关系，当频率f＝10MHz时，波长λ＝30m，那么当f＝15MHz时，波长λ＝ 20 m．
【分析】设解析式为λ=kf（ k≠0），用待定系数法求得λ=300f；把f＝75MHz值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长λ．
【解答】解：设波长λ关于频率f的函数解析式为λ=kf（ k≠0），
把点（10，30）代入上式中得：k10=30，
解得：k＝300，
∴λ=300f；
当f＝15MHz时，λ=30015=20，
答：当f＝15MHz时，此电磁波的波长λ为20m，
故答案为：20．
【点评】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键．
12．小明和爸爸都站在平地上，他们的身高分别为1.5m和1.8m，在某一时刻，小明在太阳下的影子长为1m，此时，小明爸爸的影子长为 1.2m ．
【分析】利用同一时刻实际物体与影长的比值相等进而求出即可．
【解答】解：设小明爸爸的影子长为xm，
由题意可得：1.51=1.8x，
解得：x＝1.2．
故答案为：1.2m．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确利用物体高度与影长的关系是解题关键．
13．请你写一个图象过点（1，﹣2）的二次函数：y＝﹣2x2（答案不唯一） ．
【分析】设二次函数为y＝ax2，代入点（1，﹣2）即可求解．
【解答】解：设二次函数为y＝ax2，
代入点（1，﹣2）得﹣2＝a，
∴过点（1，﹣2）的二次函数可以为：y＝﹣2x2，
故答案为：y＝﹣2x2（答案不唯一）．
【点评】本题考查二次函数的定义，解题的关键是知道解析式的求法．
14．如图，用几个相同的含30°角的直角三角尺、按照图中所示的方式可以拼成封闭的多边形，则整体围成的图形和中间围成的图形的面积之比为 3：1 ．
【分析】由含30度角的直角三角形的性质求出BC：AD=3：1，由相似多边形的性质，求出整体围成的图形和中间围成的图形的面积之比＝BC2：AD2＝3：1．
【解答】解：由题意知：整体围成的图形和中间围成的图形都是正六边形，
∵∠ABC＝30°．∠C＝90°，
∴BC=3AC，AB＝2AC，
∵BD＝AC，
∴AD＝AB﹣BD＝AC，
∴BC：AD=3AC：AC=3：1，
∵两个正六边形相似，
∴整体围成的图形和中间围成的图形的面积之比＝BC2：AD2＝3：1．
故答案为：3：1．
【点评】本题考查相似多边形的判定和性质，含30度角的直角三角形，关键是掌握相似多边形面积的比等于相似比的平方．
15．从地面向上抛出的小球，小球的高度h（单位m）与运动时间t（单位：s）之间的关系是h＝30t﹣5t2，则小球运动过程中，小球高于地面25m的时长为 4s ．
【分析】依据题意，由h＝30t﹣5t2，可令h＝25，则h＝30t﹣5t2＝25，求出t后即可判断得解．
【解答】解：由题意，∵h＝30t﹣5t2，
∴令h＝25，则h＝30t﹣5t2＝25．
∴t1＝1，t2＝5．
∴小球高于地面25m的时长为：5﹣1＝4（s）．
故答案为：4s．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
三、解答题：本题共8小题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．如图，在平面直角坐标系中，A（0，6），B（14，0），C（14，4），点P在线段OB上运动．当以P，C，B为顶点的三角形和△APO相似时，求P点坐标．
【分析】根据已知条件得到OA＝6，OB＝14，BC＝4，BC⊥OB，求得∠AOB＝∠OBC＝90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵A（0，6），B（14，0），C（14，4），
∴OA＝6，OB＝14，BC＝4，BC⊥OB，
∴∠AOB＝∠OBC＝90°，
当以P，C，B为顶点的三角形和△APO相似时，OABC=OPPB或OAPB=OPBC，
∴64=OP14−OP或614−OP=OP4，
解得OP＝8.4或OP＝2或OP＝12，
∴P（8.4，0）或（2，0）或（12，0）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，坐标与图形性质，分类讨论是解题的关键．
17．建筑工人在工作时，通常要用到梯子．梯子摆放的角度α（如图）为60°到70°之间时，符合安全标准．一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为8m．（sin70°≈0.9397，cs70°≈0.3420，3≈1.732)
（1）梯子摆放是否符合安全标准？请说明原因．
（2）如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动了多少米？
【分析】（1）根据题意，在Rt△ABC中，得到sinα＝0.8，结合sin60°=32≈0.866，得到结论；
（2）在Rt△DBE中，求出BE长，得到CE即可．
【解答】解：（1）梯子摆放符合安全标准，理由如下：
如图，∵在Rt△ABC中，AC＝10m，AB＝8m，
∴BC=AC2−AB2=6（m），
∴sinα=ABAC=810=0.8，
∵sin60°=32≈0.866，sin70°≈0.9397，
0.8＜0.866，
∴，α＜60°，
∴梯子摆放不符合安全标准；
（2）如图，∵梯子下滑1m，
∴AD＝1m，
∴BD＝7m，
∵在Rt△DBE中，DE＝10m，
∴BE=DE2−BD2=102−72=51（m），
∴CE＝BE﹣BC=51−6（m），
答：梯子的底端滑动了（51−6）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
18．如图：在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的角平分线．
（1）求证：∠DAN＝90°；
（2）用尺规作图：过C作AN的垂线CE，垂足为E（不写过程，需保留作图痕迹）；
（3）求证：四边形ADCE是矩形．
【分析】（1）由角平分线的定义可得∠BAD＝∠CAD，∠CAN＝∠MAN，再根据∠BAD+∠CAD+∠CAN+∠MAN＝180°，可得∠CAD+∠CAN＝90°，即∠DAN＝90°．
（2）根据垂线的作图方法作图即可．
（3）由等腰三角形的性质可得∠B＝∠ACB，则∠CAM＝∠B+∠ACB＝2∠ACB，由角平分线的定义可得∠CAM＝2∠CAE，则∠ACB＝∠CAE，即AE∥BC，进而可得∠AEC＝90°＝∠DCE＝90°，再结合矩形的判定可得结论．
【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，∠CAN＝∠MAN，
∵∠BAD+∠CAD+∠CAN+∠MAN＝180°，
∴2∠CAD+2∠CAN＝180°，
∴∠CAD+∠CAN＝90°，
即∠DAN＝90°．
（2）解：如图，直线CE即为所求．
（3）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB．
∴∠CAM＝∠B+∠ACB＝2∠ACB．
∵AN为△ABC的外角∠CAM的角平分线，
∴∠CAM＝2∠CAE，
∴∠ACB＝∠CAE，
∴AE∥BC，
∴∠AEC+∠DCE＝180°．
∵CE⊥AN，
∴∠AEC＝90°，
∴∠DCE＝90°．
∵∠DAN＝90°，
∴四边形ADCE是矩形．
【点评】本题考查作图—基本作图、等腰三角形的性质、矩形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．如图，已知点P（2，a）、点Q（b，﹣2）都在反比例函数y=kx图象上．过点P作x轴的垂线，垂足为H，△OPH的面积为1，一次函数y＝mx+n的图象过点P、Q．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求一次函数的表达式，并求△OPQ的面积；
（3）根据图象直接写出不等式mx+n＜kx的解集．
【分析】（1）利用反比例函数y=kx中k的几何意义（过反比例函数图象上一点作坐标轴垂线，与坐标轴围成三角形面积S=12|k|）求出k，进而得到反比例函数表达式；
（2）先将点代入反比例函数求出P、Q坐标，再代入一次函数表达式，用待定系数法求出一次函数表达式；求△OPQ面积，可通过将其转化为几个容易计算面积的三角形组合来求解；
（3）根据反比例函数与一次函数图象位置关系，找出一次函数图象在反比例函数图象下方时x的取值范围．
【解答】解：（1）已知P（2，a），过点P作x轴垂线，垂足为H，如图所示：
∵S△OPH=12|k|，
∴|k|＝2，
∵反比例函数图象在一、三象限，
∴k＞0，
∴k＝2，
∴反比例函数表达式y=2x；
（2）把P（2，a）、Q（b，﹣2）代入y=2x上，
∴a＝1，b＝﹣1，
∴P、Q的坐标为P（2，1）（﹣1，﹣2），
一次函数y＝mx+n过点P（2，1）、Q（﹣1，﹣2），
将两点代入可得方程组2m+n=1−m+n=−2，
解得m＝1，n＝﹣1
∴一次函数表达式为y＝x﹣1，
设直线y＝x﹣1与y轴交点M，令x＝0，则y＝﹣1，
∴M（0，﹣1），
S△OPQ＝S△OPM+S△OQM，
S△OPM=12×|OM|×|xp|=12×1×2＝1，
S△OQM=12×|OM|×|xQ|=12×1×1=12．
∴S△OPQ＝1+12=32；
（3）不等式mx+n＜kx即一次函数值小于反比例函数值，
从图象看，一次函数y＝x﹣1图象在反比例函数y=2x图象下方时：
当x＜﹣1或0＜x＜2满足条件，
∴mx+n＜kx的解集是x＜﹣1或0＜x＜2．
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，待定系数法求函数的表达式，反比例函数比例系数的几何意义，根据一次函数与反比例函数图象的交点求一次不等式的解集，熟练掌握待定系数法求函数的表达式的方法与技巧，理解反比例函数比例系数的几何意义，利用数形结合思想求一次不等式的解集是解决问题的关键．
20．有心理学家研究发现，学生对某类概念的接受能力y与教师讲授概念所用时间x（min）之间满足函数关系y＝ax2+2.6x+44（0≤x≤30），y值越大，表示接受能力越强．当x＝10时，y＝60．
（1）求函数关系式；
（2）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？最强时y的值为多少？
（3）请你从数学角度，给老师提出一个讲授此类概念所用时间的建议，并说明理由．
【分析】（1）依据题意，由当x＝10时，y＝60．从而60＝a×102+2.6×10+44，求出a后即可判断得解；
（2）依据题意，结合（1）y＝﹣0.1（x﹣13）2+60.9．又﹣0.1＜0，进而可以判断得解；
（3）依据题意，结合（2）y＝﹣0.1（x﹣13）2+60.9，从而当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强；当13＜x≤30时，学生的接受能力逐步减弱，进而可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，∵当x＝10时，y＝60．
∴60＝a×102+2.6×10+44．
∴a＝﹣0.1．
∴y＝﹣0.1x2+2.6x+44．
（2）由题意，结合（1）y＝﹣0.1x2+2.6x+44＝﹣0.1（x2﹣26x+169）+44＝﹣0.1（x﹣13）2+60.9．
∵﹣0.1＜0，
∴当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强，最强时y的值为60.9．
（3）由题意，结合（2）y＝﹣0.1（x﹣13）2+60.9，
∴当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强；当13＜x≤30时，学生的接受能力逐步减弱．
∴老师在讲授此类概念所用时间应该控制在13分钟左右．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
21．小明同学测量底部不可以到达的物体MN的高度，按下列步骤进行：
（1）在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE＝15°；
（2）在测点A与物体之间的B处安置测倾器（A，B与N在一条直线上，且A，B之间的距离可以直接测得），测得此时M的仰角∠MDE＝20°；
（3）量出测倾器的高度AC＝BD＝1.5m，以及测点A，B之间的距高AB＝50m．根据测量数据，求出物体MN的高度（tan15°＝0.27，tan20°＝0.36）．
【分析】根据题意，结合图形，设ME＝xm，在Rt△MED中表示出ED，在Rt△MEC中表示出EC，利用CD＝EC﹣ED，得到方程，解方程得到结果．
【解答】解：设ME＝xm，
∵在Rt△MED中，∠MDE＝20°，
∴ED=MEtan∠MDE=x0.36，
∵在Rt△MEC中，∠MCE＝15°，
∴EC=MEtan∠MCE=x0.27，
∵CD＝EC﹣ED，CD＝AB＝50m，
∴x0.27−x0.36=50，
解得x＝54，
即ME＝54m，
∵EN＝BD＝1.5m，
∴MN＝ME+EN＝55.5m，
答：物体MN的高度为55.5米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
22．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，每月能售出600个．按商场管理规定，售价在40元至60元范围内．调查发现，在该范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个．
（1）为了实现每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？
解：假设售价为x元，则每月台灯的销售量为 （1000﹣10x） 个，每个台灯的利润为 （x﹣30） 元．（用含x的代数式表示，并完成解答）
（2）要使每月的销售利润最大，售价应定为多少？请说明原因．
【分析】（1）依据题意，由这种台灯的售价应定为x元，那么就少卖出10（x﹣40）个，根据利润＝售价﹣进价，可列方程求解；
（2）依据题意，设每月销售利润为W，该商场决定把售价上涨m元，根据总利润＝单件利润×数量，列出函数表达式，化为顶点式，根据二次函数的增减性，即可解答．
【解答】解：（1）由题意，∵这种台灯的售价应定为x元，
∴每月台灯的销售量为：600﹣10（x﹣40）＝1000﹣10x．又∵每个台灯的利润为：x﹣30，
∴[600﹣10（x﹣40）]（x﹣30）＝10000，∴x2﹣130x+4000＝0，
∴x1＝50，x2＝80（舍去）．
答：这种台灯的售价应定为50元，即每个台灯应涨价10元．
故答案为：（1000﹣10x）；（x﹣30）．
（2）要使每月的销售利润最大，售价应定为60元．理由如下：
由题意，设每月销售利润为W，该商场决定把售价上涨m元，W＝（40+m﹣30）（600﹣10m）
＝﹣10m2+500m+6000
＝﹣10（m﹣25）2+12250，
∵﹣10＜0，
∴当m＜25时，W随x的增大而增大，
∵0＜m≤20，
∴当m＝20时，售价为40+m＝60（元），W取最大值，此时W＝12000，
答：要使每月的销售利润最大，售价应定为60元．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数表达式．
23．（1）尝试探究：如图，在正方形ABCD中，边长为a，点E，F，G，H分别在正方形的四条边上，并且EF⊥GH，若EF＝1，则GH＝ 1 ；
（2）类比延伸：如图，在长方形ABCD中，AD＝a，AB=2a，点E，F，G，H分别在正方形的四条边上，并且EF⊥GH，若EF＝1，则GH＝ 22 ；
（3）拓展应用：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E分别在边BC和AC上，并且AD⊥BE，若AE＝a，AB=5a，则BD和CD的数量关系为：BD=5CD ，并写出解答过程．
【分析】（1）作AM∥GH交CD于点M，DN∥EF交BC于点N，交AM于点L，设EF交GH于点O，由正方形的性质得AD＝DC＝a，∠ADM＝∠C＝90°，可证明DN＝EF＝1，GH＝AM，因为EF⊥GH，所以∠ALD＝∠AIE＝∠AOE＝90°，推导出∠DAM＝∠CDN，可证明△ADM≌△DCN，则GH＝AM＝DN＝1，于是得到问题的答案；
（2）作AQ∥GH交EF于点V，BR∥EF交AD于点R，交AQ于点T，设EF交GH于点W，可证明BR＝EF＝1，GH＝AQ，因为EF⊥GH，所以∠ATB＝∠AVF＝∠HWF＝90°，推导出∠ABR＝∠DAQ，可证明△ABR∽△DAQ，则BRAQ=ABAD=2，求得GH＝AQ=22，于是得到问题的答案；
（3）作PC∥AB交AD的延长线于点P，设AD交BE于点K，因为∠BAC＝90°，所以∠ACP＝90°，则∠ACP＝∠BAE，而AD⊥BE，可推导出∠CAP＝∠ABE，再证明△ACP≌△BAE，得PC＝AE＝a，再证明△ABD∽△PCD，则BDCD=ABPC=5，所以BD=5CD，于是得到问题的答案．
【解答】解：（1）如图（1），作AM∥GH交CD于点M，DN∥EF交BC于点N，交AM于点L，设EF交GH于点O，
∵四边形ABCD是长为a的正方形，点E，F，G，H分别在正方形ABCD的四条边上，
∴AD＝DC＝a，∠ADM＝∠C＝90°，AH∥GM，DE∥FN，
∴四边形AHGM和四边形DEFN都是平行四边形，
∴DN＝EF＝1，GH＝AM，
∵EF⊥GH，
∴∠ALD＝∠AIE＝∠AOE＝90°，
∴∠DAM＝∠CDN＝90°﹣∠ADN，
在△ADM和△DCN中，
∠DAM=∠CDNAD=DC∠ADM=∠C，
∴△ADM≌△DCN（ASA），
∴AM＝DN＝1，
∴GH＝AM＝1，
故答案为：1．
（2）如图（2），作AQ∥GH交EF于点V，BR∥EF交AD于点R，交AQ于点T，设EF交GH于点W，
∵四边形ABCD是矩形，AD＝a，AB=2a，点E，F，G，H分别在矩形ABCD的四条边上，
∴AH∥CQ，BF∥ER，∠BAR＝∠D＝90°，
∴四边形AHGQ和四边形BFER都是平行四边形，
∴BR＝EF＝1，GH＝AQ，
∵EF⊥GH，
∴∠ATB＝∠AVF＝∠HWF＝90°，
∴∠ABR＝∠DAQ＝90°﹣∠BAQ，
∴△ABR∽△DAQ，
∴BRAQ=ABAD=2aa=2，
∴AQ=BR2=12=22，
∴GH＝AQ=22，
故答案为：22．
（3）如图（3），作PC∥AB交AD的延长线于点P，设AD交BE于点K，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E分别在边BC和AC上，
∴∠ACP＝180°﹣∠BAC＝90°，
∴∠ACP＝∠BAE，
∵AD⊥BE，
∴∠AKB＝90°，
∴∠CAP＝∠ABE＝90°﹣∠BAD，
在△ACP和△BAE中，
∠ACP=∠BAECA=AB∠CAP=∠ABE，
∴△ACP≌△BAE（ASA），
∴PC＝AE＝a，
∵AB∥PC，AB=5a，
∴△ABD∽△PCD，
∴BDCD=ABPC=5aa=5，
∴BD=5CD，
故答案为：BD=5CD．
【点评】此题重点考查正方形的性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/29 17:24:56；用户：微信用户；邮箱：rFmNt8ZNwLm3Gct5X_SbEQdJsXc@；学号：45580799题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
A
C
B
B
C
D
D
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12