2026届河南省开封市高三上学期第一次质量检测数学试卷（学生版）

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这是一份2026届河南省开封市高三上学期第一次质量检测数学试卷（学生版），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则（）
A. B. C. D. 2
3. 已知，则（）
A. B.
C. D.
4. 已知，则“”是“为奇函数”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 设椭圆的左、右焦点分别为，过作平行于轴的直线交于两点，若是等边三角形，则的离心率为（）
A. B. C. D.
6. “方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台．如图所示，在一个盛满米的“方斗”容器中，，若从中取出米后，米的高度下降一半，则剩余的米的质量为（）
A. B. 48kgC. 57kgD.
7. 菱形的边长为，为的中点，为的中点，则（）
A. B. C. D.
8. 在中，角所对的边分别为，若，则（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 以下是不同成对样本数据的散点图，则下列说法正确的是（）
A. 图（1）中成对样本数据呈负相关
B. 图（1）中成对样本数据的线性相关程度比图（2）中强
C. 图（1）中成对样本数据的相关系数大于图（2）中成对样本数据的相关系数
D. 若从图（2）样本中抽取一部分，则这部分的相关系数不变
10. 已知直线与圆，设点，则下列说法正确的是（）
A. 若点在直线上，则直线与圆相切
B. 若点在圆外，则直线与圆相离
C. 若点在圆内，且异于原点，则直线与圆相离
D. 若点在圆上，则直线与轴，轴围成的三角形面积的最小值为1
11. 已知正方体的棱长为1，定义，，若，则的值可以是（）
A. B. C. D. 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知等差数列的前项和为，若，则_____．
13. 写出一个同时具有下列性质①②的函数_____．
①；②当时，．
14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作直线分别交两条渐近线于点，交轴于点为坐标原点．若的面积是的面积的3倍，则_____．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）经过点且斜率为1的直线交于，两点，求．
16. 已知函数，且曲线在点处的切线斜率为．
（1）求实数的值；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值．
17. 如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面直径，是母线的中点，点，在底面圆周上，且，点在线段上，且直线平面．

（1）证明：；
（2）若是正三角形，求直线与平面所成角的正弦值．
18. 袋子中有4个白球，3个黑球，这些球除颜色外全部相同．现将袋子中的球随机地逐个取出，并将第次取出的球放入如图所示的编号为的抽屉里．
（1）求编号为2的抽屉里放的是黑球的概率；
（2）记编号为奇数的抽屉里所放白球的总数为，求的分布列和数学期望；
（3）记“从左往右数，任意前个抽屉中，白球总数均不少于黑球总数”为事件，求事件的概率．
19. 若数列满足：对任意，总存在，使得，则称是融积数列．已知数列是融积数列，且．
（1）求的所有可能取值；
（2）若对任意，，求，的所有可能取值；
（3）在（2）的条件下，记为数列的前项和，证明：对任意，有．1
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