精品解析：北京市西城区北京师范大学附属中学2025-2026学年上学期七年级 期末数学试题（1月）（原卷版+解析版）

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一、选择题：（共16分，每题2分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. ﹣6的相反数是（ ）
A. ﹣6B. ﹣C. 6D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相反数的意义，即可解答．
【详解】解：的相反数是6，
故选：C．
【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
2. 2025年4月23日，由中国科学院空间应用工程与技术中心、云南天文台和上海天文台组成的科研团队，利用云南天文台米望远镜新升级的近红外月球激光测距系统，成功探测到卫星单角锥反射器的激光回波信号，星地距离约350000公里．这是我国首次实现地月距离尺度的卫星激光测距．将350000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可．
【详解】解：350000用科学记数法表示为．
故选：B．
3. 将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到图中所示的立体图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】从运动的观点来看，点动成线，线动成面，面动成体，分别判断各选项是否可得到图中所示的立体图形即可．本题主要考查了平面图形旋转后所得的立体图形，熟练掌握常见平面图形旋转形成的立体图形是解题的关键．
【详解】解：选项A中的平面图形绕轴旋转一周，得到一个圆锥，不符合题意；
选项B中平面图形绕轴旋转一周，得到一个圆锥，不符合题意；
选项C中的平面图形绕轴旋转一周，得到一个球体，不符合题意；
选项D中的平面图形绕轴旋转一周，可以得到图中所示的立体图形，符合题意．
故选：D．
4. 若有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据数轴可得，再根据有理数的四则运算法则逐一判断即可．本题主要考查了有理数与数轴，有理数的四则运算，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键．
【详解】解：由数轴可得，
∴，
∵数轴上未标注与之间的位置关系，
∴无法判断与1的大小关系；
故选：C．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查合并同类项的法则，只有相同字母且相同指数的项才能合并，系数相加减．
【详解】解：A．，故A错误；
B．，故B错误；
C．，故C正确；
D．和不是同类项，不能合并，故D错误．
故选：C．
6. 下列各对相关联的量中，成反比例关系的是（ ）
A. 某班共有40名学生，该班参加艺术社团的人数和参加科技社团的人数
B. 长方形的周长一定，长方形的长和宽
C. 车间加工零件的时间一定，加工的零件总数和单位时间内加工的零件个数
D. 圆柱的体积为，这个圆柱的底面积和高
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了正比例和反比例关系的判断，熟练掌握正比例和反比例的定义，是解题的关键．判断两个量是否成反比例关系，需检查它们的乘积是否为常数．
【详解】解：A．参加艺术社团和科技社团的人数之和不一定固定，且可能重叠，乘积不恒定，不成反比例，故A不符合题意；
B．长方形周长一定，则长和宽之和固定，但乘积不固定，不成反比例，故B不符合题意；
C．加工时间一定，零件总数与单位时间加工个数成正比，不成反比例，故C不符合题意；
D．圆柱体积固定，∵ ，∴ ，成反比例关系，故D符合题意．
故选：D．
7. 整理一批图书，由一个人整理需要完成．现计划安排8人完成此项工作，在工作一段时间后，接到通知需提前完成任务，因此增加了4人和他们一起工作，后这项工作全部完成．假设这些人工作效率相同，设实际完成这项工作用了，则根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找出题目中的等量关系，是解题的关键．根据工作量关系，总工作量等于各部分工作量之和，设实际用时x小时，其中前段8人工作小时，后段增加4人后共12人工作小时，根据工作效率列方程．
【详解】解：设实际完成这项工作用了，根据题意得：
，
故选：A．
8. 在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则M，N两点间的距离可表示为：．如图，点A，B，C分别表示，2，5，点P为数轴上任意一点，若，则下列结论中正确的是（ ）
A. d的最大值为6B. d的最大值为3
C. d的最小值为D. d的最小值为
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查数轴上两点间距离的表示方法，熟练掌握数轴上两点距离的表示方法是解题的关键，若点P表示的数为p，分别表示出的距离，再代入，得到，根据点P的位置分情况讨论p的取值范围，去掉绝对值符号后分析d的取值即可得到答案．
【详解】解：若点P表示的数为p， 点A，B，C分别表示，2，5，
∴，，，
∴，
①当时，则，
∴；
②当时，则，
∴；
∴d随着p的增大而增大，当时，，当时，，
∴，
③当时，则，
∴；
综上所述：，
故选：B．
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 用四舍五入法把精确到，所得到的近似数为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，熟练掌握四舍五入法，是解题的关键．精确到即保留三位小数，需看第四位小数进行四舍五入．
【详解】解：数字精确到时，万分位数字8，且，故千分位进1，得到近似数．
故答案为：．
10. 比较大小：______（填“”“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数大小的比较，熟练掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小，是解题的关键．根据有理数的大小比较法则，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
【详解】解：因为，，且，
所以．
故答案为：．
11. 若单项式是关于x，y的五次单项式，则______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题主要考查了单项式的次数，熟练掌握单项式次数的定义，是解题的关键．根据单项式次数的定义，单项式的次数是所有字母的指数之和，因此由题意可得：．
【详解】解：因为单项式是关于，的五次单项式，所以．
故答案为：5．
12. 若x=2是关于x的一元一次方程3x－2k=2的解，则k=______．
【答案】2
【解析】
【详解】试题分析：因为x=2方程3x－2k=2的解，所以把x=2代入方程得6-2k=2，所以k=2．
考点：一元一次方程的解．
13. 如图，，，，则的度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件中角度的关系，利用角的和差计算即可；本题主要考查了角的和差计算，找到角度之间的关系并正确计算是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴
；
故答案为：．
14. 如图，用棋子摆出一组图形，按照这种方法摆下去，摆第4个图形，需要______个棋子，摆第n个图形需要______个棋子（用含n的式子表示）．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形发现一般规律是解题关键．根据图形得出摆第n个图形需要个棋子，即可求解．
【详解】解：由图形可知，摆第1个图形，需要8个棋子，
摆第2个图形，需要11个棋子，
摆第3个图形，需要14个棋子，
则摆第4个图形，需要个棋子，
观察发现，摆第n个图形需要个棋子，
故答案为：，．
15. 算筹是我国古代广泛应用的一种运算工具，摆放方式分“纵式”摆放和“横式”摆放，图案与数字的对应关系如下表，算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，万位再用纵式……，这样从右到左，纵横相间，以此类推．算筹也可以表示负数，表示方法为：在个位上再斜向摆放一根算筹．
如：数字823所对应的图案为“”，则“”所表示的数是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正负数的意义，结合题干的条件，进行逐个查找，又因为算筹也可以表示负数，表示方法为：在个位上再斜向摆放一根算筹，进行分析，即可作答．
【详解】解：依题意，观察表格的信息，得“”所表示的数是，
故答案为：
16. 如图，该图案由十一个六边形和六个黑点组成．现将，，，，0，1，2，3，4，5，6这十一个数分别填入图中的十一个六边形中，使得每个黑点周围的三个数之和都相等．若，2，6，x已填入图中，位置如图所示，则x表示的数是______；每个黑点周围的三个数之和为______．
【答案】 ① 0 ②. 3
【解析】
【分析】本题主要考查了数字规律探索，等式的性质，一元一次方程的应用，根据图中的三个数，结合题意得出x的值是解题的关键．根据，得出，同理得出，，从而得出；根据2、、6、0都用了一次，其他位置的数都用了2次，设每个点周围3个数之和为y，列出方程，解方程即可．
【详解】解：如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
根据图形可得：2、、6、0都用了一次，其他位置的数都用了2次，
设每个点周围3个数之和为y，则：
，
解得：，
∴每个点周围3个数的和为3．
故答案为：0；3．
三、解答题：（共68分，第17题20分，第18题6分，第19题12分，第20题5分，第21题7分，第22题5分，第23题6分，第24题7分．）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）4 （4）0
【解析】
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数乘法运算律，有理数乘除混合运算，有理数四则混合运算，含乘方的有理数混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．
（1）先写成省略加号的和，再计算；
（2）先确定符号，同时将除法转化为乘法计算；
（3）利用分配律计算；
（4）先计算乘方与绝对值，再计算乘法，最后计算加减．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
．
18. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
【解析】
【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．先根据整式加减运算法则进行化简，然后再把数据代入求值即可．
【详解】解：
，
把，代入得：原式．
19. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤．
（1）先去括号，然后移项，合并同类项，最后未知数系数化为1即可；
（2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可．
【小问1详解】
解：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：；
【小问2详解】
解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：．
20. 如图，已知线段和线段a，．
（1）使用直尺和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：
①在线段上截取；
②在线段的延长线上作线段．
（2）在（1）的条件下，若，，，且点E是线段的中点，则线段的长为______，线段的长为______．
【答案】（1）见解析 （2）8；7
【解析】
【分析】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
（1）根据题目要求作出图形；
（2）分别求出，，再利用线段和差定义求解．
【小问1详解】
解：①如图，即为所作；
②如图，即为所作；
【小问2详解】
解：如图，
∵，，，
∴，
∴，
∵点E是线段的中点，
∴，
∴，
故答案为：8；7．
21. 如图，初一年级组设计了一款三棱柱形状的文创产品包装盒，现在要用正方形印花纸为这些三棱柱盒子做贴面装饰，每个盒子由3个长方形侧面和2个等边三角形底面组成，正方形印花纸有如图所示的两种裁剪方法（裁剪后的边角料不再利用）．
方法一：裁成6个侧面和7个底面；

方法二：裁成8个侧面．
现有25张正方形印花纸，全部用以上两种方法之一进行裁剪．
（1）若其中x张用方法一裁剪，则能得到______个侧面和______个底面；剩余的印花纸用方法二裁剪能得到______个侧面；
（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能装饰多少个盒子？
【答案】（1）；；
（2）56
【解析】
【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，列代数式，读懂题意，列出方程是解题的关键．
（1）由张用方法一裁剪，就有张用方法二裁剪，则可分别表示出侧面个数和底面个数；
（2）由侧面个数和底面个数比为建立方程求出的值，于是可求出侧面的总数即可求解．
【小问1详解】
解：裁剪时张用方法一裁剪，
裁剪时张用方法二裁剪，
用方法一裁剪，能得到个侧面和个底面；用方法二裁剪能得到个侧面；
【小问2详解】
解：由题意得：，
解得：，
盒子的个数为：（个），
答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做56个盒子．
22. 在网页设计中，颜色常用十六进制编码表示，格式为：以#开头，紧跟着六位字符从左到右，每两位一组，分别代表红色、绿色、蓝色的强度，强度值用十六进制数表示．
十六进制是逢十六进一，其表示引用了字母A至F，与十进制数位上数字的对应关系如下表：
十六进制数与十进制数的换算方法为：从右向左，每个数位上的数分别乘，，，，…，再把所得的积相加．
例如，两位的十六进制数，可简单写为，换算为十进制数的过程如下：
．（规定：当时，）
某颜色的十六进制编码为，请回答以下问题：
（1）该颜色代码中红色、绿色、蓝色三个部分对应的十六进制数分别为：红色部分：______，绿色部分：______，蓝色部分：______；
（2）将红色部分对应的十六进制数转换为十进制数，并写出转换过程；
（3）根据某图案设计要求，需将该颜色“变暖”．设计师将红色的十进制数值增加30，绿色的十进制数值增加10，蓝色的十进制数值减少10，得到了较满意的效果，调整后的颜色的十六进制编码为#______．
【答案】（1），，
（2）76 （3）
【解析】
【分析】本题考查了十六进制数与十进制数的转换及含乘方的有理数计算．
（1）根据题中定义即可得出结果；
（2）先找出红色部分的十六进制数，再结合题中十六进制数与十进制数的转换即可得出结果；
（3）分别得出原红色、绿色、蓝色部分的十六进制数转换为十进制数的结果，再根据题意得出现在红色、绿色、蓝色部分的十进制数，利用整除获得余数对照关系表格即可得出结果．
【小问1详解】
解：由题意知，根据格式要求，
红色部分的十六进制数为，绿色部分的十六进制数为，蓝色部分的十六进制数为，
故答案为：，，．
【小问2详解】
解：，
∴红色部分的十进制数为76．
【小问3详解】
解：，
，
由（2）知，红色部分得十进制数为76，
由题意知，增加后的红色部分十进制数为，
增加后的绿色部分十进制数为，
减少后的蓝色部分十进制数为，
∴将红色部分十进制数转为十六进制数为：，此时余数为10，
∴红色部分十六进制编码为：，
将绿色部分十进制数转为十六进制数为：，此时余数为4，
∴绿色部分十六进制编码为：24，
将蓝色部分十进制数转为十六进制数为：，此时余数为5，
∴蓝色部分十六进制编码为：55，
调整后的十六进制编码为．
故答案为：．
23. 在数轴上，点A，B，C分别表示数，10，20，数轴上有一动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒．
（1）点M表示的数是______（用含t的式子表示）；
（2）当M，B两点之间相距5个单位长度时，求t的值；
（3）若点D，E，F分别从点A，B，C的位置出发与点M在数轴上同时开始运动，点D以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点E和点F分别以每秒3个单位长度和每秒4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，在这个运动过程中，已知存在常数n，使得为一个定值，则n的值为______．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查数轴上的动点问题，涉及到用代数式表示点的位置、根据距离列方程以及代数式的化简求值．
（）根据数轴上动点的表示规则，用初始位置加上速度与运动时间的乘积，就能直接写出点在运动秒后表示的数；
（）先依据两点间的距离公式列出关于的绝对值方程，再根据绝对值的几何意义分两种情况去掉绝对值符号，分别解方程后得到的值；
（）首先写出三点运动秒后的数轴表示数，结合点的表达式求出的化简式(利用去掉绝对值)，再将其代入代数式并整理，根据“代数式为定值则含项的系数为0”这一关键条件，解方程求出常数的值．
【小问1详解】
解：∵M从出发，沿数轴正方向运动，每秒走个单位，
∴则秒后移动的距离为，
∴点表示的数：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵点表示，点表示，
∴两点距离为， 即，
分两种情况：
情况一：点在点左侧，即，得：；
情况二：点在点右侧，即，得：；
综上，的值为或；
【小问3详解】
解：∵点从出发，速度个单位/秒向负方向运动，∴秒后表示的数：；
∵点从出发，速度个单位/秒向正方向运动，∴秒后表示的数：；
∵点从出发，速度个单位/秒向正方向运动，∴秒后表示的数：；
点表示的数：；
∴
；
；
分别将代入式子，得：
，
∵式子为定值，即与无关，
∴的系数必须为，
∴，
∴．
故答案为：；
24. 已知．
（1）若，与互余，射线平分，
①如图1，时，若射线在内部，则______；
②时，画出符合题意的图形，并求的度数（用含的式子表示）；
（2）若，与互补，射线平分，射线是的一条三等分线，则的度数为______．
【答案】（1）①；②图见解析，或；
（2）或或或．
【解析】
【分析】本题考查了互余和互补，角平分线的定义，角度的计算，利用分类讨论的思想解决问题是关键．
（1）①由互余可得，再根据角平分线的定义，求得，即可得出的度数；
②分两种情况讨论：在上方和在下方，根据互余和角平分线的定义求解即可；
（2）分四种情况讨论：根据互补和角平分线的定义，以及三等分线求解即可；
【小问1详解】
解：①，与互余，
，
射线平分，
，
；
②如图，当在上方，
，与互余，
，
射线平分，
，
；
如图，当在下方，
，与互余，
，
射线平分，
，
，
综上可知，的度数为或；
【小问2详解】
解：①如图，当在下方，且射线是靠近边的一条三等分线，
，与互补，
，
射线平分，
，
，
，
；
②如图，当在下方，且射线是靠近边的一条三等分线，
同①可得，，，
，
；
③如图，当在上方，且射线是靠近边的一条三等分线，
，与互补，
，
射线平分，
，
，
，
；
④如图，当在上方，且射线是靠近边的一条三等分线，
同③理可得，，
，
；
综上可知，的度数为或或或．
四、选做题（共10分，第25题4分，第26题6分）
25. 对任意两个有理数a，b定义一种新运算：．
（1）计算：______；
（2）有下列四个结论（括号的作用与它在有理数运算中的作用相同）：
①；
②；
③；
④．
其中所有正确结论的序号是______．
【答案】（1）
（2）①④
【解析】
【分析】本题考查了新运算定义，绝对值的化简及整式的化简．
（1）直接代入新运算定义计算；
（2）利用新运算分别计算各式子，逐一验证各结论．
【小问1详解】
解：根据定义，代入得 ，
故答案为：．
【小问2详解】
解：结论①：，，
∵，
∴，
∴，正确；
结论②： ，
，
与，仅当，即时相等，一般情况下不相等，错误；
结论③：，
，
，
，
∴，
仅当，，时，，一般情况下不相等，错误；
结论④： ，
，
，
，
∴，正确，
∴正确结论的序号是①④，
故答案为：①④．
26. 传送门是科幻小说中常见的构想，通过传送门，可以从一个地方瞬间转移到另一个地方．如下图，在数轴的原点O和点A处分别有一扇传送门，其中点A表示的数为360．当一个点移动至其中一扇传送门时，它会被瞬间转移到另一扇传送门，之后继续移动．对于线段上的两点P，Q（点P，Q不与端点O，A重合），想让点P移动到点Q有两种方法：一种是不经过传送门直接移动到点Q；另一种是点P先移动到离它更近的传送门处，瞬间转移至另一扇传送门后，再移动到点Q．我们将这两种移动方法中移动距离的最小值称为的“传送距离”．
已知点B，C，D在数轴上对应的数分别为80，200，300．
（1）的“传送距离”为______，的“传送距离”为______；
（2）线段上任意两点（不与端点O，A重合）的“传送距离”的最大值为______；
（3）点R是线段上任意一点（点R不与端点O，A重合），将，和的“传送距离”分别记为，，，则的最大值为______，取得最大值时点R所表示的数为______．
【答案】（1）120；140
（2）180 （3）320；20
【解析】
【分析】（1）根据传送距离进行求解即可；
（2）设线段上任意两点表示的数分别为x，y且，根据当时，线段上任意两点的“传送距离”最大，求出最大值即可；
（3）设点R表示的数为r，分情况讨论：当时，当时，当时，当时，当时，当时，当时，分别求出的范围，然后得出答案即可．
【小问1详解】
解：∵，，
又∵，
∴的“传送距离”为120；
∵，，
又∵，
∴的“传送距离”为140；
【小问2详解】
解：设线段上任意两点表示数分别为x，y且，则两个点间的距离为，
通过传送门需要移动的距离为：，
∴两个点间的距离与通过传送门需要移动的距离之和为：
，
∴两个点间的距离与通过传送门需要移动的距离之和为定值，
∴当时，线段上任意两点的“传送距离”最大，
∵当时，，
∴线段上任意两点的“传送距离”的最大值为．
【小问3详解】
解：设点R表示的数为r，
当时，，
，
，
∴，
∵，
∴；
当时，，
，
，
∴，
∵，
∴；
当时，，
，
，
∴，
∵，
∴；
当时，，
，
，
∴，
∵，
∴；
当时，，
，
，
∴，
∵，
∴；
当时，，
，
，
∴，
∵，
∴；
当时，，
，
，
∴，
∵，
∴；
综上，的最大值为320，此时．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间距离，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握新定义，数轴上两点间距离公式，注意进行分类讨论．十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
十六进制
0
1
2
3
4
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