云南师范大学附属中学2026届高三上学期高考适应性月考（六）数学试卷含解析（word版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.为了解中小学生手机使用情况，某地区计划从 8000 名小学生、 8000 名初中生，4000 名高中生中采用分层抽样的方式一共抽取 100 名学生进行调查, 则应选取的高中生人数为
A. 10 人 B. 20 人 C. 33 人 D. 40 人
【答案】B
【解析】高中生比例为 ,故应抽取的高中生人数为 人.
2.已知 ,则
A. B. 2-i C. D. 3-i
【答案】D
【解析】.
3.已知集合 ，集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 或 .
4.已知 ,若 ,则
A. 3 B. C. D.
【答案】C
【解析】 ,即 ,解得 或 ,则 或 ,则 或 ,故 .
5.已知等比数列 是递增数列,前 项和为 ,且满足 成等差数列,则
A. 81 B. 5 C. 121D. 5 或 121
【答案】C
【解析】由题意知 ,即 ,解得 或 ,又因为 是递增数列, 故 舍去,则 .
6.如图所示，某学校进行“大脚板” 趣味运动，需要八名同学一起团结协作，统一步调才能前进. 甲同学作为队长需要喊口令，故只能站在最中间的两个位置之一， 方便前后的同学都清晰地听到口令. 乙、丙两位同学经验较为丰富所以站在最前或最后面, 则这八位同学一共有多少种站位方式
A. 240 B. 480C. 720 D. 960
【答案】B
【解析】根据题意,站位方式一共有 .
7.已知一个底面半径为 ,高为 2 的圆锥容器 (容器壁厚度忽略不计). 将一个正四棱柱置于此圆锥内部, 且满足正四棱柱下底面与圆锥底面贴合, 则正四棱柱体积最大值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】正四棱柱要想足够大, 其上底面四个点一定与圆锥面相接. 如图 1 所示,作圆锥的轴截面 ,则 为正四棱柱竖直的对角面.
设正四棱柱底面边长为 ,高为 ,则由相似知 ,即 ,解得 ,设正四棱柱体积为 ,则 ,即 求 在 上的最大值. . ,易知 . 在 . 上单调递增, 上单调递减,故 ,故选 A. 为 的左顶点, ,又 ,又 ,故 ,将 代程得 ,化简得 ，故离心率 .
8.已知椭圆 的两个焦点为 ,若 为 上的两个点,且满足 ,则 的离心率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，不妨设 ，则 ， ，由椭圆定义知 ，在 中，由勾股定理知 ,解得 ,故知如图中情况 即为 的左顶点, ,又 ,又 ,故 ,将 代程得 ,化简得 ，故离心率 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列方程所表示的圆能同时与 轴和直线 相切的有
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】 的倾斜角为 ,若圆与 轴和直线 同时相切,则圆心在所在直线的倾斜角必为 ,即圆心一定在直线 上,不妨设圆心为 ,则半径为 ,故任意形如 均可.
10.已知 是定义在 上的奇函数,且 为偶函数,以下说法正确的是
A. 的图象关于 对称
B. 为周期函数
C. 若 在 上单调递减，则 在 上单调递减
D. 若 时, ,则
【答案】ABD
【解析】由题意知, ,故知 的图象关于 对称, 正确; 又 ,故 ,故知 为周期函数,8 是它的周期, B 正确; 对于 选项, 在 上单调递减,因为其为奇函数,故 在 上亦单调递减,又 的图象关于 轴对称,故 在 上单调递增, C 错误; 对于 选项，易知 的图象关于 中心对称，故 又 故 又 8 是 的 周 期 ,故 ,故 D 正确.
11.在 中, 所对的边分别为 ,已知 ,则
A. 若 ,则 外接圆半径为
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 面积的最大值为
【答案】ACD
【解析】A 选项,若 ,由正弦定理知 ,则 , 代入 ，解得 ，又 是以 为直角的直角三角形，故外接圆半径为 ,故 正确; 选项,若 ,则 , ,当且仅当 时取等,故 ,故 错误; C 选项,若 ,则 ,由于 是三角形的三条边,故必有 ,即 ,代入 得 , 解得 ,故 正确; 选项,设 为 边上的中线,由中线长公式 知
,当且仅当 (即 ) 和 同时成立时取等,此时 即可,故 面积的最大值为 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.双曲线 的渐近线方程为________.
【答案】
【解析】焦点在 轴上的双曲线,其渐近线方程为 ,故 的渐近线方程为 .
13.已知 ,则 _______.
【答案】
【解析】 .
14.已知函数 ,又 ,若 有 2 个零点,则 的取值范围为________.
【答案】
【解析】分段讨论
(1)当 时， ， ，此时无零点；
(2)当 时， ， ，
(i) 若 ,则 ,故 ,此时 不是 的零点,
(ii) 若 ,则 ,故 ,此时 为 的零点;
(3)当 时， ， 的零点与 的零点一致.
而 的零点个数等价于方程 的根的个数.
令 ,则 ,令 ,得 ,
故知 在 上单调递增, 上单调递减.
当 时, ,
故知当 时, 在 上有两个零点,即 在 上有两个零点, 而其他地方无零点,故 共有两个零点.
当 时, 在 上有 1 个零点,故 在 上有 1 个零点,且 亦为 的零点,故 共有两个零点.
综上, 的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知函数 的最小正周期为 .
(1)求 的解析式;
(2)求 在 上的值域 .
【解析】(1) 由题意知 ,故 .
解得 或 ,
又 ,故 ,
故 .
(2) ,
令 ,又 在 上单调递增,在 上单调递减, 故 ,则 ,
即 在 上的值域为 .
16.如图所示,在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ，已知 .
(1)证明:平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成角的余弦值.
【解析】(1)证明:如图，取 中点 ， 中点 ，连接 ， ， ， ，易知 ， 故 ,即 为正三角形,故 .
,
故 ,且 .
又 ,故 ,故 .
又 平面 平面 且 , 故 平面 .
又 平面 ,故平面 平面 .
(2)解:由(1)知， ， ， 两两垂直，故可以 为原点，如图建立空间直角坐标系,
故 ,
则 ,
设平面 的一个法向量为 ,故有
,即 ,令 ,
解得 ,则 .
同理,可得平面 的一个法向量为 .
设平面 与平面 所成角为 ,则 .
17.云南省城市足球联赛，简称 “滇超联赛”，覆盖全省 16 个州(市)，于 2025 年 11 月 29 日开赛. 赛事的第一阶段又称为积分赛阶段，16 支球队进行 15 轮比赛，即每支球队与其他 15 支球队各对阵一场, 第一阶段积分前八的球队方能进入第二阶段. 其积分规则:常规时间 90 分钟内获胜的球队积 3 分，负者积 0 分；若常规时间战平，点球大战胜者积 2 分，负者积 0 分. 假设某个球队甲，对其他所有球队常规时间取胜的概率均为 ,战平的概率均为 ,若进入点球大战则取胜的概率均为 ,且每场比赛相互独立.
(1)求甲球队在接下来的三场比赛中恰有两场获胜的概率;
(2)设 为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，求 的分布列与期望.
【解析】
(1) 设甲取胜为事件 ,则 ,则输球的概率为 . 设甲球队在接下来三场比赛中赢下的场次数为 ,则 ,
故 .
(2)由题意知 可能的取值为0,2,3,4,5,6,
设在一场比赛中甲球队取得 0 分,2 分,3 分的概率分别为 ,
则知 ,
故有 ;
故分布列为
则 .
18.已知点 是抛物线 上一点，点 .
(1)求 的坐标和抛物线 的方程；
(2)连接 交 于另一点 ，令 为 关于 轴的对称点，连接 交 于另一点 ,令 为 关于 轴的对称点,如此不断循环,即连接 交 于另一点 , 令 为 关于 轴的对称点,得到点列 和 ,设 .
(i) 证明: 数列 为等差数列;
(ii) 记四边形 的面积为 ,求 并证明: .
【解析】(1)解: ，解得 或 (舍去)，故 ；
将 代入抛物线方程,即 ,解得 ,
故 .
(2)证明:(i)由题意知 ，则 ，故 ， 设直线 的方程为 ,
联立 ,得 ,
故 ,故 ,
故 ,又 ,
故 是以 为首项, 为公差的等差数列;
(ii) 由 (1) 知 ,故 ,
,
化简得 .
当 时, ,故
故
.
19.已知函数 .
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)当 时，证明 在 上有唯一零点；
(3)对 恒成立，求 的取值范围.
【解析】(1) 解: ,
切线方程为: ,即 .
(2)证明:当 ，
故知当 时, 单调递减,且此时 ;
当 时, 单调递增,注意到 ,
故知当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增,
故 ,故 恒成立,即 在 上单调递增,
,故知 ,使得 ,
综上, 在 上有唯一零点 .
(3)解:由题意知 ，即 ，解得 ，即 为题中不等式恒成立的必要条件.
(注: 必要性探路,令 ,可得 是方程组的一组解,
故猜测 为 的最小值点, 为临界值.)
下证明 亦为充分条件.
当 时,欲证 ,即证 ,
即证 ,即证 .
令 ,设 ,即证 .
则对于二次函数 ,其对称轴为 .
令 ,
则 .
令 ,则 ,
故知 在 上单调递增,在 上单调递减,故 ,
故 ,即 ,故知 在 上单调递减,
故 .
即对于二次函数 ,其对称轴 ,又 ,
故二次函数 在 上单调递增,
故 .
令 ,
则 .
易证 ,
故 .
对于 ,故知 ,
故 ,即 在 上单调递增,注意到 ,
故知当 时, ,即 单调递减;
当 时, ,即 单调递增,
故 ,故知 ,得证.
即当 时, 恒成立,故 亦为充分条件.
综上, 的取值范围为 .0
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