江苏省南通市海安市紫石中学2025-2026学年上学期第二次学研九年级数学试卷-自定义类型

这是一份江苏省南通市海安市紫石中学2025-2026学年上学期第二次学研九年级数学试卷-自定义类型，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.反比例函数y=的图象分别位于( )
A. 第一、第三象限B. 第二、第四象限C. 第一、第四象限D. 第二、第三象限
2.将抛物线向右平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
3.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，k的取值范围是（ ）．
A. B. 且C. D. 且
4.如图，点，在反比函数的图象上，A，B的纵坐标分别是3和6，连接，，则的面积是（ ）
A. 1.5B. 3C. 9D. 13
5.不透明的袋子中装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则摸出红球的可能性大小为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7.在5×10的网格中，点A，B，C均是网格线的交点，则cs∠BAC＝（ ）
A. B. C. 2D.
8.如图，建筑物和旗杆的水平距离为6 m，在建筑物的顶端测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部的俯角为，则旗杆的高度为（ ）
A. mB. mC. mD. m
9.如图，在半圆O中，AB为直径，点C，D为半圆O的三等分点，连接AC，BD，相交于点E，连接OD交AC于点F．若OD＝2，则AE＝（）
A. B. C. 1D.
10.如图,M为RtABC斜边AB上的中点,等腰MBD的底边BD与AC交于点P,若A=,则的最小值为（）
A. 1B. C. 2D. 3
二、填空题：本题共6小题，共21分。
11.计算：= .
12.如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，则圆锥的母线l为 ．
13.某校举办书法比赛，获得一等奖的有甲、乙、丙、丁四位同学，其中甲、乙来自九年级（1）班，丙、丁来自九年级（2）班，现从中推荐两名同学代表学校去参加县级比赛.若随机推荐，则两名同学均来自相同班级的概率是 .
14.如图,四边形ABCD是O的内接四边形,BCD=,O的半径为6,则BD的长为 .
​​​​​​​
15.若为二次函数的图象上的三点，则，的大小关系是 ．（用“”号连接）
16.如图，正方形的顶点是坐标原点，分别在轴的正半轴上，反比例函数的图象与边分别交于点，边上的点满足．
(1) 若，则线段的长为 ；
(2) 若的面积为，则实数的值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共4分。
17.用适当的方法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共8小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题5分)
经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小都相同．有两辆汽车经过这个十字路口，观察这两辆车经过这个十字路口的情况．
(1) 列举出所有可能的情况；
(2) 求出至少有一辆车向左转的概率．
19.(本小题5分)
如图，在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在BC上，AD交PN于点E.设BC=36，AD=12，PQ：PN=5：9，求矩形PQMN的面积.
20.(本小题6分)
已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且这两根分别是四边形相邻两边，的长．
(1) 若四边形为菱形，求的值；
(2) 若四边形为矩形，且该矩形对角线的长为，求的值．
21.(本小题6分)
如图，是⊙O的弦，半径，垂足为D，弦与交于点F，连接，，．
(1) 求证：；
(2) 若，，，求的长．
22.(本小题6分)
如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与坐标轴分别交于两点．
(1) 求一次函数的表达式；
(2) 结合图象，直接写出时的取值范围；
(3) 求的面积．
23.(本小题6分)
已知抛物线．
(1) 该抛物线的对称轴为 ；
(2) 若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
(3) 设点，在该抛物线上，若，求m的取值范围．
24.(本小题6分)
在中，，，点E在内部，以为斜边作等腰直角三角形，使得点D，E在AC的异侧，连接交于点M，点G在上，且满足．
(1) 如图1，求证：；
(2) 当点E是的中点时，连接，如图2，求的值；
(3) 连接，延长交于点F，如图3，求证：点F是的中点．
25.(本小题5分)
【问题情境】
用两个直角边分别为a，b的4个全等的直角三角形可以拼成一个正方形．若可以拼成如图1所示的正方形，从而得到即当时，中间小正方形收缩为1个点，此时正方形的面积等于4个直角三角形面积的和．即于是我们可以得到结论a，b为正数，总有当且仅当时，代数式取得最小值2ab．另外，我们也可以通过代数式运算得到类似上面的结论：∴对于任意实数a，b总有且当时，代数式取最小值2ab，同理，对于正数a，b，总有当且仅当时等号成立．
【类比应用】
利用上面所得到的结论完成填空：
(1) 当时，代数式的最小值为 ．
(2) 当时，代数式有最小值为____ ___．
(3) 如图2，已知P是反比例函数图象上任意一动点，，试求的最小面积．
(4) 【拓展应用】
某大学学生会在1月4日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入720元，二是参加活动的同学午餐费每人12元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的0．2倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是多少元？（人均投入=支出总费用参加活动的同学人数）
(5) 若正数a，b满足则的最小值为 ．
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】15
13.【答案】
14.【答案】6​​​​​​​
15.【答案】
16.【答案】【小题1】
1
【小题2】
4

17.【答案】【小题1】
解：，
移项，得：，
括号内变为统一形式，得：，
提取公因式，得：，
解得：，；
【小题2】
解：，
此方程中，，，
∴判别式，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
根据求根公式为，代入系数得：
，
∴方程的两个根为，．

18.【答案】【小题1】
解：两辆车分别记为车1，车2，可以用表格列举出所有可能出现的情况．​​​​​​​
【小题2】
解：由（1）可知，所有可能出现的情况共有9种，它们出现的可能性相等，至少有一辆车向左转的情况有5种，
所以（至少有一辆车向左转）．

19.【答案】解：∵四边形PQMN为矩形，BC=36，AD=12，PQ：PN=5：9，
∴设PQ=5x,则PN=9x,
∴ED=PQ=5x,AE=AD-DE=12-5x,
又∵PN∥BC，
∵△APN∽△ABC，
∴=，即=，
解得x=，
∴PQ=，PN=，
∴S矩形PQMN=PQ•PN=×=．
20.【答案】【小题1】
解：若四边形为菱形，则，
∴关于的一元二次方程有两个相等实数根，
，
即，
解得．
答：的值为．
【小题2】
解：由题意可知，，的长为方程的两个实数根，
，，
．
当四边形为矩形时，则有，
即，
解得，或．
，且，,
且，
．
答：的值为．

21.【答案】【小题1】
证明：∵ 是的半径
∴， （垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）
∴（同弧或等弧所对的圆周角相等）
【小题2】
解：∵ 又∵
∴（两角分别相等的两个三角形相似）
∴（相似三角形对应边成比例）
∵
∴
在中
∴（勾股定理）
即
∴.

22.【答案】【小题1】
解：把代入反比例函数中，得，
解得，
∴，
把代入反比例函数中，得，
∴，
把和代入一次函数得，
，
解得，
∴一次函数的表达式为；
【小题2】
解：由函数图象可知，当或时，一次函数的图象位于反比例函数的图象下方，
∴时的取值范围为或；
【小题3】
解：把代入，得，
∴，
∴，
∴，
∴．

23.【答案】【小题1】
直线
【小题2】
，
∴抛物线的顶点坐标是，
若抛物线的顶点在x轴上，则，
解得：，
∴抛物线的解析式为或；
【小题3】
当时，抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大，
∵，在该抛物线上，且，点在抛物线上，
∴或；
当时，抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小，
∵，在该抛物线上，且，点在抛物线上，
∴；
综上，时，或；时，．

24.【答案】【小题1】
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小题2】
设，
在中，，
∴．
∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，即，
∴
过点G作交BD于点N，
∵，
∴，
∴，
∴在中，
．
【小题3】
法一：延长至点H，使得，连接，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
又，
∴，
即点F是EC的中点．
法二：过点B作，延长交于点N，连接，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴．
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即点F是EC的中点．

25.【答案】【小题1】
4
【小题2】
【小题3】
如图：设，过A作轴于 B，过P作轴于Q，
∵
∴，，，
∴
．
【小题4】
设共有x人参加活动，
∴人均投入（元），
当取等，即时，人均投入费用最低，最低费用是36元．
【小题5】