专题14 期末真题易错题百练通关（期末复习专题练习）-2025-2026学年八年级上学期数学（人教版）试题（含答案）

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题型一 最短距离问题（共5小题）
1．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，已知圆柱的底面圆的直径为，圆柱的高为，在圆柱表面的高上有一点，且．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（ ）（取3）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理，首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长为，求出的值；再在中，根据勾股定理求出的长，即为所求．
【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示，
∵圆柱的底面圆的直径为，
∴圆柱的底面周长为，
∴．
∵，．
∴，
在中，，
即，
∴蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短距离是．
故选：B．
2．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图，已知长方体的长为、宽为、高为，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从点爬到点，最短的路程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：根据题意，如图所示，最短路径有以下三种情况：
（1）沿，，，剪开，得图
；
（2）沿，，，，，剪开，得图
；
（3）沿，，，，，剪开，得图
；
综上所述，最短路径应为（1）所示，所以，即．
故选：B．
3．（24-25八年级下·广东韶关·期末）如图，在桌面上放置一个棱长为的正方体，点B为一条棱上的点，且，蚂蚁在正方体表面爬行，从顶点A爬行到点B的最短路程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查平面展开最短路径问题，勾股定理，关键是知道两点之间线段最短，找到起点终点是解题的关键．
正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁爬行的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出最短路径长．
【详解】解：根据题意如图，
∵正方体棱长为，
∴，
在中中，
∴它运动的最短路程．
故选：B．
4．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图①是一款竹木材质的二宫格托盘，从内部测得每个格子的底面均是边长为的正方形，且深为，两个格子之间的隔断厚．图②是该托盘的俯视图（即从上面看到的形状图），若一只蚂蚁从该托盘内部底面的顶点处，经托盘隔断爬行到内部底面的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了由三视图判断几何体以及勾股定理．根据长方体的展开图以及勾股定理解答即可．
【详解】解：由题意可知，蚂蚁爬行的最短距离为：
．
故选：D．
5．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，一个底面为正六边形的直六棱柱，在六棱柱的侧面上，从顶点到顶点沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理与最短路径、几何体的展开图，利用六棱柱的侧面展开图找到最短路径是解题的关键．将六棱柱侧面展开后，再运用勾股定理即可解答．
【详解】解：如图，六棱柱侧面展开后，这圈金属丝的长度最短为的长，

由勾股定理得，，
这圈金属丝的长度至少为．
故选：A．
题型二 一次函数图象共存问题（共5小题）
6．（25-26八年级上·广东佛山·期末）函数与函数（，）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质．
根据一次函数的图象和性质判断即可．
【详解】解：因为，
所以图象中必定有一条直线是经过一、三象限，可以排除B选项，
选项A、C、D中根据经过一、三象限的直线可判断即，可以排除选项A、C．
故选：D．
7．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在同一直角坐标系中，直线与直线可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象性质，解题的关键是根据的正负分类讨论两条直线的象限分布．
分和两种情况，分别分析直线和的象限分布，再与选项逐一比对，得出正确答案．
【详解】解：当时，直线经过第一、三象限；
当时，直线经过第二、四象限．
直线的斜率为，因此直线一定从左到右上升（经过第一、三象限）；截距为：
当时，直线与轴的交点在正半轴（经过第一、二、三象限）；
当时，直线与轴的交点在负半轴（经过第一、三、四象限）．
情况1：
直线经过第一、三象限；直线经过第一、二、三象限．
选项A中，的截距为负（与矛盾），排除；
选项C中，经过第一、三象限，经过第一、二、三象限，符合条件．
情况2：
直线经过第二、四象限；直线经过第一、三、四象限．
选项B中，的斜率为负（与斜率矛盾），排除；
选项D中，的斜率为负（与斜率矛盾），排除．
故选C
8．（23-24八年级上·山东青岛·期末）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数图象与性质．根据题中选项的图，假定其中一条直线的解析式为，由一次函数图象与性质得到符号，再判断另一条直线是否满足即可得到答案．
【详解】解：A、如图所示：
假设①的表达式为，则，
，
对于一次函数，图象下降、且与轴负半轴相交，图②能表示一次函数图象，该选项符合题意；
B、如图所示：
假设①的表达式为，则，
，
对于一次函数，图象上升、且与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意；
C、如图所示：
假设①的表达式为，则，
，
对于一次函数，图象与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意；
D、如图所示：
假设①的表达式为，则，
，
对于一次函数，图象与轴正半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意；
故选：A．
9．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列图形中，表示一次函数与正比例函数(k，b为常数，且)的图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了一次函数图象与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得k、b的符号，再由的图象可得的符号，比较可得答案．
【详解】解：A、由一次函数图象可知，，，由正比例函数的图象可知，故此选项正确；
、由一次函数图象可知，，即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误；；
、由一次函数图象可知，，即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误
、由一次函数图象可知，，即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误．
故选：A．
10．（25-26八年级上·全国·期末）一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据一次函数的性质可依次作判断.
【详解】解：A、假设经过一，二，四象限，所以
经过一，三，四象限，所以符合题意；
B、假设经过一，三，四象限，所以
经过一，三，四象限，所以两图像a，b不一致,不符合题意；
C、假设经过一，二，三象限，所以
经过一，二，四象限，所以两图像不一致，不符合题意；
D、假设经过一，三，四象限，所以
经过二，三，四象限，所以两图像a不一致，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图像性质，解决问题的关键是掌握一次函数的性质，根据的符号判断图像所经过的象限.
题型三 一次函数中求字母参数问题（共5小题）
11．（24-25八年级下·山东滨州·期末）在一次函数中，的值随值的增大而增大，且，则点在第 象限．
【答案】二
【分析】本题考查了一次函数的性质，有理数乘法及各象限点的坐标符号特征，由一次函数的性质可得，进而根据有理数的乘法法则得，再根据各象限点的坐标符号特征即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵在一次函数中，的值随值的增大而增大，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴点在第二象限，
故答案为：二．
12．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知函数（为常数），当时，的最大值为，则的值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查一次函数的增减性与最值，根据的正负，判断随的增减规律是解题关键．
根据一次函数的性质，分和两种情况讨论最大值的位置．
【详解】解：当时，随的增大而增大，在处取得最大值，
代入得，解得；
当时，随的增大而减小，在处取得最大值，
代入得，解得．
故答案为：或．
13．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数．
（1）当m 时，y随x的增大而减小；
（2）当m ，n 时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方；
（3）当m ，n 时，函数图象过原点．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数（，，为常数）的图象与性质．它的图象为一条直线，当，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随的增大而减小；当，图象与轴的交点在轴的上方；当，图象过坐标原点；当，图象与轴的交点在轴的下方．
（1）当，随的增大而减小；
（2）当，且，函数的图象与轴的交点在轴的下方；
（3）当，且，函数图象经过原点．
【详解】解：（1）当，即，随的增大而减小，
所以当，为任何实数时，随的增大而减小；
故答案为：
（2）当，且时，一次函数的图象与轴的交点在轴的下方，
解不等式得，，且，
所以当，且时，函数的图象与轴的交点在轴的下方；
故答案为：，，
（3）当，且，一次函数图象经过原点，
解不等式、方程得，，且，
所以当，且时，函数图象经过原点．
故答案为：，.
14．（24-25八年级下·广东广州·期末）一次函数，当时，函数的取值范围是，那么代数式的值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数中所得性质是解决本题的关键．
先分析一次函数随的增大而减小，再将点带到一次函数解析式中可得d与m的关系，c与n的关系，代入即可求解．
【详解】解：一次函数中，
随的增大而减小，
当时，函数的取值范围是，
∴当时，；当时，，
，在一次函数图象上，
①，②，
，
．
故答案为：．
15．（23-24八年级下·四川成都·期末）我们规定：若直线l的表达式中满足，且m，n为整数，则直线l称为“和顺直线”；若“和顺直线”l上存在点，满足，x，y为整数，则点P称为“顺遂点”，则：
（1）直线上 “顺遂点”填“存在”或“不存在”
（2）所有“顺遂点”P的坐标为 ．
【答案】 不存在 或
【分析】（1）根据“顺遂点”的定义，得出关于x的方程，再进行计算即可．
（2）根据题意，得出关于x的方程，再结合m及x为整数进行判断即可．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：（1）由题知，
因为直线满足，
所以此直线为“和顺直线”．
若直线上存在“顺遂点”，
则，
解得，
因为不是整数，
所以直线上不存在“顺遂点”．
故答案为：不存在．
因为直线是“和顺直线”，
所以
因为是“顺遂点”，
所以，
则，
所以
又因为m，x为正整数，
所以或，
当时，，则所有“顺遂点”P的坐标为
当时，，则所有“顺遂点”P的坐标为
故答案为：或
题型四 二元一次方程组含参数问题（共5小题）
16．（24-25七年级下·河南新乡·期末）若方程组的解互为相反数，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．根据方程组的解互为相反数，得到，代入方程组计算即可求出m的值．
【详解】解：根据题意得：，即，
代入方程组得：，
整理得，
可得，
解得：．
故答案为：．
17．（24-25七年级下·福建福州·期末）如果关于的二元一次方程组的解满足，那么的值是 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，把方程组中两个方程相加得到，再由题意可得，则，解方程即可得到答案．
【详解】解：依题意，
得：，
∵关于的二元一次方程组的解满足，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
18．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）已知关于的方程组，若，则的值为 ．
【答案】5
【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先得：，再根据得到关于k的方程，进而求出k的值即可．
【详解】解：，
得：，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：5．
19．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）已知关于的方程组，若其解互为相反数，则的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查根据方程组的解的情况求参数，两个方程相减，结合互为相反数的两数之和为0，列出关于的一元一次方程，进行求解即可．
【详解】解：，
，得：，
∵互为相反数，
∴，
∴；
故答案为：2．
20．（24-25七年级下·福建福州·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，则下列四个结论：①当时，；②当时，则；③不论k取什么实数，的值始终不变；④不论k取什么实数，x、y均为正整数的解有一对．其中正确的是 ．（填写序号）
【答案】②③/③②
【分析】本题主要考查解二元一次方程组．直接利用二元一次一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案．
【详解】解：①当时，原方程组可整理得：，
解得：，
把代入得：
，即①错误；
②由方程组，得：，
∵，
∴，
解得，
即当时，则，
即②正确，
③解方程组，得：
，
∴，
∴不论k取什么实数，的值始终不变，
故③正确；
④由③知，不论k取什么实数，，
此时x、y均为正整数的解没有，
故④错误，
故答案为：②③．
题型五 平方根与立方根综合问题（共5小题）
21．（24-25七年级下·吉林·期末）是的立方根，是14的算术平方根，求的平方根．
【答案】
【分析】本题考查了立方根、算术平方根和平方根的概念，掌握这些概念是解题的关键．根据是的立方根，是14的算术平方根，求出x、的值，代入求值即可得结果．
【详解】解：是的立方根，是14的算术平方根，
，
的平方根为．
22．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根．
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根、立方根和平方根的定义，求出，的值是解题关键；先根据算术平方根和立方根的根指数定义列出方程组，求解得到的值，再代入的表达式求出，最后计算的立方根．
【详解】解：由题意知：，
解得：，，
∴
∴，，
∴
∴的立方根等于．
23．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）已知的算术平方根为，的立方根为，求的平方根．
【答案】
【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根．根据算术平方根、平方根、立方根的定义进行计算即可．
【详解】解：∵的算术平方根为，
∴，则，
∵，而的立方根为，
∴，即，
∴，
∴的平方根是．
24．（24-25七年级下·江西赣州·期末）已知的平方根是的立方根是2．
(1)求的值；
(2)求的算术平方根．
【答案】(1)，
(2)3
【分析】本题考查了平方根和算术平方根，代数式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据平方根和算术平方根的定义求解即可；
（2）先求出的值，然后根据算术平方根的定义求解．
【详解】（1）解：的平方根是，
解得：，
的立方根是2，
．
解得：；
（2）解：把代入中得：，
的算术平方根为3．
25．（23-24七年级上·山东烟台·期末）已知的立方根是，的算术平方根是2，c是的相反数．
(1)求a，b，c的值；
(2)求的算术平方根．
【答案】(1)，，
(2)3
【分析】本题考查了算术平方根和立方根的综合应用，熟记相关结论即可．
（1）根据，的相反数是即可求解；
（2）计算出即可求解；
【详解】（1）解：∵的立方根是，
∴，
解得：；
∵的算术平方根是2，
∴，
即，
∴．
∵c是的相反数，
∴
故：，，．
（2）解：∵，，，
∴，
∴的算术平方根为3
题型六 二次根式的规律探究问题（共5小题）
26．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期末）观察下列运算
由，得；
由，得；
由，得；
由，得；
(1)通过观察，请填空：_________________________．
(2)利用你发现的规律，计算：．
【答案】(1)（为正整数）；
(2)
【分析】本题考查了分母有理化，正确得出规律是解此题的关键．
（1）根据题意得出规律即可得解；
（2）根据（1）中的规律进行计算即可得解．
【详解】（1）解：由题意可得：（为正整数）；
（2）解：由（1）可得（为正整数），
∴原式
．
27．（24-25八年级下·河南信阳·期末）数学课上，孙老师在黑板上给出了如下等式．
，得；
，得；
利用你发现的规律：
(1)化简：______；
(2)______填>，
(3)
【分析】（1）分母有理化即可；
（2）先分母有理化，再比较大小；
（3）先分母有理化，再算加减．
本题考查二次根式混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
【详解】（1）解：；
故答案为：；
（2），
，
，
；
故答案为：>；
（3）
28．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）观察下列等式，解答下列问题：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
……
(1)请直接写出第5个等式：______（不用化简）；
(2)根据上述规律，请用含n的式子表示第n个等式（为正整数），并证明等式成立；
(3)利用（2）的结论计算：．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、规律型数字的变化美，解决本题的关键是根据示例发现规律写出式子．
（1）根据示例，可得第5个等式：不用化简；
（2）；
（3）利用（2）的结论，将数据代入计算即可．
【详解】（1）解：第5个等式是：不用化简，
故答案为：；
（2）第n个等式为正整数为：，
证明：因为n为正整数，
所以有：
；
（3）
．
29．（24-25八年级下·山东威海·期末）【观察·发现】
填空：
①； ②； ③
④__________； ⑤__________； ⑥__________；
……
【归纳·猜想】
如果为正整数，按照此规律，第个式子可以表示为__________；
【应用·运算】
①用发现的规律填空，并通过计算验证：__________；
②直接写出结果：若，则__________．
【答案】
【观察·发现】④；⑤；⑥
【归纳·猜想】
【应用·运算】①，验证见解析；②
【分析】本题考查了实数的规律题．
[观察·发现]由题干中的已知等式即可得出答案；
[归纳•猜想]由已知等式总结规律即可；
[应用•运算]①由所得规律即可求得答案，然后将原式计算并验证即可；
②由所得规律求得m，n的值后代入原式计算即可．
【详解】解：[观察·发现]由已知等式可得④，⑤，⑥，
故答案为：④；⑤；⑥；
[归纳·猜想]如果n为正整数，按照此规律，第n个式子可以表示为，
故答案为：；
[应用·运算]①由所得规律可得，验证如下：
，
故答案为：；
②若，
则，，
解得：，，
则，
故答案为：．
30．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：______；
(2)写出第个等式：______；（用含的等式表示）
(3)根据上面的结论计算：
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则，得出规律是解此题的关键．
（1）结合第1至第4个等式，即可得出答案；
（2）根据题目中所给式子呈现的规律，即可得出答案；
（3）根据（2）中得出的规律，计算即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意，可得；
故答案为：；
（2）根据题意，可得第个等式：；
故答案为：；
（3）原式
．
题型七 二元一次方程组的特殊解法（共5小题）
31．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）运算能力 先阅读材料，再解方程组．
解方程组：
解：将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得．
把代入①，得，
所以原方程组的解为
这种解法称为“整体代入法”，请用这种方法解方程组：
【答案】
【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
根据阅读材料中的方法求出方程组的解即可．
【详解】解：由①，得．③
把③代入②，得，解得．
把代入③，得，
所以原方程组的解为
32．（24-25七年级下·吉林长春·期末）小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单：
得：，即．
再得：，
最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法．
(1)方程组的解为___________；
(2)利用轮换对称解法解方程组．
【答案】(1)
(2)
【分析】题目主要考查加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握求解方法是解题关键．
（1）根据例题过程，利用加减消元法求解即可；
（2）仿照例题方法求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
得：，
解得：，
将代入③得：，
∴方程组的解为，
故答案为：；
（2），
，得，即③，
，得④，
，得，解得，
把代入③，得，
．
33．（24-25七年级下·江西上饶·期末）【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常也会采用一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，比如，解方程组，首先将方程②变形得，即，其次把方程①代入③得：，即，最后把代入方程①，得，所以方程组的解为．
【解决问题】
(1)请用“整体代入消元”的方法解方程组；
(2)已知x、y满足方程组，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握“整体代入消元”法是解此题的关键．
（1）利用“整体代入消元”的方法解方程组即可；
（2）利用“整体代入消元”的方法解方程组即可．
【详解】（1）解：，
由②可得：，即，
把方程①代入③可得：，
解得，
把代入方程①可得：，
解得：，
∴方程组的解为；
（2）解：，
由①可得：，
由②可得：，即，
把方程③代入④可得：，
解得．
34．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）阅读下面解方程组的方法，然后解答下列问题．
解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算．例如，解下面的方程组：时，可以采用以下方法．解：②①得，，所以③，将③，得④，①④，得，从而可得，所以原方程组的解为．
(1)请你用上述方法解方程组
(2)猜测关于x、y的方程组的解，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法并灵活变通是解答此题的关键．
（1）本题先得，在求得，然后即可求解；
（2）本题先①②得： ③，③得：④，然后即可求解；
【详解】（1）解：①②得：，即③，
③：④，
①④得，，解得，，
把代入③得，
所以这个方程组的解是．
（2）解：猜测关于x、y的方程组的解为，
理由如下：
，
①②得：，即③，
③得：④，
①④得，，解得，，
把代入③得，
∴这个方程组的解是．
35．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）（1）观察发现：材料：解方程组，将①整体代入②，得，解得，把代入①，得，所以，这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请直接写出方程组的解为__________；
（2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组；
（3）若，则的值为__________；
（4）拓展运用：若关于的二元一次方程组的解满足，请直接写出满足条件的的所有正整数值__________．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）1，2，3，4
【分析】此题考查了整体代入法求二元一次方程组，代数式求值，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握整体思想的运用是解本题的关键．
（1）由①得出，然后整体代入②式，求出y的值，再把代入，即可求出x的值．
（2）由①得出，然后整体代入②式，求出y的值，再把代入，即可求出x的值．
（3）将原式变形成，然后整体代入计算即可．
（4）将方程组两式相加，得到，再结合题意列出关于m的不等式，解之取正整数解即可．
【详解】解：（1）
由①得出，然后将整体代入②式得∶
，
解得：，
把代入，
解得：，
则方程组的解为：
（2）
由①得出，
把代入②得：
解得：，
把代入，
解得：，
则方程组的解为：
（3）∵，
则
（4）
由①②得：，
即，
∵
∴，
解得：，
则满足条件的的所有正整数值为1，2，3，4．
题型八 平面直角坐标系中的新定义型问题（共5小题）
36．（24-25七年级上·吉林·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点”．
(1)点的“长距”为______；
(2)若点的长距为4，且点在第二象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由．
【答案】(1)5；
(2)点是“角平分线点”．见解析
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“角平分线点”．
（1）根据“长距”的定义解答即可；
（2）先根据“长距”的定义求解得到，再据“角平分线点”的定义解答即可；
【详解】（1）解：由题意得：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，
∵，
∴点的“长距”为5，
故答案为：5；
（2）解：∵点的长距为4，且点在第二象限内，
∴，解得，
∴，
∴点的坐标为，
∴点到轴、轴的距离都是5，
∴点是“角平分线点”．
37．（24-25七年级上·云南保山·期末）平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点到轴、轴的距离中的最大值等于点到轴、轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．已知点的坐标为．
(1)在点中，与点等距的点是___________；
(2)若点的坐标为，且两点为“等距点”，求点的坐标；
(3)若两点为“等距点”，求的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)3或9
【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题，难度较大，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力．
（1）找到x、y轴距离最大为4的点即可；
（2）先分析出直线上的点到x、y轴距离中有4的点，再根据“等距点”概念进行解答即可；
（3）先分析出直线上的点到x、y轴距离中有6的点，再根据“等距点”概念进行解答即可．
【详解】（1）解：∵点的坐标为，
∴点A到轴、轴的距离中的最大值为4，
∵点到轴、轴的距离中的最大值分别为5，3，4，
∴点等距的点是；
故答案为：
（2）∵两点为“等距点”， 点A到轴、轴的距离中的最大值为4，
∴点B到轴、轴的距离中的最大值为4，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
∴点的坐标为或；
（3）解： 若，此时或，
∵两点为“等距点”，
∴，
解得：或1（舍去）；
若，此时，
∵两点为“等距点”，
∴，
解得：或（舍去）；
综上所述，k的值为3或9．
38．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，我们称点是点的等距平移点，其中为等距平移常量．例如：当时，点的等距平移点为．
(1)①当等距平移常量时，点坐标为，则它的等距平移点的坐标为________；
②若点坐标为，它的等距平移点的坐标为，则等距平移常量________．
(2)若点在轴上，且它的等距平移点的坐标为，其中为等距平移常量，为坐标原点，求的面积；
(3)点的等距平移点是，其中为等距平移常量，若，且其中一个点到轴的距离等于另一个点到轴的距离的2倍，求的值．
【答案】(1)①，②
(2)
(3)或或或3
【分析】本题考查了坐标变换、等距平移点的定义及几何图形的面积计算，解题的关键在于根据定义准确计算坐标，利用绝对值条件分类讨论，以及灵活运用几何公式求解面积．
（1）直接应用定义计算坐标；
（2）需结合点的位置与坐标关系求解面积；
（3）需联立方程并分类讨论绝对值条件．
【详解】（1）解： ①由定义，N的坐标为：，
故N的坐标为；
故答案为：，
根据定义：，
，解得；
检验：当时，，成立，
故答案为：3．
（2）设M为，根据定义，N的坐标为：，解得，
，
，解得，，
，
的坐标为，
，即N为，
O为原点，
．
（3）N的坐标为，
，
，
，
验证：，符合题意，
其中一个点到轴的距离等于另一个点到轴的距离的2倍，
|或，
因，分情况讨论：
情况一： 即，分四种情况：
①：且（即），
方程变为，解得 ，符合题意；
②：且（即） ，此时，
方程为：解得，，符合题意；
③：且（即） 此时，
方程为：，解得， 不合题意，舍去；
④：且（即且），矛盾，无解；
综上，情况一所有可能的a值为．
情况二： 即|，分四种情况：
①：且（即） ，
方程变为，解得 ，符合题意；
②：且（即） 此时，
方程为：，解得，不合题意，舍去；
③：且（即） 此时，
方程为：，解得， 符合题意；
④：且（矛盾），无解，
综上，情况二解为或．
综上所述，的值为或或或3．
39．（24-25七年级下·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”．
(1)点的“长距”为________；
(2)若点是“完美点”，求a的值；
(3)若点的长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”．
【答案】(1)4
(2)或
(3)见解析
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点到坐标轴的距离，解一元一次方程，弄清题意是解题的关键；
对于（1），根据“长距”的定义解答即可；
对于（2），根据完美点的定义可得，求出答案；
对于（3），先根据“长距”是5求出b，进而得出点D的坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可.
【详解】（1）解：因为点A到x轴的距离数3，到y轴的距离是4，
所以点的“长距”为4；
故答案为：4；
（2）解：∵点是“完美点”，
∴，
∴或，
解得或；
（3）解：点的长距为5，且点C在第三象限内，
∴，
解得，
∴，
∴点D的坐标为，
点D到x轴、y轴的距离都是8，
∴D是“完美点”．
40．（25-26八年级上·全国·期末）新定义：对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”．
例如：的“2属派生点”为，即．
(1)点的“2属派生点”的坐标为________；
(2)若点的“3属派生点”的坐标为，则点的坐标为________；
(3)若点在轴的正半轴上，点的“属派生点”为点，且线段的长度为线段长度的2倍，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了坐标与图形：
（1）根据“k属派生点”的定义即可得；
（2）设点的坐标为，根据“k属派生点”的定义列方程组求解即可；
（3）根据题意得点的坐标为，点的坐标为，求出和，根据线段的长度为线段长度的2倍列方程求解即可
【详解】（1）解：点的“2属派生点”的坐标为，
即，
故答案为：；
（2）解：设点的坐标为，
由题意知，
解得：，
即点的坐标为，
故答案为：；
（3）解：∵点在轴的正半轴上，
∴，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴线段的长为到轴距离为，
∵在轴正半轴，线段的长为，
∴，即，
∴．
题型九 一次函数的应用综合问题（共10小题）
41．（24-25八年级下·吉林长春·期末）已知两地之间距离600千米．甲车从地出发匀速开往地，甲车出发半小时后，乙车从地出发沿同一路线匀速追赶甲车，两车相遇后，乙车原路原速返回地．两车之间的距离（千米）与甲车行驶时间（小时）之间的函数关系如图所示，请解答下列问题：
(1)甲车的速度是_____千米/时，乙车的速度是_____千米/时，_____；
(2)求乙车返回过程中，与之间的函数关系式；
(3)当甲、乙两车相距240千米时，直接写出甲车的行驶时间．
【答案】(1)100，120，5.5
(2)
(3)小时
【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息是解题的关键．
（1）根据函数图象求得甲的速度，根据题意求得乙的速度，进而求得的值；
（2）根据待定系数法求解析式即可；
（3）将代入（2）中解析式求解即可．
【详解】（1）解：由图象可得，
甲车的速度为：（千米/时），
乙车的速度为：（千米/时），
∴，
故答案为∶ 100，120，5.5；
（2）解：设乙车返回过程中，y与x之间的函数关系式是，
∵点，在该函数图象上，
∴，
解得，
即乙车返回过程中，y与x之间的函数关系式是；
（3）解：相遇之前两车最大相距的距离为千米，
相遇后，当时，，
解得，
答：当甲、乙两车相距240千米时，甲车的行驶时间是小时．
42．（24-25八年级下·河北邢台·期末）随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现、图1是机器人警官安安和麦克，他们从街头A处出发，准备前往相距450米的B处（A，B在同一直线上）巡逻，安安警官比麦克警官先出发，且速度保持不变，麦克警官出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．已知安安警官、麦克警官行走的路程（米），（米）与安安警官行走的时间x（秒）之间的函数关系图象如图2所示．
(1)如图2，折线①表示______警官行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“麦克”）；
(2)求麦克警官提速后的速度，并求m，n的值；
(3)求折线①中线段所在直线的函数解析式；
(4)请直接写出安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长．
【答案】(1)麦克
(2)米/秒，；
(3)
(4)秒
【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据题意结合图象分析即可得解；
（2）先求出麦克提速前速度，从而即可得出提速后速度，计算得出段经过的时间，即可得解；
（3）利用待定系数法计算即可得解；
（4）由题意得线段所在直线的函数解析式为，再分情况列出一元一次方程，解方程即可得解．
【详解】（1）解：由题意可得：折线①表示麦克警官行走的路程与时间的函数图象；
（2）解：由题意可得：麦克提速前速度为（米／秒），
提速后速度为（米／秒）．
段经过的时间为（秒），
；
安安警官的速度为（米／秒），
；
（3）解：由题意得点，点．
设线段所在直线的函数解析式为，
将点E，F的坐标分别代入函数解析式中可得：，
解得，
即线段所在直线的函数解析式为；
（4）解：安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长为36秒．
由题意得线段所在直线的函数解析式为，
当时，，当时，．
当安安警官出发，而麦克警官未出发，安安在麦克前方120米时，，
解得；
当安安警官在麦克警官前方120米时，，
解得；
当安安警官在麦克警官后方120米时，，
解得；
当麦克警官到达处，安安警官距处120米时，，
解得．
安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长为（秒）．
43．（24-25九年级下·陕西咸阳·期末）某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费为元，用水量为立方米
(1)写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式；
(2)若某户居民某月交水费26元，则该户居民用水多少立方米？
【答案】(1)
(2)该户居民用水12立方米
【分析】（1）根据分段收费标准计算即可；
（2）判断该户居民用水的范围，再根据对应函数关系式计算即可．
本题考查一次函数的应用，根据分段收费标准写出y与x的函数关系式是解题的关键．
【详解】（1）当时，，
当时，，
水费与用水量之间的关系式为
（2）当时，，
，
该户居民用水超过10立方米，
当时，解得
答：该户居民用水12立方米．
44．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，反映了某公司产品的销售收入（千元）与销售量x（吨）之间的关系，反映了该公司产品的销售成本（千元）与销售量x（吨）之间的关系，其中点A的坐标为，点P的坐标为．
(1)当销售量________时，销售收入等于销售成本；当销售量x________时，该公司盈利（销售收入大于销售成本）．
(2)求和的表达式．
(3)当该公司盈利（销售收入销售成本）10千元时，销售量是多少？
【答案】(1)6；
(2)；
(3)26吨
【分析】本题考查了函数图象的识别，一次函数解析式的求解，一元一次方程的求解，解决本题的关键是正确识别图象并会使用待定系数法求解函数解析式．
（1）观察函数图象，根据函数图象即可求解；
（2）设出一次函数解析式，将点代入函数解析式，使用待定系数法求解即可；
（3）根据盈利即为销售收入销售成本列方程求解即可．
【详解】（1）解：根据函数图象可知，与相交于点，
∴当销售量时，销售收入等于销售成本；
由函数图象可知，当位于上方时，公司盈利，
即当销售量时，该公司盈利（销售收入大于销售成本）；
故答案为：6；；
（2）解：设的表达式为．
把点代入，得．解得．
∴的表达式为．
设的表达式为．
把点，代入，
，解得，
∴的表达式为．
（3）解：由（2）知，，，
∴该公司盈利10千元时，
即．
解得．
答：当该公司盈利（销售收入-销售成本）10千元时，销售量是26吨．
45．（24-25八年级上·四川成都·期末）A、B两种品牌的共享电动车收费（元）与骑行时间（）的函数关系如图所示，其中A品牌收费方式为，B品牌的收费方式为．
(1)分别求出与x的函数关系式；
(2)已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为．小明可骑A品牌或B品牌电动车去上班，若小明家到单位的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱？
【答案】(1)，
(2)小明选择B品牌的共享电动车更省钱
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式和速度、时间、路程的关系是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解答即可；
（2）根据时间路程速度求出小明骑共享电动车的时间并换算成以分钟为单位，结合图象即可得出结论．
【详解】（1）解：设（为常数，且），
将坐标代入，
得，
解得，
∴与x的函数关系式为．
当时，；
当时，设（为常数，且），
将坐标和分别代入，
得，
解得，
∴．
综上，．
（2）解：，
由图象可知，当时，，
∴小明选择B品牌的共享电动车更省钱．
46．（24-25七年级下·四川成都·期末）已知、两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从地出发驶往地，乙也同日下午骑摩托车按同路相向而行从地出发驶往地．如图所示，图中的折线和线段分别表示甲、乙所行驶的路程（千米）与该日下午时间（时）之间的关系．根据图象回答下列问题：
(1)直接写出：甲出发__________小时后，乙才开始出发；乙的速度为__________千米/时；甲骑自行车在全程的平均速度为__________千米/时．
(2)求甲出发几小时后与乙在途中相遇？
(3)若甲乙两人佩带了传呼机，且该型号传呼机的最大通讯距离为千米．若乙到达地后休息半小时原路返回地，求甲乙两人能够通讯的最大时长．
【答案】(1)；；
(2)甲出发小时后与乙在途中相遇
(3)甲乙两人能够通讯的最大时长为小时
【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解此题的关键．
（1）观察图象并根据速度路程时间计算即可得解；
（2）求出段的函数关系式为，段对应的函数关系式为，结合当二人相遇时，得，计算即可得解；
（3）将二人之间的距离不超过千米的时间段加起来即可．
【详解】（1）解：由图可得：甲出发小时后，乙才开始出发；
乙的速度为千米/时；
甲骑自行车在全程的平均速度为千米/时；
（2）解：设段的函数关系式为，
将，代入解析式可得，
解得，
段的函数关系式为，
同理可得：段对应的函数关系式为，
当二人相遇时，得，
解得，
（小时），
故甲出发小时后与乙在途中相遇；
（3）解：乙到达地后休息半小时原路返回地的图象（对应线段），如图所示：
，
二人第一次相遇前，相距千米时，得，
解得；
二人第一次相遇后至乙到达地前，相距千米时，得，
解得：；
由题意可得，当时，二人之间的距离不超过千米，（小时），
当时，乙休息结束，乙开始返回地，
当时，乙返回地，
乙返回地过程中离地距离为（千米），这个过程中当二人之间的距离不超过千米时，得，
解得：，
由题意可得，当时，二人之间的距离不超过千米，（小时），
（小时），
故甲乙两人能够通讯的最大时长为小时．
47．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）1号探测气球从海拔10米处出发，以1米/分的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20米处出发，以a米/分的速度竖直上升．两个气球都上升了60分钟．1号、2号气球所在位置的海拔，（单位：米）与上升时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：
(1)a＝__________，b＝__________；
(2)请分别求出，与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(3)当上升多长时间时，1号气球比2号气球高10米？
【答案】(1)，
(2)，
(3)当上升40分钟时，1号气球比2号气球高10米
【分析】本题考查了一次函数的应用，从图中获取信息是解题的关键．
（1）根据1号探测气球的出发海拔和速度即可计算b的值，根据b的值、2号探测气球的出发海拔和运动时间可计算2号探测气球的速度可计算a的值；
（2）由（1）可得与函数图象的交点坐标为，分别代入计算即可；
（3）由题意可得计算即可．
【详解】（1）解：，，
故答案为：，30；
（2）由（1）可得与函数图象的交点坐标为，
设，，
将分别代入可得：，
解得：，，
∴，；
（3）解：由题意可得，
当时，，
解得，
∴当上升40分钟时，1号气球比2号气球高10米．
48．（24-25八年级下·广东广州·期末）浮箭漏（如图①）是西汉时期的一种计时仪器，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，经过实验探究发现，箭尺读数与供水时间成一次函数关系．某次实验中，研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如表：
(1)建立平面直角坐标系如图②，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，请画出该一次函数的图象；
(2)应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是几点？
【答案】(1)见解析
(2)下午
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
（1）描点，连线即可；
（2）根据待定系数法求出与之间的函数关系式，当时，求出对应的值，从而根据本次实验记录的开始时间求出当箭尺读数为时是几点即可．
【详解】（1）解：描点，连线如图所示：
（2）解：设与之间的函数关系式为、为常数，且，
将坐标和分别代入，
得，
解得，
与之间的函数关系式为，
当时，得，
解得，
本次实验记录的开始时间是上午，
当箭尺读数为时是晚上．
49．（24-25七年级下·河北保定·期末）蓄电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素．小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．于是小明细心观察了充满电后汽车的行驶情况，并将蓄电池剩余电量（千瓦时）和已行驶路程（千米）的相关数据用图象表示如下．
(1)该电动汽车蓄电池的最大电量为___________千瓦时；
(2)图中点表示的实际意义是___________；
(3)当时，消耗1千瓦时的电量，汽车能行驶的路程为___________千米；
(4)求的值．
【答案】(1)80
(2)这辆车行驶200千米时，蓄电池剩余电量为50千瓦时
(3)
(4)325
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
(1)由图象经过得，该电动汽车蓄电池的最大电量为80千瓦时；
(2)点M表示的实际意义是这辆车行驶200千米时，蓄电池剩余电量为50千瓦时；
(3)列式计算得，当时，消耗1千瓦时的电量，汽车能行驶的路程为千米；
(4)求出消耗50千瓦时的电量，汽车能行驶的路程为： (千米)，即可得．
【详解】（1）解：由图象经过可得，该电动汽车蓄电池的最大电量为80千瓦时，
故答案为：80；
（2）解：由可知，点M表示的实际意义是这辆车行驶200千米时，蓄电池剩余电量为50千瓦时，
故答案为：这辆车行驶200千米时，蓄电池剩余电量为50千瓦时；
（3）解：∵（千米/千瓦时），
∴当时，消耗1千瓦时的电量，汽车能行驶的路程为千米，
故答案为：；
（4）解：由图象可知：当时，消耗1千瓦时的电量，汽车能行驶的路程为：（千米），
∴消耗50千瓦时的电量，汽车能行驶的路程为：（千米），
∵ (千米)，
∴．
50．（24-25七年级下·山东·期末）一条笔直的公路上有A，B两地，一辆快车匀速从A地开往B地，一辆慢车匀速从B地开往A地．两车同时出发，设两车离B地的距离，随行驶时间的变化情况如图1所示；两车之间的距离随行驶时间的变化情况如图2所示．观察图象，回答下列问题：
(1)在图1中，______（填或）表示慢车离B地的距离随行驶时间的变化情况；
(2)快车的速度是______；
(3)在图2中，P点表示什么？
(4)______，______；
(5)请直接写出在相遇之前，两车之间的距离与行驶时间之间的关系式．
【答案】(1)
(2)120
(3)当行驶时间为时，两车相遇
(4)，
(5)
【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是从函数图象中获取有效信息．
（1）根据慢车离地的距离变化特点判断；
（2）利用路程和时间的关系计算快车速度；
（3）求出点坐标，可知点表示当行驶时间为时，两车相遇；
（4）由行驶过程可知，当时，快车到达B地，再根据行驶时间为时，两车相遇，进而可计算两车之间的距离；
（5）根据两车行驶情况推导距离与时间的关系式．
【详解】（1）解：∵慢车离地的距离逐渐增大，
∴图1中，表示慢车离地的距离随行驶时间的变化情况．
故答案为：；
（2）解：快车的速度是．
故答案为：120；
（3）解：∵点的纵坐标为0，即两车之间的距离，
∴点表示两车相遇，
∵快车的速度是
慢车的速度为，
当两车相遇时，可得，
解得，
，
∴在图2中，点表示当行驶时间为时，两车相遇；
（4）解：由行驶过程可知，当时，快车到达B地，
∴，
∵当行驶时间为时，两车相遇，
∴当时，两车之间的距离，
，
故答案为：3，240；
（5）解：在相遇之前，两车之间的距离与行驶时间之间的关系式为．
题型十 一次函数图象和性质的综合问题（共10小题）
51．（24-25八年级下·四川自贡·期末）某数学兴趣小组根据初中学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小组的探究过程，请仔细阅读并解答问题．
(1)请把下表补充完整，并在平面直角坐标系中描出各组对应的点，画出该函数的图象．
(2)根据函数图象回答下列问题．
①当______时，y有最小值为______
②请写出该函数的一条性质：______．
(3)若的图象与直线没有交点，则k的取值范围是______．
【答案】(1)见解析
(2)①，；②见解析
(3)
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，画一次函数图象，求函数值等等，正确画出对应的函数图象是解题的关键．
（1）将代入求出函数值，即可填表格，再用描点连线即可作图；
（2）①根据题意画出图象，根据图象可得最值；②根据图象写出性质即可；
（3）由于直线是一条平行于轴的直线，则由图象可得当直线与轴交点在点下方时，的图象与直线没有交点，即可求解的取值范围．
【详解】（1）解：当时，，则补充表格如下：
函数图象，如图所示：
（2）解：①根据图象可知，当时，最小值为：，
故答案为：，；
②时，随增大而减小；
，随增大而增大；（答案不唯一，任选一条回答即可）；
（3）解：∵直线是一条平行于轴的直线，
∴由图象可得当直线与轴交点在点下方时，的图象与直线没有交点，
∴，
故答案为：．
52．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整．
(1)自变量x的取值范围是全体实数．下表是y与x的几组对应值：
其中，________；
(2)如下图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；
(3)
(4)观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是________；当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而________；
(5)进一步探究，若关于x的方程只有一个解，则k的取值范围是________．
【答案】(1)3；
(2)见解析
(3)，增大；
(4)或．
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，解决本题的关键是根据图象回答问题．
（1）计算出当对应的函数值，从而可以求得的值；
（2）根据（1）中表格的数据，可以画出相应的函数图象；
（3）根据函数图象即可求得；
（4）观察函数图象，可以得到满足题意的k的取值范围；
【详解】（1）解：当时，，
，
故答案为：3；
（2）解：画出该函数图象的另一部分，下图为所求：
（3）解：观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是；当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；
故答案为：，增大；
（4）解：观察图象，
若关于x的方程只有一个解，
那么与只有一个交点，
则k的取值范围是或；
故答案为：或．
53．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线经过点B，交x轴于点C．
(1)求b的值和，的长．
(2)在延长线上取点D，使，过点D作轴交的延长线于点E，记的面积为，的面积为，求的值．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题考查了一次函数，平面直角坐标系和三角形全等的判定，掌握了以上知识是解题的关键；
（1）把代入，可得长度，然后把把代入，求出点的坐标，进而求出，把代入，求出的长度；
（2）需要先证明，然后分别求出和，求出，再求出和，求出，即可求解
【详解】（1）解：把代入，得，
∴，
把代入，得，
∴点B为，
把点代入，得，
∴，
把代入，得，
即；
（2）解：记交x轴于点F，如图：
∵轴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
54．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处．
(1)求的长；
(2)求点和点的坐标．
【答案】(1)5
(2)，
【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，勾股定理：
（1）先求出直线与坐标轴的交点坐标，再利用勾股定理解即可；
（2）由折叠知，可得点的坐标，设， 则，利用勾股定理解求出x的值可得点的坐标．
【详解】（1）解：中，
令，得：，
，
，
令，得：，
解得：，
．
．
在中，．
（2）解：由折叠知：，
，
．
设，则．
在中，，
即，
解得：，
．
55．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于点A，点B，直线与相交于点，与x轴相交于点，与y轴相交于点E，点P是x轴上的一个动点．
(1)求直线的表达式；
(2)求的面积；
(3)当 的面积等于的面积的一半时，请求出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了一次函数与几何问题，用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握一次函数与图形的面积问题是解题的关键．
（1）把点的坐标代入计算，求得点C的坐标，再用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）先求出两直线与y轴的交点坐标，即可利用三角形面积公式求解；
（3）设点P的坐标为，再用三角形面积公式列出方程，解方程即得答案．
【详解】（1）解：把点的坐标代入，得，
，
设直线的表达式为，
把点，的坐标代入，得，
解得，
直线的表达式为；
（2）解：由题意及（1）可知，，
，
的面积为；
（3）解：设点P的坐标为，
当 的面积等于的面积的一半时，
，
解得或，
点P的坐标为或．
56．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，设一次函数、（、是实数，且．
(1)若，分别求出、与轴的交点坐标；
(2)若函数的图像与轴交点坐标为，则函数的图像与轴交点坐标为______；
(3)若函数的图像不经过第一象限，且过点，求的取值范围．
【答案】(1)、与轴的交点坐标分别为
(2)
(3)
【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；
（1）分别把代入可得、的解析式，然后问题可求解；
（2）把点代入一次函数的表达式，然后可得m、n的关系，进而问题可求解；
（3）由函数的图像不经过第一象限，可得，，然后把点代入函数解析式可得m、n的关系，进而可建立不等式进行求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
分别令代入可得：，，
解得：，，
∴、与轴的交点坐标分别为；
（2）解：把点代入一次函数的表达式得：，
∴，
∴，
令，则有，
解得：，
∴函数的图像与轴交点坐标为；
故答案为；
（3）解：由函数的图像不经过第一象限，可得，，
把点代入得：，
∴，
∴．
57．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，平面直角坐标系中，点，，，且a，b满足．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)如图1，将线段以1个单位长度秒的速度向右平移至（点P与点A对应），运动时间为t秒，当三角形的面积不大于6时，求t的取值范围；
(3)如图2，M为第三象限的一动点，且轴，连接并延长交直线于点N，设点M、N的横坐标分别为m、n，直接写出___________．（用含n的式子表示）
【答案】(1)，
(2)的取值范围是或
(3)
【分析】（1）根据二次根式及绝对值的非负性即得答案；
（2）过点作，交轴于点，在直线上取，过点作轴于点，连接，设点，则，根据列方程，解得，再根据三角形的面积不大于6列出不等式，求得，即可求的得答案；
（3）过点作于点，连接，用待定系数法求出直线的解析式为，则，再根据，即得关于m、n的关系式，化简整理即得答案．
【详解】（1）解：，
，，
，，
又，，
，；
（2）解：过点作，交轴于点，
在直线上取，过点作轴于点，连接，
设点，则，
，
，
解得，
，
，
，
，且点不与点重合，
或，
的取值范围是或；
（3）解：过点作于点，连接，
设直线的解析式为，
将，代入得，
解得，
直线的解析式为，
点的坐标为，
，
，
，
，
整理，得，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了图形与坐标，二次根式及绝对值的非负性，一次函数的面积问题，一元一次不等式的应用，求一次函数的解析式，熟练掌握一次函数的面积问题的解法是解题的关键．
58．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求点A，B的坐标；
(2)求的长及点O到直线l的距离；
(3)将直线l向下平移20个单位长度得到直线，直接写出l与之间的距离．
【答案】(1)，
(2)，
(3)12
【分析】此题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键．
（1）令和时，代入解析式得出坐标即可；
（2）利用勾股定理求得，然后利用三角形面积公式即可求得点O到直线l的距离；
（3）根据三角形面积公式即可得到结论．
【详解】（1）直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B，
将代入，得到：，
∴，
将代入，得到，
解得：，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴，
设点O到直线l的距离为h，则，
∴，
∴，
∴点O到直线l的距离为；；
（3）如图，过O作于C，反向延长交于D，
将直线l向下平移20个单位长度得到直线，
∴直线为，，
当时，，解得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴直线l与之间的距离为12．
59．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、B两点，平分交y轴于E，点C为直线上在第一象限内一点．求：
(1)求的长；
(2)点E的坐标，并求出直线的解析式；
(3)若将直线沿射线方向平移个单位，请直接写出平移后的直线解析式．
(4)求直线关于直线对称的直线解析式
【答案】(1)
(2)，
(3)
(4)
【分析】（1）先求解，，结合，可得；
（2）如图，过作于，证明，可得，再进一步求解即可；
（3）如图，过作轴于，证明，当时，求解，可得将直线沿射线方向平移个单位，相当于将直线向右平移了个单位，向上平移了4个单位，进一步可得答案；
（4）先求解，关于直线的对称点为，，设直线为：，再进一步解答即可.
【详解】（1）解：∵直线交坐标轴于A、B两点，
∴当时，，
当时，，
解得：，
∴，，
∵，
∴.
（2）解：如图，过作于，
∵平分交y轴于E，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为.
（3）解：如图，过作轴于，
∵在直线上，
∴，
当时，
∴，而，
∴，
∴将直线沿射线方向平移个单位，相当于将直线向右平移了个单位，向上平移了4个单位，
∴平移后的直线为.
（4）解：如图，∵，，
∴，关于直线的对称点为，，
设直线为：，
∴，
解得：，
∴直线为：，
∴直线关于直线对称的直线解析式为：.
【点睛】本题考查的是求解一次函数的解析式，一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点坐标，角平分线的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，作出合适的辅助线是解本题的关键.
60．（24-25八年级上·全国·期末）如图1，已知直线：交轴于，交轴于．
(1)求直线的表达式；
(2)如图2，直线的表达式为，点为线段的中点，在直线上找一点，使得最小，并求出最小值；
(3)如图3，已知点，点为直线右侧一点，且满足，求的值．
【答案】(1)
(2)作点关于的对称点，连接交于点，则此时的值最小，最小值为
(3)
【分析】（1）把，代入，即可求解；
（2）如图：作点关于的对称点，连接交于点，则此时最小，设交于点，则点是的中点，先根据中点坐标公式求出点的坐标为，进而求出直线的解析式为，然后求出点的坐标为，设点的坐标为，根据两点之间的距离公式得出，，根据勾股定理，列出方程，求出的值，得出点的坐标为；先根据中点坐标公式求出点的坐标为，根据两点之间的距离公式求出的值，即可求解；
（3）作关于轴的对称点，以为直角顶点，为直角边在右侧作等腰直角三角形，过作轴于，根据等腰直角三角形的判定和性质推得，根据直角三角形两个锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，推得点的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为．得出点的坐标，结合题意，列出方程，即可求出的值．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
故直线的表达式为．
（2）解：如图：作点关于的对称点，连接交于点，则此时最小，
理由：，
设交于点，则点是的中点，
∵，，点为线段的中点，
∴点的坐标为，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为．
令，则，
解得：，
即点的坐标为；
则，
设点的坐标为，则，，
在中，，
即，
解得：或（不符合题意，舍去），
故点的坐标为；
又∵点是的中点，
∴点的坐标为，
∴；
即最小值为．
（3）解：作关于轴的对称点，以为直角顶点，为直角边在右侧作等腰直角三角形，过作轴于，如图：
则，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴在直线上，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得：，
∴直线的解析式为．
∵点在直线上，故当时，，
即点的坐标为，
∴，
解得．
一、单选题
1．如图是一个无盖的长方体形盒子，长为，宽为，高为，点在棱上，并且．一只蚂蚁在盒子内部，想从盒底的点爬到盒顶的点，则蚂蚁要爬行的最短路程是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查立体图形表面最短路径问题，运用转化思想，将长方体侧面展开为平面，利用勾股定理计算路径长度，关键是正确展开侧面并确定直角边长度，易错点是展开方式错误导致直角边长度计算失误；解题思路：将长方体不同侧面展开，分别用勾股定理计算路径长度，比较后得出最短距离即可．
【详解】解：将 “点所在的面” 与 “顶点所在的面” 展开成平面，
情况1：如图，
水平方向的长度为，
垂直方向的高度为，
路径长，
情况2：如图，
水平边长为，
竖直边长为，
路径长，
∵，
∴蚂蚁要爬行的最短路程是，
故选：D．
2．一次函数与在同一坐标系中大致的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，求出两个一次函数图象的交点，据此进行判断即可．
【详解】解：由得，
，
∵两直线不重合，
∴，
∴，
∴两条直线交点的横坐标为，
显然只有C选项符合题意．
故选：C．
3．若关于，的方程组有正整数解，则符合条件的整数的和为（ ）
A．8B．7C．3D．2
【答案】D
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据方程组的解的情况求参数，解题的关键是掌握分类讨论的思想．
通过消元法得到，由y为正整数可知为6的正约数，代入验证x是否为正整数，从而确定符合条件的a值，并求其和．
【详解】解：原方程组为：
得：
得：，
，
∵ y为正整数，
∴为6的正约数，即，
∴ a的值为：，
分别代入求x：
当时，，代入：，解得，为正整数，符合；
当时，，代入：，解得，非整数，不符合；
当时，，代入：，解得，为正整数，符合；
当时，，代入：，解得，非整数，不符合．
∴符合条件的整数a为0和2，其和为．
故选：D．
二、填空题
4．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组；得，得出，结合已知可得，解一元一次方程，即可求解．
【详解】解：
①+②得，
∴
∵，
∴
解得：
故答案为：．
5．已知关于x的一次函数．当时，函数有最大值7，则a的值为 ．
【答案】1或
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的单调性，分类讨论a的正负情况：当时，函数为增函数，最大值在区间右端点处取得；当时，函数为减函数，最大值在区间左端点处取得．分别代入求解a的值．
【详解】解：当时，函数为增函数，最大值在处，
代入得，
即，
解得；
当时，函数为减函数，最大值在处，
代入得，
即，
解得．
故答案为：1或．
6．已知关于，的方程组的解是，则方程组的解为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了用换元法解二元一次方程组，通过整体代换，将新方程组中的表达式转化为原方程组的形式，利用已知解求解．
【详解】解：整理方程组，
可得：
令 ，，
则新方程组化为：，
方程组的解为，
方程组的解为，
，
解得：．
三、解答题
7．已知的算术平方根是3，b的立方根为．
(1)求a与b的值；
(2)求的立方根．
【答案】(1)，
(2)2
【分析】本题考查算术平方根和立方根，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）根据算术平方根和立方根的定义，进行求解即可；
（2）根据立方根的定义，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，，
解得，；
（2）由（1）可知，；
∴的立方根为2．
8．如图，已知直线的图象经过点，，且与轴交于点．
(1)求，的值；
(2)求的面积．
(3)若是轴上的一点，且，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式和一次函数图象上点坐标的特征，勾股定理求两点距离．
（1）把代入，得到和值，即可得到结论；
（2）令，求得的值，即可求得一次函数图象与轴的交点坐标；
（3）设，根据建立方程，即可求解．
【详解】（1）解：把代入得，
，
解得：，；
（2）该一次函数为，
令，则，解得，
该一次函数图象与轴的交点坐标为，；
∴
（3）设，
∵
∴
解得：
∴
9．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”．
(1)点的“长距”为______；
(2)若点的长距为4，且点C在第三象限内，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由．
【答案】(1)5
(2)点D是“角平分线点”，理由见解析
【分析】本题考查点到坐标轴的距离，象限内点的符号特征，熟练掌握新定义是解题的关键：
（1）求出点到两个坐标轴的距离，根据新定义进行判断即可；
（2）根据新定义，结合第三象限内点的符号特征，求出的值，进而确定点的坐标，再根据新定义进行判断即可．
【详解】（1）解：∵，
∴点到轴的距离为5，到轴的距离为3，
∵，
∴点的“长距”为5；
（2）是，理由如下：
∵点的长距为4，
，解得或，
点C在第三象限内，
当时，点D的坐标为，
∴点D到x轴、y轴的距离都是5，
∴点D是“角平分线点”．
10．若平面直角坐标系上点的横、纵坐标满足关于x，y的方程组，则称点P为该方程组的关联点，如点为方程组的关联点．
(1)若点为关于x，y的方程组的关联点，则________，________；
(2)已知点为关于x，y的方程组的关联点，点为关于x，y的方程组的关联点；若点A与点B恰好重合，求点A的坐标，并求出m，n的值．
【答案】(1)，
(2)，，
【分析】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组；
（1）根据关联点的定义，把代入即可求出a，b；
（2）由题意可知，方程组和的解相同，联立后得出新方程组，求出x，y的值，再把x，y的值代入含有m，n的方程即可．
【详解】（1）解：∵点是方程组的关联点，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：∵点与点重合，
∴方程组和的解相同，
联立，
解得：，
∴，
把分别代入和
得：，，
∴，．
11．【综合与实践】甲乙两人匀速从学校出发到米处的图书馆看书，甲出发分钟后，乙以米/分的速度沿同一路线行走．学习了一次函数以后，同学们用一次函数来研究行程问题．小明同学绘制两人到学校的距离（米）与甲出发时间（分钟）的函数图像（如图），小敏同学绘制了甲乙两人相距（米）与甲行走的时间为（分）函数图像的一部分（如图）．根据图像回答下列问题：
(1)甲行走的速度为______米/分；乙到学校的距离的函数表达式______．
(2)在图中______分钟；______米；
(3)在图坐标系中，补画关于函数图象的剩余部分；这一部分的函数表达式为：______；它对应的自变量的取值范围是______；
(4)当甲出发______分钟时甲、乙两人相距米．
【答案】(1)；
(2)；；
(3)作图见解析，
(4)和．
【分析】本题考查了一次函数的实际应用（行程问题），涉及函数表达式、图像交点、距离计算等知识点，熟练结合行程问题的数量关系（路程速度×时间）分析函数图像是解题的关键．
（1）利用 “速度路程时间” 结合图像中甲的行程数据，求出甲的速度；根据乙的出发时间、速度，推导其到学校距离的函数表达式；
（2）结合 “相遇时路程相等” 列方程求出相遇时间；根据甲、乙到达图书馆的时间，计算对应时刻的路程差得到；
（3）分析乙到达图书馆后甲的行程，推导剩余部分的距离函数表达式及自变量范围；
（4）分两种情况，结合距离关系列方程求解甲出发的时间
【详解】（1）解：由图可得甲行走的速度为：（米/分钟）
由题意得：；
（2）解：由得：，
当时，，，
（米）；
（3）解：由（2）知，时，乙到达图书馆，此时两人相距米，
（分钟），
甲再经过分钟到达图书馆，此时，
补画关于函数图象的剩余部分如图所示：
这一部分的函数表达式为：，
它对应的自变量的取值范围是；
（4）解：由，
得，
由，
得，
甲出发分钟或分钟，甲、乙两人相距米．
选填易错题
解答易错题
题型1 最短距离问题
题型5 平方根与立方根综合问题
题型2 一次函数图象共存问题
题型6 二次根式的规律探究问题
题型3 一次函数中求字母参数问题
题型7 二元一次方程组的特殊解法
题型4 二元一次方程组含参数问题
题型8 平面直角坐标系中的新定义型问题
题型9 一次函数的应用综合问题
题型10 一次函数图象和性质的综合问题
用水量立方米
收费元
不超过10立方米
每立方米2元
超过10立方米
超过的部分每立方米3元
供水时间
0
2
4
6
箭尺读数
6
18
30
42
x
…
0
1
2
3
…
y
…
1
0
0
1
…
x
…
0
1
2
3
…
y
…
1
0
0
1
…
x
…
0
1
2
3
4
5
…
y
…
5
4
m
2
1
0
1
2
3
…