杭州市西湖区名校2025学年八年级上学期12月月考卷数学试卷（解析版）

这是一份杭州市西湖区名校2025学年八年级上学期12月月考卷数学试卷（解析版），共21页。
1. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选项A、B、D均不能找到这样的一个直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一个直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：C
2. 在函数中，自变量的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵，分母，
∴．
故选D．
3. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】、，，则不成立，不符合题意，选项错误；
、∵，∴，符合题意，选项正确；
、，若，则；若，则，即不一定成立，选项错误；
、，，，则不成立，不符合题意，选项错误．
故选：．
4. 将直线向下平移一个单位，则平移后的直线表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】】根据”上加下减”可得,向下平移一个单位后的表达式: .
故选B.
5. 如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ）
A. 已知两边及夹角B. 已知三边
C. 已知两角及夹边D. 已知两边及一边对角
【答案】C
【解析】由图可知：已知线段，，，
故选：C．
6. 一次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵，，
∴图象过二，三，四象限，
故选：C．
7. 若点M（a+3，2a﹣4）到x轴距离是到y轴距离的2倍，则点M的坐标为（ ）
A. （，）B. （，﹣）
C. （，﹣5）D. （，5）
【答案】C
【解析】由点M（a+3，2a﹣4）到x轴距离是到y轴的距离2倍，
∴|2a﹣4|＝2|a+3|，
∴2a﹣4＝2（a+3）或2a﹣4＝﹣2（a+3），
方程2a﹣4＝2（a+3）无解；
解方程2a﹣4＝﹣2（a+3），得a＝﹣ ，
，
∴点M的坐标为．
故选：C．
8. 在中，，点在边上（不与点，点重合），下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】A
【解析】如下图，
A、∵，
∴，
∵，
∴，
在中，∵，
∴．
在中，
∵，
∴．
∴，该选项正确，符合题意；
B、∵，且，
∴，但不一定成立，该选项错误，不符合题意；
C、当时，不一定成立，该选项错误，不符合题意；
D、当时，不一定成立，该选项错误，不符合题意．
故选A．
9. 如图，直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，射线AP⊥AB于点A．若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则OD的长为（ ）
A.2或+1B. 3或
C. 2或D. 3或+1
【答案】D
【解析】∵直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，
当y＝0时，x＝1，当x＝0时，y＝2，
∴A（1，0），B（0，2）．
∴OA＝1，OB＝2．
∴AB＝．
∵AP⊥AB，点C是射线AP上，
∴∠BAC＝90°，即∠OAB＋∠CAD＝90°，
∵∠OAB＋∠OBA＝90°，
∴∠CAD＝∠OBA，
若以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则∠ACD＝90°或∠ADC＝90°，
即△ACD≌△BOA或△ACD≌△BAO．
如图1所示，当△ACD≌△BOA时，∠ACD＝∠AOB＝90°，AD＝AB，
∴OD＝AD＋OA＝＋1；
如图2所示，当△ACD≌△BAO时，∠ADC＝∠AOB＝90°，AD＝OB＝2，
∴OD＝OA＋AD＝1＋2＝3．
综上所述，OD的长为3或＋1．
故选：D．
10. 如图，中，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（ ）
A.B. 3
C. D. 9
【答案】C
【解析】延长交于点．设交于点．
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
当时，的面积最大，最大面积为．
故选：．
二、填空题．本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11. 点关于轴对称点的坐标为________．
【答案】
【解析】∵点和点关于轴对称，
∴点的坐标为．
故答案为：．
12. 函数是关于的一次函数，则______．
【答案】
【解析】由题意得，，
解得：，
故答案为：．
13. 如图，已知，P是平分线上一点，，交于点C，，垂足为点D，且，则等于______．
【答案】5
【解析】如图，作交于，
平分，，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分，，，
，
故答案为：5．
14. 若不等式组无解，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】，
：
解得，
：
解得，
∵不等式组无解，
∴
解得，
故答案为：．
15. 在中，，边上的高为4，将放在平面直角坐标系中，使点与原点重合，点在轴的正半轴上，那么点的坐标是________．
【答案】
【解析】如图，建立平面直角坐标系，以O为圆心，5为半径作圆，作直线，与两条直线交于点，即为所求．
由图可得，点的纵坐标为，
∴点的坐标为；
同理可得，点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为．
综上所述，点B的坐标是．
故答案为：．
16. 如图1是一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面积转化证明勾股定理．如图2，已知正方形、正方形和正方形中，连结，，，记四边形与正方形的面积分别为，．若，则的值为________．
【答案】
【解析】过点作于点，如图，
，四边形是正方形，
，四边形是矩形，
，
四边形，四边形，四边形都是正方形，
，，，，
在和中，
，
，
，
，
，
设，
则，，
，
，，
，
又，
，
，
，，
四边形的面积
，
正方形的面积为：
，
，
故答案为：．
三、解答题．本大题有8个小题，共72分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知与成正比例，且时，．
（1）求与之间的函数表达式；
（2）若点在这个函数的图象上，求的值．
解：（1）根据题意，设，
把，代入得：，
解得：，
，
与之间的函数关系式是；
（2）点在这个函数图象上，
把点代入得：，
．
18. 如图，在△ABC和△DCB中，BA⊥CA于A，CD⊥BD于D，AC＝BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）若∠OBC＝30°，求∠AOB的大小．
解：（1）证明：∵BA⊥CA，CD⊥BD，
∴∠A＝∠D＝90°，
在Rt△ABC与Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）
（2）∵△ABC≌△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC＝30°，
∴∠AOB＝∠DBC+∠ACB＝60°．
19. 某商场推出两种优惠方案．
方案一：购买商品一律按标价的九折优惠；
方案二：若购物金额满500元，则超出500元的部分按八折优惠．
（1）若顾客购买标价为800元的商品，选择哪种方案更划算？请通过计算说明．
（2）设顾客购买商品的标价为x元（），分别用含x的代数式表示两种方案下顾客需要支付的金额，然后分析当x满足什么条件时，方案二更优惠．
解：（1）方案一：按标价的九折优惠，购买标价为800元的商品需支付（元），
方案二：购物金额满500元，超出部分为（元），
这部分按八折优惠，则需支付（元）；
因，
所以选择方案一更划算；
（2）设顾客购买商品的标价为x元（），
方案一：需支付元；
方案二：需支付（元）；
若方案二更优惠，则，
移项可得：，
即，
解得，
所以当时，方案二更优惠．
20. 已知：如图，在中，于点F，于点G，D是的中点，于点E．求证：．
证明：如图，连接，．
，D是的中点，
是斜边上的中线，
．
同理，，D是的中点，
是斜边上的中线，
．
．
又，
．
21. 甲、乙两车分别从相距的A，B两地相向而行，乙车比甲车先出发小时，两车分别以各自的速度匀速行驶．甲从A地出发，行驶80千米到达C地（A，B，C三地在同一直线上）时，因有事停留了小时后，按原速度继续前往B地，乙车从地经过小时直达地的同时，甲车也到达了B地．甲、乙两车距A地的路程分别记为，，它们与乙车行驶的时间的函数关系如图所示．
（1）分别求出甲、乙两车的速度及关于x的函数表达式．
（2）试求乙车在出发多长时间后与甲车相遇．
解：（1）甲车的速度为，
乙车的速度为，
根据题意得．
（2）甲从A地出发，行驶80千米到达C地时，小时，
此时乙车行驶的路程为千米，
∵甲车停留了小时，
∴甲车停留时，乙车又行驶了千米，
∵
∴乙车在甲车停留时和甲车相遇，
即小时，
∴乙车出发小时后与甲车相遇．
22. 先阅读短文，然后回答短文后面所给出的问题：
对于三个数a、b、c中，我们给出符号来表示其中最大（小）的数，规定表示这三个数中最小的数，表示这三个数中最大的数．
例如：；；，
（1）_____；_____；
（2）若，求的取值范围；
（3）若，求的值．
解：（1）由题意得；
，，
；
故答案为：，；
（2）∵，
∴，
解不等式得，
解不等式得，
∴不等式组的解集为，
∴的取值范围为；
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
当时，，即；
当时，，即；
又∵，
∴，
当时，，
当时，；
当时，，，
∴，
解得，满足；
当时，，，
∴，
解得，不满足，舍去；
∴的值为．
23. 如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点的运动时间为秒，连接．
（1）当秒时，求的长度；
（2）当为等腰三角形时，求的值；
（3）过点作于点，连接，在点的运动过程中，当平分时，直接写出的值．
解：（1）由题意，当时，，
∴，
在中，，，，
∴；
（2）由题意，，
∵，，，
∴，
当为等腰三角形时，分3种情况：
①，如图，则：，，
在中，由勾股定理，得，
∴，
解得；
②，则；
③，如图：
∵，即，
∴，
∴；
综上：或或12；
（3）①点P在线段上时，过点D作于E，如图1所示：
则，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，如图2所示：
同①得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为或时，平分．
24. 如图，在中，，．点在边上，点在延长线，且满足．连接，．已知．
（1）若，求的度数．
（2）小真同学通过画图和测量得到以下近似数据：
猜想：与之间的等量关系，并给出证明．
（3）探究，，三者之间的等量关系，并给出证明．
解：（1）如图1，∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）猜想：与之间的等量关系为：，
证明如下：
设，，
如图2，延长至点F，使，连接，
∵，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3），，三者之间的等量关系是：，
证明如下：
由勾股定理得：，，
∴，
∴，
∴，
由（2）知：，
∴．