安徽省江淮教育联盟2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷（含答案+解析）

这是一份安徽省江淮教育联盟2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷（含答案+解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线y=x+12−1的顶点坐标是( )
A. −1,−1B. −1,1C. 1,1D. 1,−1
2.下列交通标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列关于反比例函数y=4x图象的描述错误的是( )
A. 图象位于第一、三象限B. 点1,4在此函数图象上
C. 在每个象限内，函数y随x的增大而增大D. 图象关于坐标原点成中心对称
4.球形烧瓶底部呈球状(如图1)，在化学实验中的主要作用是盛放液体或作反应容器．图2是一球形烧瓶底部的截面图，瓶内液体的最大深度CD=3cm，液面所在的弦AB=12cm，则其截面圆的半径为( )
A. 6.5cmB. 7cmC. 7.2cmD. 7.5cm
5.已知反比例函数y=kx的图象如图所示，则二次函数y=ax−k2a≠0的图象可能是( )
A. B. C. D.
6.如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，点D在边AB上，点E在边AC上，若AD=4，AE=5，BC=7，则DE的长是( )
A. 2.5B. 3C. 3.5D. 4
7.若点−4,y1，−1,y2，2,y3都在二次函数y=x2+4x−4的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y2>y1>y3B. y3>y2>y1C. y1>y3>y2D. y3>y1>y2
8.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB⌢=AD⌢，点P在AB⌢上，连接PA，PB，若∠APB=130 ∘，则∠BCD的度数是( )
A. 80 ∘B. 100 ∘C. 120 ∘D. 130 ∘
9.已知实数a，b，c满足a+b+c>0，a−b+c=0，b+c−a=0，则下列判断错误的是( )
A. a>0B. b>0C. b=cD. a=b
10.如图，P是矩形ABCD对角线BD上(端点除外)一动点，Q是边AD上(端点除外)一动点，连接PA，PQ，若AB=4，AD=8，则PA+PQ的最小值为( )
A. 6B. 6.4C. 8D. 8.4
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.已知ab=23，则代数式a+ba−b的值为 .
12.如图，O是坐标原点，点A在反比例函数y=kxxy2时，自变量x的取值范围．
17.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，已知点A−2,4，B−4,1，C0,1.
(1)将△ABC先向下平移6个单位长度，再向右平移4个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；
(2)将△ABC绕原点O顺时针旋转90 ∘，画出旋转后的△A2B2C2.
18.(本小题6分)
如图，在△PAB中，PA=6，PB=8，∠APB=150 ∘，将△PAB绕点B逆时针旋转60 ∘后得到△QCB，连接CP，PQ.
(1)求PQ的长；
(2)求PC的长．
19.(本小题6分)
已知关于x的一元二次方程x2−m+2x+m−1=0.
(1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若原方程的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x1x2+x22=3，求m的值．
20.(本小题6分)
如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，M是弦AD上一点，连接CM交AB于点F，连接BC，∠BCD=∠DCM.
(1)求证：CM⊥AD；
(2)若AB=12，OF=2，求CD的长．
21.(本小题9分)
【综合与实践】
为了研究杠杆原理，丁丁制作了一架特殊的托盘天平(如图1)，天平支点O左右两侧各有一个托盘，其中左侧的托盘A位置固定不动，且其中放置的重物大小也固定不变，右侧的托盘B可以根据其中放置砝码的大小在右边的支架上左右移动，以便调节天平使其左右两边保持平衡．
丁丁改变托盘B中砝码的质量并移动托盘的位置，当天平平衡时，分别记录了托盘B与支点O的距离、托盘B中砝码的质量，得到几组数据如下表所示，请根据表中数据解决下列问题．
(1)丁丁通过实验发现，托盘B中的砝码质量y是托盘B与支点O的距离x的函数．在图2中画出这个函数的图象，并求出函数的表达式．
(2)当托盘B与支点O的距离为4cm时，求托盘B中砝码的质量．
(3)当某次天平处于平衡状态时，此时托盘B中砝码的质量是100g.将托盘B中的砝码增加20g，若使天平再次平衡，托盘B应该如何移动？
22.(本小题6分)
如图，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，AB=AD=CD，∠ABC的平分线BE交AD于点F.
(1)求证：△ABC∽△FEA；
(2)已知CDCE=65.
①求AEAF的值；
②若CD=12，求AE的值．
23.(本小题9分)
图1是一个蔬菜大棚的横截面示意图，大棚截面顶部ADB的形状是抛物线，此截面上有7根垂直于地面AB的支柱(CD,MN是其中的两根支柱)，相邻两根支柱之间的距离均为4m(支柱的粗细忽略不计)，地面的两端点A，B与最近的支柱之间的距离也是4m，以A为坐标原点，地面AB为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系，中间最高的支柱CD的高度是12m.
(1)求大棚截面顶部抛物线的表达式；
(2)此截面上支柱MN在支柱CD的左边，且它们之间还有一根支柱，求支柱MN的高度；
(3)娟娟说：“垂直于地面的7根支柱中，一定有支柱的高度恰好是支柱CD高度的14.”娟娟说的对吗？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】本题考查了抛物线的顶点坐标，解题关键是掌握二次函数的顶点式为y=ax−h2+ka≠0，顶点坐标为h,k.
根据二次函数顶点式为h,k，解题即可．
【详解】解：抛物线y=x+12−1的顶点坐标−1,−1，
故选：A.
2.【答案】A
【解析】本题考查了中心对称图形、轴对称图形的识别，熟记中心对称图形的定义、轴对称图形的定义是解决问题的关键．
根据中心对称图形定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180 ∘，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形就是轴对称图形；根据中心对称图形的定义、轴对称图形的定义逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、选项中的图形既是中心对称图形、又是轴对称图形，符合题意；
B、选项中的图形不是中心对称图形、是轴对称图形，不符合题意；
C、选项中的图形不是中心对称图形、是轴对称图形，不符合题意；
D、选项中的图形既不是中心对称图形、也不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A.
3.【答案】C
【解析】本题考查反比例函数的性质，准确理解反比例函数的性质是解题关键．
反比例函数y=4x中k=4>0，图象位于第一、三象限，关于原点对称，且在每个象限内y随x的增大而减小，据此逐一判断即可．
【详解】解：A.k=4>0，则图象位于第一、三象限，故说法正确，不合题意；
B.当x=1时，y=41=4，所以点1,4在此函数图象上，说法正确，不合题意；
C.k=4>0，则图象在第一、三象限内，y随x的增大而减小，故说法错误，符合题意；
D.反比例函数的图象关于原点成中心对称，故说法正确，不合题意；
故选：C.
4.【答案】D
【解析】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，由垂径定理得到AC=12AB=6cm，设其截面圆的半径为rcm，则OA=OD=rcm,OC=OD−CD=r−3cm，再利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：由题意得，OD⊥AB于点C，
∴AC=12AB=6cm，
设其截面圆的半径为rcm，则OA=OD=rcm,OC=OD−CD=r−3cm，
在Rt△AOC中，由勾股定理得OA2=OC2+AC2，
∴r2=r−32+62，
解得r=7.5，
∴其截面圆的半径为7.5cm，
故选：D.
5.【答案】A
【解析】本题考查反比例函数图象与性质、二次函数图象与性质，熟记反比例函数图象与性质、二次函数图象与性质是解决问题的关键．
先由反比例函数图象与性质得到k0和b>0，因此b=c错误．
【详解】解：∵a−b+c=0①，b+c−a=0②，
①+②可得a−b+c+b+c−a=0，
∴2c=0，
∴c=0，
将c=0代入①得a−b+0=0，
∴a=b，故D选项正确；
∵a+b+c>0，且a=b,c=0，
∴2a>0即a>0，同理可得b>0，故A、B选项正确；
∵b>0,c=0，
∴b≠c，故C选项错误，
故选：C.
10.【答案】B
【解析】本题考查动点最值问题——垂线段最短，涉及矩形性质、勾股定理、等面积法求线段长、对称性、相似三角形的判定与性质等知识，熟记相关几何性质，掌握动点最值问题-垂线段最短的解法是解决问题的关键．
先由矩形性质及勾股定理求出BD长度，作点A关于BD的对称点A′，连接AA′，交BD于点E，连接PA′，如图所示，再由等面积法求出AE=8 55、AA′=2AE=16 55，从而由对称性得到PA′=PA，将题中求PA+PQ的最小值转化为求PA′+PQ的最小值，根据垂线段最短，当点A′，P，Q三点共线，且A′Q⊥AD时，PA+PQ的值最小，过点A′作A′F⊥AD，垂足为F，如图所示，判定Rt△FAA′∽Rt△ABD，由相似比列方程求解得到A′F=6.4即可确定答案．
【详解】解：在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，∠BAD=90 ∘，
则由勾股定理可得BD= 42+82=4 5，
作点A关于BD的对称点A′，连接AA′，交BD于点E，连接PA′，如图所示：
∴AA′⊥BD，且AE=A′E，
则S△ABD=12AB⋅AD=12BD⋅AE，
∴12×4×8=12×4 5×AE，
解得AE=8 55，
∴AA′=2AE=16 55，
由对称性质可知PA′=PA，
∴PA+PQ=PA′+PQ，
根据垂线段最短，当点A′，P，Q三点共线，且A′Q⊥AD时，PA+PQ的值最小，过点A′作A′F⊥AD，垂足为F，如图所示：
∵∠FAA′+∠BAE=90 ∘，∠ABD+∠BAE=90 ∘，
∴∠FAA′=∠ABD，
∵∠BAD=90 ∘=∠AFA′，
∴Rt△FAA′∽Rt△ABD，
∴A′FAD=AA′BD，
即A′F8=16 554 5，
解得A′F=6.4，
即PA+PQ的最小值为6.4.
故选：B
11.【答案】−5
【解析】解：∵ab=23，
∴设a=2k，则b=3k，
∴a+ba−b=2k+3k2k−3k=5k−k=−5，
故答案为：−5.
利用设k法进行计算，即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
12.【答案】−10
【解析】本题考查反比例函数k的几何意义，熟记反比例函数k的几何意义是解决问题的关键．
设Am,n，由题意可得S△AOB=12OB⋅AB=−12mn=5，得到mn=−10，从而由反比例函数图象与性质得到k=mn=−10.
【详解】解：设Am,n，
∵AB⊥x轴于点B，
∴OB=−m,AB=n，
则S△AOB=12OB⋅AB=−12mn，
∵△AOB的面积为5，
∴−12mn=5，则mn=−10，
∵点Am,n在反比例函数y=kxx0，
当x=4时，y=6004=150，
∴托盘B中砝码的质量为150g；
【小题3】
解：设托盘B移动前和移动后与支点O的距离分别为acm，bcm，
∵移动前托盘B中的砝码质量为100g，
∴100=600a，解得a=6，
∵移动后托盘B中的砝码质量为120g，
∴120=600b，解得b=5，
∴a−b=6−5=1，
∴托盘B应该向左移动1cm.

【解析】1.
本题考查反比例函数解决实际问题，涉及描点法画反比例函数图象、待定系数法求反比例函数表达式、求反比例函数值等知识，读懂题意，作出图象得到反比例函数关系是解决问题的关键．
根据图中给出的表格中的数据，描点连线，即可得到函数图象，从而判断其为反比例函数关系，利用待定系数法求出表达式即可得到答案；
2.
由(1)知，函数表达式为y=600xx>0，将x=4代入函数表达式计算即可得到答案；
3.
设托盘B移动前和移动后与支点O的距离分别为acm，bcm，将其分别代入函数表达式为y=600xx>0，求出a,b的值作差即可得到答案．
22.【答案】【小题1】
解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
设∠ABE=∠CBE=α，
∵AB=AD=CD，
∴∠ABD=∠ADB=2α，∠CAD=∠C，
∵∠ADB是△ACD的一个外角，
∴∠ADB=∠CAD+∠C，
即2∠CAD=2∠C=2α，
∴∠CAD=∠C=α，
∴∠AEF=∠CBE+∠C=2α=∠CBA，
∴△ABC∽△FEA；
【小题2】
解：①∵△ABC∽△FEA，
∴AFAE=ACBC，
∵∠CAD=∠CBE，∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCE，
∴CDCE=ACBC，
∴AFAE=CDCE，
∵CDCE=65，
∴AFAE=CDCE=65，
∴AEAF=56；
②∵CDCE=65，AB=CD=12，
∴CE=10，
由(1)知∠ABC=∠AEB，
又∠BAC=∠EAB，
∴△ABC∽△AEB，
∴ABAE=ACAB，
∴12AE=AE+1012，
即AE2+10AE−144=0，
∴AE+18AE−8=0
解得AE=8或AE=−18(线段长度为负值，舍去)，
∴AE的值为8.

【解析】1.
本题考查相似三角形的判定与性质，涉及角平分线定义、等腰三角形性质、外角性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
由角平分线定义得到∠ABE=∠CBE，设∠ABE=∠CBE=α，根据等腰三角形性质、外角性质即可得出∠CAD=∠C=α、∠AEF=∠CBE+∠C=2α=∠CBA，从而判定△ABC∽△FEA；
2.
①由△ABC∽△FEA得到AFAE=ACBC，由△ACD∽△BCE得到CDCE=ACBC，等量代换确定AFAE=CDCE=65即可得到答案；
②由条件得到CE=10，先判定△ABC∽△AEB，进而由相似比列方程求解即可得到答案．
23.【答案】【小题1】
解：由题意知，点D的坐标为16,12，
设抛物线的表达式为y=ax−162+12，
则将点0,0代入y=ax−162+12，得a0−162+12=0，
解得a=−364，
∴抛物线的表达式为y=−364x−162+12
【小题2】
解：∵此截面上有7根垂直于地面AB的支柱(CD,MN是其中的两根支柱)，相邻两根支柱之间的距离均为4m(支柱的粗细忽略不计)，此截面上支柱MN在支柱CD的左边，且它们之间还有一根支柱
∴4×2=8m
∴点M与点D之间的水平距离是8m，
又∵点D的坐标为16,12，
∴点D的横坐标是16，
∴点M的横坐标为16−8=8
则将x=8代入y=−364x−162+12，得y=−364×8−162+12=9，
∴支柱MN的高度为9m
【小题3】
解：娟娟说的不对，理由如下：
∵中间最高的支柱CD的高度是12m.
∴14CD=3m，
当y=3时，得3=−364x−162+12，
解得x=16±8 3，
由(2)得点D的横坐标是16，
∵相邻支柱之间的距离均为4m，
∴所有支柱底端点的横坐标x都是4的整数倍，
∴不存在支柱的高度恰好是CD高度的14.

【解析】1.
本题考查了二次函数的应用，二次函数的解析式，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先理解题意，得出抛物线的顶点坐标为16,12，故设抛物线的表达式为y=ax−162+12，再把0,0代入计算，即可作答．
2.
根据相邻两根支柱之间的距离均为4m(支柱的粗细忽略不计)，此截面上支柱MN在支柱CD的左边，且它们之间还有一根支柱，故点M与点D之间的水平距离是8m，得出点M的横坐标为8，再代入y=−364x−162+12进行计算，即可作答．
3.
先结合中间最高的支柱CD的高度是12m以及是支柱CD高度的14，得出y=3，再代入y=−364x−162+12进行计算，得x=16±8 3，又因为点D的横坐标是16，相邻支柱之间的距离均为4m，故所有支柱底端点的横坐标x都是4的整数倍，即不存在支柱的高度恰好是CD高度的14.
托盘B与支点O的距离x/cm
1
1.5
2
2.5
3
托盘B中的砝码质量y/g
600
400
300
240
200