重庆市2025_2026学年高二数学上学期12月月考试卷含解析 (1)

这是一份重庆市2025_2026学年高二数学上学期12月月考试卷含解析 (1)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设，向量，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量共线性质可得、，即可得解.
【详解】由，则，解得，，故.
故选：B.
2. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出焦点坐标和渐近线方程为，再利用点到直线的距离公式即可求出结果.
【详解】因为抛物线的焦点，又双曲线的渐近线方程为，
所以焦点到双曲线渐近线的距离为.
故选：D．
3. 已知直线的点斜式方程为，则该直线的一个方向向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线的斜率确定方向向量.
【详解】直线方程为，斜率为2，
选项A中，选项B中，选项D中，
选项C中斜率为.
所以该直线的一个方向向量为C.
故选：C.
4. 已知数列满足，，则（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据题目条件可得数列是周期为3周期数列，.
【详解】由数列满足，，可得：
，
，
，，
故数列是周期为的周期数列，.
故选：A
5. 在等差数列中，若，则（ ）
A. 30B. 40C. 45D. 60
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列的下标性质可求出结果.
【详解】因为数列为等差数列，且，
所以，即，
所以.
故选：C
6. 《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（ ）
A. B. 4C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求.
【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图，
设，因为，
所以，
，
设异面直线与所成角为，
则，
解得，即.
故选：B.
7. 已知，若两圆和恰有一条公切线，则的最大值为（ ）．
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】将两圆方程化为标准方程，根据两圆恰有一条公切线得出两圆的位置关系，进而得到满足的关系式，最后利用三角换元求出的最大值.
详解】圆，即，圆心，半径
圆，即，圆心，半径
两圆恰有一条公切线，说明两圆内切，圆心距等于半径之差：
令，则最大值为
故选：B.
8. 已知为椭圆的左顶点，、是椭圆上的点.若四边形满足，，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合椭圆的对称性可得，则，设为直线的倾斜角，可得，进而求得的范围，得解.
【详解】由题意知，由知为平行四边形，则、关于轴对称，
设，（不妨设），将点坐标代入椭圆方程可得，
因为，设为直线的倾斜角，则，
所以，所以，
.
所以椭圆离心率的取值范围为.

故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 下列四个选项中，正确的是（ ）
A. 数列与数列是同一数列
B. 数列是递减数列
C. 数列的一个通项公式是
D. 数列的通项公式为，则110是该数列的第11项
【答案】BD
【解析】
【分析】由数列的定义可判断ABC，由求解可判断D.
【详解】对于A，由数列概念，显然不是同一数列，错误，
对于B，由，即数列为递减数列，B正确，
对于C，由观察法可知，C错误，
对于D，由，解得，D正确，
故选：BD
10. 已知圆与圆交于A，B两点，则（ ）
A. 圆与圆有两条公切线
B. 直线AB的方程为
C.
D. 线段AB的垂直平分线的方程为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，进而判断圆的位置关系确定切线条数，可判断A；两圆方程作差求相交弦方程可判断B；应用几何法求相交弦长可判断C；垂直关系求斜率并应用点斜式求直线方程可判断D.
【详解】对于A，由，则圆心，半径，
由，则圆心，半径，
所以，即，故两圆相交，
所以圆与圆有两条公切线，故A正确；
对于B，两圆作差有，
整理得，故B错误；
对于C，由到的距离，
则，故C错误；
对于D，由B知，则线段的垂直平分线的斜率，且直线过,
故线段的垂直平分线的方程为，故D正确.
故选：AD
11. 已知 是抛物线 的焦点，不过原点的直线 与抛物线相交于 、 两点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若直线过点，则的最小值为2
B. 若直线过点，点在第一象限，，则直线的倾斜角为
C. 若，线段的中点为，则到轴的距离最小值是2
D. 若直线过点，则原点在以线段为直径的圆内
【答案】BCD
【解析】
【分析】设，联立方程组，求得，由，可判定A错误；根据抛物线的焦半径公式，求得，结合斜率和倾斜角的定义，可判定B正确；分析直线过抛物线的焦点和直线不过抛物线的焦点，两种情况讨论可求得到轴的距离，可判定C正确；根据抛物线的定义过点作，得到以为直径的圆与准线相切，可判定D正确.
【详解】由抛物线的焦点，准线方程为，设，
对于A，根据抛物线的定义，可得，
则，
设，联立方程组，整理得，
则，所以，
所以，所以的最小值为，所以A错误；
对于B，由抛物线的定义，可得，解得，则.
因为点在第一象限，可得，即，所以，
设的倾斜角为，可得，所以，所以B正确；
对于C，当直线过抛物线的焦点时，则，
可得，因为是线段的中点，所以，
所以到轴的距离为；
当直线不过抛物线的焦点时，可得，
所以，解得.
因为是线段的中点，所以，即到轴的距离大于，
综上可得，所以到轴的距离的最小值为，所以 C正确；
对于D，由直线过抛物线的焦点，过分别作，垂足分别为，
根据抛物线的定义，可得，且
在过点作，垂足为，可得，
所以以为直径的圆与准线相切.
（几何直观）由图可知，为钝角，所以，所以原点在以为直径的圆的圆内.
（代数证明）设，由A可知，，，
，，
，所以，
故原点在以为直径的圆的圆内，所以D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）．
12. 已知在等差数列中，且，则数列的通项公式________．
【答案】
【解析】
【分析】利用等差数列基本量的计算求得公差，可求通项公式.
【详解】设等差数列公差，由题意：，
又，所以，则；
故等差数列的通项公式为.
故答案为：.
13. 在棱长为1的正方体中，E为BC中点，则点到平面的距离为________________.
【答案】
【解析】
【分析】建立坐标系，利用点面距的向量求解公式可得答案.
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则,;
设平面的一个法向量为，则，即，
令，可得，
设点到平面的距离为，则，
故答案为：

14. 点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线：与直线：的交点为B，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意求出直线与的交点B为圆心在，半径为2的圆，由双曲线的定义可得，当，，三点共线时，最小，过与圆心的直线与圆的交点且在和圆心之间时最小.
【详解】联立直线，的方程，故
若，则，
若，则，且，故，
可得交点的轨迹为圆心在，半径为2的圆（除去点），
由双曲线的方程可得，，焦点，右焦点，
可得，所以，
当点在线段上时，最小，即最小，
所以，
当过与圆心的直线与圆的交点在和圆心之间时最小．
所以最小值．
故答案为：.
四、解答题：本题共5个小题，共77分，各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）．
15. （1）已知数列的前n项和，求的通项公式；
（2）已知等差数列满足，，求数列的通项公式．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用与的关系求解即可；
（2）利用等差数列的性质求解即可.
【详解】（1）当时，
当时，，
故，
所以的通项公式是，
（2）设等差数列公差为，，
则，又，
则，所以，
则
16. 已知直线，．
（1）求过直线与的交点，且与直线平行的直线l的方程；
（2）求过点，，且圆心在直线上的圆C的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出交点坐标，由平行得直线斜率，由点斜式得直线方程并整理；
（2）设出圆的一般方程，代入已知条件列方程组求解．
【小问1详解】
由解得，，即直线与的交点为，
直线的斜率为，直线的斜率，
直线的方程为，即：．
【小问2详解】
设圆的方程为，
则由题意有，解得，，
所以，圆的方程为
17. 已知点，，动点P满足．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）过点作直线l与曲线E交于C，D两点，问是否存在直线l使得成立，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）不存在，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）设点坐标为，利用斜率公式，结合已知列方程化简可得；
（2）设出直线方程，联立曲线E的方程消去，利用韦达定理和中点坐标公式求出斜率，通过判别式检验可得结论.
【小问1详解】
设点坐标为，，，，
又，所以，
整理得轨迹的方程为．
【小问2详解】
不存在，理由如下：
当直线斜率不存在时，直线的方程为，与双曲线的两交点为，
所以，所以不符合题意；
当直线斜率存在时，设直线的斜率为，则直线的方程为：，
联立，消去得，
直线与曲线交于，两点，所以．
若成立，则为的中点，
设，，则，解得，
当时，，不满足题意，
故不存在直线l使得成立．
18. 如图，棱长为2的正方体中，，．
（1）若时，
（ⅰ）求证：面；
（ⅱ）求CP与面BPD所成角的正弦值；
（2）求二面角的余弦值的取值范围．
【答案】（1）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）；
（2）
【解析】
【分析】（1）（ⅰ）连接，交于，证明，再由线面平行判定定理得证，（ii）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值；
（2）利用向量法得出二面角的余弦的表达式，求取值范围即可.
【小问1详解】
（ⅰ）证明：连接，交于，因为正方形，所以是中点．
又因为是中点，所以，又面，面，
面；
（ⅱ）解：以为原点，，，分别为，，轴正方向建立如图的空间直角坐标系，
得，，，，，
，，，，
设平面法向量，
则，取，得，
所以所求角的正弦值为．
【小问2详解】
由，可得，所以，，
设平面法向量，
则，令，得，
所以平面的一个法向量为，
设平面法向量，则.
取，得，
所以平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，由图可知为锐角，
当时，；当时，，
令，得；
综上二面角的平面角的余弦值范围为．
19. 已知点F为椭圆的右焦点，过点F作x轴的垂线交椭圆于点.过点P作椭圆的切线，交x轴于点Q.
（1）求椭圆的方程；
（2）求点Q的坐标；
（3）过点Q的直线交椭圆于A，B两点，过点A作x轴的垂线与直线交于点D，求证：线段的中点在定直线上.
【答案】（1）
（2）
（3）在定直线上
【解析】
【分析】（1）由题中所给的半焦距与半通径，可解得进而确定椭圆方程；
（2）设出过点的直线，与椭圆联立后使得判别式，解出直线，再求其与轴的交点即可；
（3）设出过的直线，设出，与椭圆联立后，计算出的中点坐标，结合韦达定理计算推理即可.
小问1详解】
由题可知，，又，可得.
因此椭圆的方程为.
【小问2详解】
易知过点且与椭圆相切的直线斜率存在，因此可设该直线为.
联立直线与椭圆整理得，
再令，整理得，解得.
则过点的切线方程为：，再令，得.
因此点的坐标为.
【小问3详解】

设过的直线方程，设点，线段的中点为，
联立，得，
令，得，即或.
根据韦达定理，由，，
直线的方程为.
则.
于是，
.
，
因此点在直线上，
即线段中点在定直线上.