专题10 期末真题百练通关（104题7大解答压轴题型）（九上+九下）2026年九年级数学（人教版）上学期（期末复习专项练习）（含答案）

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题型一 二次函数与几何图形结合（共7小题）
1．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）已知，抛物线与轴交于点，过点作轴，与抛物线交于点．
(1)若抛物线经过点；
①点的坐标为______；
②如图，连接，作的角平分线，交抛物线于点，交于点，求点的坐标；
(2)若点，在抛物线上，且，求的取值范围；
(3)已知，点，，若抛物线与线段有且只有一个交点，请直接写出的取值范围．
【详解】（1）解：∵抛物线过点；
∴，
∴，
∴抛物线解析式为：，
∴抛物线与轴交于点坐标为，
当时，即，解得：，；
∴点
过点D作，垂足为H，
∵轴，
∴轴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，即直线解析式为，
联立抛物线和直线解析式得：
，
解得：，（不合题意舍去），
∴点
（2）∵点，在抛物线上，
∴，，
当时，即，
即：，解得：；
（3）∵抛物线 ，
∴抛物线对称轴为，顶点为
∵点，，若抛物线与线段有且只有一个交点，
I.当抛物线的顶点在线段上时，
即：，解得：，
II. 当抛物线顶点落在上方时，
当时，，
当时，，
∵，对称轴为，
∴，
∵抛物线与线段有且只有一个交点，
∴与线段有且只有一个交点，一定在对称轴右侧，
∴
解得：，
综上，的取值范围是或．
2．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图1，抛物线与轴交于、，与轴交于，，且的面积为6．
(1)求抛物线的对称轴和解析式；
(2)、为抛物线上两点，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，设点横坐标为，求的值；
(3)如图2，过定点的直线交抛物线于、两点，过点的直线与抛物线交于点，试探究直线是否经过某一定点，若是，求该点坐标；若不是，说明理由．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，，
∴，则，
∵的面积为6，
∴，则，
∴，
将和代入中，得
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由题意，设，，有三种情况：
当为对角线时，则：，
∴，
将F坐标代入抛物线解析中，得，
解得：；
当为对角线时，则，
∴，
将F坐标代入抛物线解析中，得：
，
解得；
当为对角线时，则，
∴，
将F坐标代入抛物线解析中，得，
解得，；
综上，满足条件得m值为或或或；
（3）解：设，，
设直线的解析式为，
由得，
∴，，则，，
∴直线的解析式为，
∵直线经过定点，
∴，则，
∵直线经过点，与抛物线交于点，
∴，则，
∴直线的解析式为，
由得，，
∴，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线解析式为，
即，
当时，，
∴直线必过定点．
3．（24-25九年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴上，．抛物线与轴交于，两点．
(1)如图1，若抛物线经过点，求抛物线的表达式；
(2)如图2，在（1）的条件下，连接，为线段上一点，连接，若，请判断和是否相等，并说明理由；
(3)若抛物线的顶点为，取的中点，则以，，为顶点的三角形能否为直角三角形？若能，请直接写出的值；若不能，请说明理由．
【详解】（1）解：∵矩形的顶点，分别在轴，轴上，，
∴，
∵抛物线与轴交于，，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图，连接，
∵矩形的顶点，分别在轴，轴上，，
∴，，
∴，
∵，，设，
∴，，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴和相等；
（3）解：∵抛物线与轴交于，
∴，
∴，
∴抛物线为，
∴顶点为，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
，
，
如图，当时，则为直角三角形；
∴，
解得：或；
当时，则为直角三角形；如图，
∴，
解得：；
当时，则为直角三角形；
∴，
整理得：，
∴，
∴该方程无解；
综上：为直角三角形，则或或或．
4．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)试在线段上方抛物线上找一点，使得的面积最大，求出最大面积是多少？
(3)直线上是否存在两点，，使得为以为斜边的等腰直角三角形，若存在，请说明理由，并求点的坐标．
【详解】（1）解：抛物线经过，两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：由（1）得：抛物线的解析式为，
令，则，
，
设直线的解析式为，
直线经过点，，
，
解得：，
直线的解析式为，
如图，过点作轴于点，交于点，
设，则，
，
，
抛物线开口向下，
当时，取得最大值，，
此时，点的坐标为，
，
，
答：当点的坐标为时，的面积最大，最大面积是；
（3）解：存在，点的坐标为或，理由如下：
设点的坐标为，
如图，过点作轴于点E，过点作轴于点，
则，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
点在直线上，
，
解得：，
把代入，得：
，
点的坐标为；
可以和互换位置，
；
综上，满足条件的点有或．
5．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，是抛物线上一点．
(1)求n的值；
(2)直线与y轴左侧的抛物线交于A、B两点（点A在点B的右侧），、分别交y轴于点C、D，M是抛物线与y轴的交点．
①求线段的取值范围；
②试问的值是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由．
【详解】（1）解：把点代入，
得
（2）解：①抛物线与y轴的交点为
且直线与y轴左侧的抛物线交于A、B两点，当时，，
，
由，
整理得：，
此时方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∴，
∴解方程得：，
点A在点B的右侧
，
，
②由①知直线与y轴左侧的抛物线交于，两点
又∵点，
设直线为，
∴，
解得：，
直线解析式为：，
同理可得：直线解析式为：，
同理可得：点，点，
又抛物线与y轴的交点
为定值．
6．（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知：如图1，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)如图2，点为该抛物线第四象限上的一点，连接，，使，请求出点的坐标；
(3)点为该抛物线对称轴上的一点，问在（2）的条件下，该抛物线上是否存在点，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：把点，点，点代入
得，
解得，
抛物线的解析式为：；
（2）解：在轴上截取，连接，过点作于，过点作轴于，如图所示：
，，
，
，
，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
设，
，；
又，
，
，
又，
，
，即，
解得（舍去），，
；
（3）解：抛物线的对称轴为：，
假设存在，设，，
根据解析（2）可知：，，
分两种情况讨论：
当为四边形的对角线时，根据中点坐标公式得：
，
解得：，
∴此时；
当为四边形的对角线时，根据中点坐标公式得：
，
解得：，
∴此时；
当为四边形的对角线时，根据中点坐标公式得：
，
解得：，
∴此时；
综上分析可知：点Q的坐标为，，．
7．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数的图像经过点、，、是该二次函数图像上的两个动点，它们的横坐标分别为、．
(1)求二次函数的表达式：
(2)如图1，点在直线的下方，过点作轴于点，交于点，连接、、．若，证明：；
(3)如图2，抛物线顶点为，过坐标原点，过点作轴的平行线，分别交直线、于点、．请问是否存在常数，使恒成立？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由．
【详解】（1）解：二次函数的图像经过点、，
∴，
解得：，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：设直线的解析式为，代入、，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
∵，则，，
∴，，点到的距离为，
又∵，
∴点到的距离为，
∴
∴；
（3）解：∵抛物线顶点为，则
设直线为，
联立
∴
设，，
∴，，
如图所示，过点作直线，过点作的垂线，垂足分别为，
∴，，
∴
∵
∴
即，
∴
又∵则
∴
又∵
∴四点共圆，
又∵，
∴
∴
∴垂直平分
又
∴，即．
题型二 二次函数与最值（共7小题）
8．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知关于的函数．
(1)当，时，
①求当时，该函数的最小值；
②当时，有最小值为，求当时，的最大值．
(2)当时，若该函数图象与坐标轴有两个交点，求的值；
(3)当，且时，若该函数图象与轴有两个不同交点，试说明该图象与直线始终有两个交点，并求出这两点之间距离的取值范围．
【详解】（1）解：①当时，，
∴二次函数的对称轴为直线，
∵，
∴二次函数开口向上，
∴当时，随着的增大而减小，
∴当，该函数的值最小，为；
②∵，
∴当时，有最小值为，
解得：，
∴，
当时，，当时，，
∴当时，的最大值为；
（2）解：当时，，
∵当时，该函数图象与坐标轴有两个交点，
∴当时，
解得：或，
当时，，与坐标轴只有一个交点，不符合题意；
当时，，符合题意；
当且过原点时，
将代入得：，
∴，
∴此时函数解析式为，符合题意；
综上所述，或；
（3）解：当时，，
∵该函数图象与轴有两个不同交点，
∴，
∵，
∴，
∴；
联立可得：，
∴，
∴该图象与直线始终有两个交点，
设两个交点为，，
由一元二次方程根与系数的关系可得：，，
∴
，
∵，
∴．
9．（24-25九年级上·天津南开·期末）抛物线（为常数，）的顶点为，抛物线与轴相交于和两点，抛物线与轴相交于点．
(1)若，点在抛物线上，设点的横坐标为，且．
①求抛物线的解析式和顶点的坐标；
②若的面积与的面积相等，求的值；
(2)和是轴上的两动点，当的最小值为时，直接写出和的值．
【详解】（1）解：①，和代入，
得，
解得，
∴，
∴，
∴；
②当时，，
∴，
设解析式为，
则，
解得，
∴
∵，
∴，
当点Q在下面时，
设解析式为，
则，
∴，
∴，
∵点Q为与抛物线的交点，
∴，
解得，或（舍去）；
当点Q在上面时，
作点A关于点B的对称点，
则，
同理可得的解析式为，
则，
解得，或；
综上，，或，或；
（2）解：和代入，
得，
解得，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴，
取点C关于x轴的对称点，
向右作线段，使，连接，
则，，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
当N运动到上时，，取得最小值，
∵，的最小值为，
∴，
∵，
∴解得，
∴，，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴，
当时，，
∴，
解得，．
10．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求、、三点的坐标；
(2)如图1，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状，并说明理由；
(3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且．在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：在中，令，则，
解得：，，
点，点，
令，则，
点；
（2）四边形为平行四边形，理由如下：
，，
设直线的表达式为，
则，
解得：，
故直线的表达式为，
设点的坐标为，则点的坐标为，
则，
，故有最大值，当时，的最大值为，
，，
四边形为平行四边形；
（3）是的中点，点，
点，
由（2）知，当时，的最大值为，
当时，，
，
设直线的表达式为，将，代入得：
，
解得：，
直线的表达式为，
过点作轴于点，设直线与轴交于点，
则，，故，
而，
，
则直线和直线关于直线对称，
，
，，
，，
，
，
设直线的表达式为，将，代入得：
，
解得：，
直线的表达式为，
联立，
解得：或（不合题意，舍去），
点，
设点，
，，
，，，
当时，，
解得：；
当时，即，方程无解；
当时，即，
解得；
综上所述，点的坐标为或或．
11．（24-25九年级上·全国·期末）已知抛物线交x轴于O，两点，顶点为，点C为的中点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，点C为线段的中点，过点C作，垂足为点H，交抛物线于点E；求线段的长
(3)点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形．
①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
②如图3，连接，，直接写出的最小值
【详解】（1）解：由题意得，，
将点的坐标代入得，
，
解得，，
∴抛物线的解析式为，
即；
（2）解：如图1，∵，，点是的中点，
∴点的坐标为，
当时，，
∴点，
∵点的坐标为，
则；
（3）解：①如图2，∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点，
∴当时，，
解得：，（舍），
∴点；
②设点，则点，
如图3，过点作直线轴，
作点F关于直线l的对称点，连接，
则，
当，，三点共线时，为最小，
由定点，的坐标得，直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得，，
则点，点，
则最小值为：，
即最小值为．
12．（24-25九年级上·吉林白城·期末）如图，抛物线的顶点坐标为，且经过点．点P是第一象限内的抛物线上的点；且在对称轴右侧，过点P作轴于点M，轴于点N，设点P的横坐标为m．
(1)求这条抛物线对应的函数解析式；
(2)当四边形为正方形时，求m的值；
(3)求四边形的周长的最大值；
(4)若直线与这条抛物线的另一个交点为点Q，直接写出当时m的值．
【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线对应的函数解析式为，
抛物线经过点，
，
解得：，
抛物线对应的函数解析式为；
（2）解：点P在抛物线上，点P的横坐标为m，
点P的坐标为，
当四边形为正方形时，，
，
解得：，，
令，则，
解得：，，
抛物线与轴正半轴交点坐标为，
点P是第一象限内的抛物线上的一点，且在对称轴右侧，抛物线的对称轴为直线，
的取值范围为，
的值为；
（3）解：设四边形的周长为，
则，
，，
当时，四边形的周长有最大值，最大值为；
（4）解：设点的横坐标为，
当时，，
解得：，
当时，，即：，
解得：，
当时，，即：，
解得：，
由（2）可知：，
不符合题意，故舍去，
．
13．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点的坐标为，与轴交于点，直线经过两点．
(1)求抛物线的解析式与顶点坐标；
(2)若点为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，过作轴，交直线于点，以为边作矩形，设矩形的周长为，求当点在何位置时，周长有最大值，并求出最大值．
【详解】（1）解：直线经过点，当时，，
∴，
将，代入，得，
得，
∴抛物线的解析式为：；
当时，，
∴顶点坐标为；
（2）解：当=0时，
解得：，
∴，
将代入，
得：，
∴ ，
∴直线为：，
∵D在直线上，设，
则E点坐标，
∴，
解得：，
∴，
∴，，
矩形周长；
∴当时，l取最大值为12，
此时．
14．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）数学研究小组发现，研究二次函数相关问题时，既可以从“形”的角度入手，也可以从“数”的角度进行．
(1)二次函数的图像上有两点、，当时，______；（用“＞”“=”或“