专题04 图形的相似全章8大常考题型汇总2026年九年级数学（人教版）上学期（期末复习专项练习）（含答案）

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题型1 成比例线段与黄金分割（常考）
题型5 相似三角形实际应用（难点）
题型2 平行线分线段成比例（常考）
题型6 相似三角形的性质与判定综合及动点问题（难点）
题型3 相似多边形（常考）
题型7 图形的位似（常考）
题型4 探索三角形相似的条件（难点）
题型8 相似三角形常考模型（难点）
题型一 成比例线段与黄金分割（共12小题）
1．（24-25九年级上·广东清远·期末）已知2，6，7，x成比例，则x的值为（ ）
A．B．C．D．21
2．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）若，则下列等式错误的是 （ ）
A．B．C．D．
3．（22-23九年级上·广西贺州·期末）如果线段，那么的值为（ ）
A．B．C．D．2
4．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，线段上的一点把分割为两条线段，，当满足时，则称点是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）若，则的值为 ．
6．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）已知点C是线段的黄金分割点，且．若，则 ．
7．（24-25九年级上·全国·期末）已知线段，，．若线段a，b，c，d成比例，即，则线段d的长为 ．
8．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在比例尺为的某地旅游地图上，经测量景点与景点相距约，则这两景点实际距离约 ．
9．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）已知，，为的三边，且，，求的三边，，的长．
10．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知线段a、b满足，且．
(1)求线段a、b的长；
(2)若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长．
11．（23-24九年级上·四川达州·期末）已知线段、、满足，且．
(1)求a、b、c的值；
(2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
12．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）（1）在图①中按下列步骤作图：
第一步：过点C画，使；
第二步：连接，以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点E；
第三步：以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点B．
（2）在所画图中，点B是线段的黄金分割点吗？为什么？
（3）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你在图②中以线段为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形．（不写作法，保留作图痕迹）
题型二 平行线分线段成比例（共6小题）
13．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图所示，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
14．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，直线，直线和被，，，，则的长为（ ）
A．4B．C．5D．6
15．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，两条直线被三条平行线所截，，则的长为 ．
16．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ．
17．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，直线，直线和被，，所截．如果，，，求的长．

18．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图，．
(1)直接填空；的值为______，的值为______；
(2)若，求和的长．
题型三 相似多边形（共7小题）
19．（22-23九年级上·山东济宁·期末）下列说法不正确的是（ ）
A．所有的正五边形都相似B．所有的正方形都相似
C．所有的正三角形都相似D．所有的等腰三角形都相似
20．（24-25九年级上·四川成都·期末）下列各选项中的两个图形不一定相似的是（ ）
A．两个斜边不等的等腰直角三角形
B．两个边长不等的菱形
C．两个边长不等的等边三角形
D．两个边长不等的正方形
21．（24-25九年级上·河南郑州·期末）一块矩形的纸片的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的两个矩形，且使裁成的每个矩形的宽和长的比与原纸片的宽与长的比相同，即，则a的值为（ ）．
A．B．C．2D．
22．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）已知两个相似四边形的相似比是，较小四边形的周长为，则较大四边形的周长为 ．
23．（24-25九年级上·广西北海·期末）“碧波深处藏珍宝，珠城扇贝名远扬”，如图是两个形状相同的扇贝图案，则图中的值为 ．
24．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，分别为边，上的点，连接．若，，，求的长．

25．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，学校植物园是一块边长为5米的正方形，现将其扩大成矩形，且使得矩形矩形，求的长．
题型四 探索三角形相似的条件（共12小题）
26．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，选项中的阴影三角形与相似的为（ ）
A．B．C．D．
27．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，在的方格中，画有格点（阴影部分）与相似的是（ ）
A． B． C．D．
28．（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）下列条件中，不能判定以、、为顶点的三角形与相似的是（ ）
A．，B．，，
C．，D．，
29．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，，则补充下列条件仍不能说明的是（ ）
A． B．
C．D．
30．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，已知，P是上一点，连接，要使，只需添加条件 ．（只要写出一种合适的条件）
31．（23-24九年级上·甘肃张掖·期末）如图，已知，则图中相似三角形是 ．

32．（24-25九年级上·河南濮阳·期末）如图，在正方形网格中的斜三角形：①；②；③．其中能与相似的是 （只填写序号）
33．（23-24九年级上·广东佛山·期末）已知：如图，、交于点，请添加一个条件________，使得，然后再加以证明．
34．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，是边上的高，平分，且分别与相交于点E，F．求证：．
35．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知：如图，，且，请认真研究图形与所给条件，然后找出一对相似的三角形，并证明你的猜想．
36．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，中，点D在上，连接．已知，，，求证．
37．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，在中，．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若（1）中所作的角平分线与边交于点D，求证∶．
题型五 相似三角形实际应用（共7小题）
38．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题．其大意为：如图，已知古井的直径为5尺，不知古井的深度，在井口边沿处立木杆，且尺，从木杆顶部点观测古井底部对岸点，视线与井口直径交于点尺（寸），问古井的深度为多少尺．若设古井的深度为尺，则所列方程为（ ）
A．B．C．D．
39．（24-25九年级上·河南郑州·期末）小明和爸爸都站在平地上，他们的身高分别为和，在某一时刻，小明在太阳下的影子长为，此时，小明爸爸的影子长为 ．
40．（24-25九年级上·全国·期末）如图，为测量电视塔的高度（包括台阶高），小亮在自己与电视塔之间竖立一根高的标杆（即 ）．当他距标杆时（即点 处），塔尖 、标杆的顶端 与小亮的眼睛 恰好在一条直线上．已知小亮的眼睛距地面的高度是，标杆与电视塔之间的距离是，则电视塔的高度是 ．
41．（22-23九年级上·浙江台州·期末）景区有一口水井，距离井边米处是最深的井底，小明想知道井有多深，于是走进观察，在距离井边米处刚好能看见井底，如果小明眼睛离地面的高度米，你能计算出水井的深度吗？
42.（23-24九年级上·辽宁大连·期末）2023年11月23日，第十批在韩中国人民志愿军烈士遗骸归国．英烈们前仆后继的牺牲奉献，换来了我们国家的富强和人民的幸福，在抗美援朝期间“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法（图1）．如图2，点A为左眼，点B为右眼，点O为右千大指，点C为敌人的位置，点D为敌人正左侧方的某一个参照物（，目测的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算C处敌人距离我方的大致距离．已知大多数人的眼距长约为厘米左右，手臂长约为厘米左右，若的估测长度为40米，那么的大致距离为多少米．

43．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，为了测量一栋楼的高度，嘉嘉同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好通过光的反射在镜子中看到楼的顶部，已知嘉嘉身高是，她的眼睛（点K）距地面，同时量得，．
(1)若，则 ；
(2)求这栋楼的高度．
44．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯，之间行走，点，为光源，影子和在线段上，图①，图②为示意图．已知，小静的身高，于点，．
(1)如图①，当点为中点时，分别求线段，的长．
(2)如图②，当点不是中点时，设，求线段的长．（用含有的代数式表示）
(3)由此，你觉得与存在怎样的数量关系？
题型六 相似三角形的性质与判定综合及动点问题（共16小题）
45．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，已知，点，，在同一条直线上，点在边上．若，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
46．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
47．（24-25九年级上·山西长治·期末）下列四个1×5的正方形网格中，均有两个涂色的三角形，其中在同一网格中的两个三角形相似的是（ ）
A．B．
C．D．
48．（24-25九年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，，动点以的速度从点出发沿方向向点运动．动点以的速度从点出发沿方向向点运动．两点同时开始运动，当点运动到点的位置后，两点均停止运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（ ）
A．4.5s或4.8sB．3s或4.5sC．4.5sD．3s或4.8s
49．（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，点G为的重心，若，则为（ ）
A．B．C．D．
50．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）两个相似三角形面积比是，其中一个三角形的周长为，则另一个三角形的周长是 ．
51．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，分别是的边上的点，，，且，则的长为 ．
52．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．

53．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在中，，，点从点沿向以的速度移动，到即停，点从点沿向以的速度移动，到就停．若点从点出发后点从点出发，再经过 秒与相似．
54．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，点是的重心，连结并延长交于点，过点作交于点，如果，那么 ．

55．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，点从点出发沿以的速度向点移动，若两点同时移动，则经过几秒时，与相似？
56．（24-25九年级上·河南焦作·期末）某学校兴趣小组测量学校旗杆的高度，如图，一名同学直立站在点处，手持一块直角三角板，．且，斜边与地面平行，延长交于点，沿方向观察刚好看到旗杆的顶端，该同学身高米，点到旗杆底部的水平距离为米，求旗杆的高度．
57．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，点分别在边上，．
(1)求证：；
(2)如果，，，求的长．
58．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知：．
(1)尺规作图：作出 的重心G．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是 ．
59．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）图1，图2均为由边长为1的正六边形构成的网格，每个正六边形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，称为格点三角形．请用无刻度直尺按要求画出图形．
(1)在图1中画出将绕点逆时针旋转后的（保留作图痕迹并请标注字母）．
(2)在图2中画出两个大小不一的格点三角形，要求与相似但不全等（请涂填阴影）．
60．（24-25九年级上·河北保定·期末）数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．如图1，图2，在中，，，垂足为D．
【观察发现】（1）嘉嘉得出，理由如下：
请完成填空：①_________：②_________；③_________；
【探究应用】（2）如图2，F为线段上一点，连接并延长至点E，连接，且．
①若，，求的值；
②求证：．
题型七 图形的位似（共18小题）
61．（24-25九年级上·湖南永州·期末）下列图形中是位似图形的是（ ）
A．B．
C．D．
62．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图所示的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（ ）
A．点B．点C．点D．点
63．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）如图，与是位似图形，位似中心为点．若，的面积为2，则的面积为（ ）

A．6B．9C．18D．32
64．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，边在轴上，边在轴上，如果矩形与矩形关于点位似，且位似比为，那么点的坐标为（ ）
A．B．或
C．D．或
65．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（ ）
A．点QB．点PC．点ND．点M
66．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以坐标原点O为位似中心作一条线段，使该线段与线段AB的相似比为，正确的画法是（ ）
A．B．
C．D．
67．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，的面积为2，则的面积为（ ）
A．32B．18C．6D．4
68．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图1，以O为位似中心，作出的位似，使与的相似比为．图2和图3分别为珍珍和明明的作法，两人的作法中均保证，则下列说法正确的是（ ）
A．只有珍珍的作法正确B．只有明明的作法正确
C．两个人的作法都正确D．两个人的作法都不正确
69．（25-26九年级上·全国·期末）如图，点，以点O为位似中心，将放大为原来的2倍，则点E的对应点的坐标是( )
A．B．或C．或D．
70．（24-25九年级上·河南安阳·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，画，使它与的相似比为2，则点的对应点的坐标是 ．
71．（24-25九年级上·四川成都·期末）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，每个小正方形边长都是1，若、的顶点都在格点上且成位似关系，则位似中心的坐标是 ．
72．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）如图，与是位似图形，点是位似中心，若，则 ．
73．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，以点为位似中心，把放大为原来的2倍得到．以下说法正确的是 ．（填序号）
①；②；③点、、在同一条直线上；④．
74．（24-25九年级上·广东阳江·期末）如图，已知O是坐标原点，点B、点C的坐标分别为、．
(1)以O点为位似中心，在y轴的左侧将放大到原来的2倍得到；
(2)在（1）的条件下，若面积为m，则的面积为______．
75．（24-25九年级上·全国·期末）已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为．
(1)以O点为位似中心在y轴的左侧将放大到两倍，B，C两点的对应点分别为画出图形；
(2)直接写出的坐标是 ．
76．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，点在线段上运动．当以，，为顶点的三角形和相似时，求点坐标．
77．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图所示，点为方格纸上一格点三角形，为格点．
(1)以为原点建立平面直角坐标系，并写出、、三点坐标．
(2)画出向左平移3个单位后的△A1B1C1
(3)以为位似中心作，且位似比为，并写出点、、的坐标．
78．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在格点上，请利用坐标系中的格点的特点按下列要求作图：
(1)如图1，在格点上作出以原点O为位似中心，在第三象限内的，使得它与为位似图形，且位似比为2：1（不写作法，保留作图痕迹），并写出点的坐标．
(2)如图2，在线段上利用格点求作点M，使得并利用相似三角形的知识简要说明理由．
(3)如图3，请利用格点在的边上，求作一点N，使得，并简要写出你的作法．
题型八 相似三角形常考模型（共12小题）
79．（23-24九年级上·广东清远·期末）如图，点均在边长为1的小正方形网格的格点上，连接，
求证：．
80．（22-23九年级上·河北秦皇岛·期末）如图1，为等边三角形，，点D为边上的动点（点D不与点B，C重合），且，交边于点E．
(1)求证：；
(2)如图2，当D运动到的中点时，求线段的值；
81．（24-25九年级上·辽宁辽阳·期末）【问题提出】：
如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，（），交于点G，探究与的数量关系．
【问题探究】：
（1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数
（2）再探究一般情形，如图1，求的度数：（用含的代数式表示）
【问题拓展】：
（3）如图3，当，时，若点G为边的三等分点，请直接写出的长．
82．（24-25九年级上·福建泉州·期末）在中，，E是上的一点，过点E作于点D．
(1)如图1，求证：．
(2)连接，平分，G是上的一点，与交于点F，，．
①如图2，当时，求的值．
②如图3，当F为的中点时，求的值．
83．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）如图1，中，，，．延长到D，使，过D做交延长线于E．
(1) 小明发现，不但存在，而且还能够得出：的长为________，的长为________；
(2)将图1中的绕点A旋转到图2位置，连接，，当时，求的长度；
(3)在旋转过程中，当B，C，E共线时，直接写出的长度．
84．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）阅读并回答问题．
数学课上，老师“以等腰直角三角形为背景探究旋转变换下的相似图形”为题和同学们展开了一节探究活动课．
【初步感知，发现相似】
（1）具体过程是：将两个大小不同的等腰直角三角板的一个顶点重合，然后将较小的三角板绕重合的顶点进行旋转，画出旋转后的图形，找出其中的相似三角形．
展示1：如图1，和都是等腰直角三角形，，则，相似比为1，或者说．
展示2：如图2，和都是等腰直角三角形，，则与的关系是：__________．
【感悟方法，尝试应用】
（2）如图3，在等腰直角三角形中，，点D为边上一点，以为一边作正方形，连接，求证：．
【迁移拓展，解决问题】
（3）如图4，在等腰直角三角形中，，点E为边上一点，，若，求的长．
85．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）问题情境：
（）综合与实践课上，老师让每个小组准备了一张矩形纸片，其中，．如图，把矩形绕点逆时针旋转得到矩形纸片，点的对应点为，，，如图，连接，当在的延长线上时，延长，交于点．判断与的数量关系并说明理由．
数学思考：
（）老师将矩形纸片绕点逆时针方向再次旋转，并让同学们提出新的问题．
①“爱数小组”提出问题：如图，当点落在上时，连接，取的中点，连接、，求的长．请你解答此问题：
②“好学小组”提出问题：如图，当点落在上时，连接，求的面积．请你解答此问题．
86．（24-25九年级上·陕西西安·期末）
【问题提出】
（1）如图1，与相交于点，连接，，，，若的长为21，求的长；
【问题解决】
（2）如图2，四边形是一个植物园的花卉区，经测量，，工作人员计划将该花卉区进行扩建，在对角线上取一点，在边的延长线上取一点，连接，，，与交于点，根据工作人员的规划要求，与相等，与互相垂直，在扩建部分区域内）新增加一种花卉，请你判断与之间的数量关系，并说明理由．
87．（24-25九年级上·四川成都·期末）数学综合与实践小组同学对“一线三直角”图形进行了深入研究．如图，在中，，，，将斜边绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线，交直线于点．
【初步感知】
（1）求的长；
【深入研究】
（2）连接交于点，求的长；
【拓展延伸】
（3）若点在直线上，满足，请直接写出线段的长．
88．（23-24九年级上·山西长治·期末）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究．
(1)【问题发现】
如图①，在等边中，点P是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接．则的长为____________；
(2)【问题提出】
如图②，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，连接．试说明；
(3)【问题解决】
如图（3），在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，连接．若，求的长．
89．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，旋转角为
【初步感知】
（1）如图1，连接，将三角形纸片绕点B旋转，求的值；
【深入探究】
（2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长；
向阳小组的小明同学首先推导出的大小，接着小亮同学通过延长交于点H并连接，得到四边形的形状，然后小颖又推导出…你受到了什么启发？请写出完整的解答过程；
【拓展延伸】
（3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段的长度；若不能，请说明理由．
90．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践
已知矩形，点在边上，点在边上，点在边上，，垂足为点．
(1)如图1，当时，点与点重合时，则与的数量关系是：_______（填“>”、“=”、“