2022-2023学年广东省广州市白云区华南师范大附属太和实验学校九年级上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份2022-2023学年广东省广州市白云区华南师范大附属太和实验学校九年级上学期期末数学试卷（含答案），共30页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一个选项是符合要求的）
1．（3 分）垃圾分类一小步，低碳生活一大步，垃圾桶上常有以下四种垃圾分类标识的图案和文字说明，其中图案是中心对称图形的是()
A．有害垃圾B．厨余垃圾
C． 其它垃圾D． 可回收物
2．（3 分）平面直角坐标系中， O 的圆心在原点，半径为 5，则点 P(0, 4) 与O 的位置关系是()
A．点 P 在O 内B．点 P 在O 上C．点 P 在O 外D．无法确定
3．（3 分）已知 x  3 是关于 x 的一元二次方程 x2  2x  m  0 的根，则该方程的另一个根是(
)
A．3B． 3
D． 1
4．（3 分）已知反比例函数 y  2  k 的图象在第一、三象限内，则 k()
x
k  2
k2
k  2
k2
5．（3 分）小明做抛币实验，连续抛了 5 次都是反面向上，当他抛第 6 次时，反面向上是一件() 事件．
A．必然B．不可能C．确定D．随机
6．（3 分）点 M (3, y ) ， N (2, y ) 是抛物线 y  (x  1)2  3 上的两点，则下列大小关系正
12
确的是()
A． y1  y2  3
B． 3  y1  y2
C． y2  y1  3
D． 3  y2  y1
7．（3 分）水平放置的圆柱形排水管道截面半径为1m ．若管道中积水最深处为0.4m ，则水面宽度为()
A． 0.8mB．1.2mC．1.6mD．1.8m
8．（3 分）有 x 支球队参加篮球比赛，共比赛了 45 场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是()
A． 1 x(x  1)  45
2
B． 1 x(x  1)  45
2
C． x(x 1)  45
D． x(x  1)  45
9．（3 分）把一副三角板如图（1）放置，其中ACB  DEC  90 ，A  45 ，D  30 ，斜边 AB  4 ， CD  5 ．把三角板 DCE 绕着点C 顺时针旋转15 得到△ D1CE1 （如图 2) ，此
时 AB 与CD1 交于点O ，则线段 AD1 的长度为()
13
5
2
A．B．
C． 2
D．4
10．（3 分）抛物线 y  ax2  bx  c 交 x 轴于 A(1, 0) ， B(3, 0) ，交 y 轴的负半轴于C ，顶点
为 D ．下列结论：① 2a  b  0 ；② 2c  3b ；③当 m  1 时，a  b  am2  bm ；④当ABD 是等腰直角三角形时，则 a  1 ；⑤当 ABC 是等腰三角形时，a 的值有 3 个．其中正确的有(
2
) 个．
A．5B．4C．3D．2
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）方程 x2  9  0 的解是 ．
12．（3 分）从 1， 18 ，6 中任取两个不同的数分别作为点的横纵坐标，点在第二象限的概率为．
13．（3 分）圆锥的母线长为9cm ，底面圆的周长为6 cm ，那么这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是．
14．（3 分）如图，菱形OABC 的顶点 A 的坐标为(3, 4) ，顶点C 在 x 轴的正半轴上，反比例
函数 y  k (x  0) 的图象经过顶点 B ，则反比例函数的表达式为．
x
15．（3 分）如图，ABC 的周长为 8，O 与 BC 相切于点 D ，与 AC 的延长线相切于点 E ，与 AB 的延长线相切于点 F ，则 AF 的长为．
16．（3 分）如图， AB 为O 的直径，C 为O 上一点，其中 AB  4 ，AOC  120 ， P 为
O 上的动点，连 AP ，取 AP 中点Q ，连接CQ ，则线段CQ 的最大值为．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或计算步骤）
17．（4 分）解方程： x2  4x  7  0 ．
18．（4 分）如图，两个圆都以点O 为圆心．求证： AC  BD ．
19．（6 分）2021 年春开学为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温，某校开通了 A 、 B 、C 三条测体温的通道，给进校园的学生测体温．在 3 个通道中，可随机选择其中的一个通过．
则该校学生小明进校园时，由 A 通道测体温的概率是．
用列树状图或表格的方法，求小明和他的同学乐乐进校园时，都是由 A 通道测体温的概率．
20．（6 分）如图所示，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(2, 3) ，
B(6, 0) ， C(1, 0) ．
画出ABC 关于点O 的中心对称图形△ A1 B1C1 ；
将ABC 绕坐标原点O 逆时针旋转90 ，得到△ A2 B2C2 ．画出图形，并直接写出点 A2
的坐标．
21．（8 分）抛物线 y  ax2  bx  c 上部分点的横坐标 x ，纵坐标 y 的对应值如下表：
根据上表填空：
①抛物线与 x 轴的交点坐标是和；
②抛物线经过点(3 ，) ，对称轴为；
求该抛物线 y  ax2  bx  c 的解析式．
x

2
1
0
1
2

y

0
4
4
0
8

22．（10 分）用54m 长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠长为 a m 的墙，另三边用竹栅栏围成，且在与墙平行的一边开两扇门，宽度都是1m ，设与墙垂直的一边长为 x m ．
当 a  41 时，矩形菜园面积是320m2 ，求 x ；
当 a 足够大时，问矩形菜园的面积能否达到 400m2 ？
23．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A(3, 0) ， B(0, 4) ，把线段 AB 绕点 A 逆时针
旋转90 到 AC ， AC 交 y 轴于点 D ，反比例函数 y  k (x  0) 的图象经过点C ．
x
求 k 的值；
连接 BC ，若点 P 在反比例函数 y  k (x  0) 的图象上，且 S
x
BDP
 SABC
，求点 P 的坐
标．
24．（12 分）如图，O 的半径为 1，A ，P ，B ，C 是O 上的四个点，APC  CPB  60 ．
判断ABC 的形状：；
试探究线段 PA ， PB ， PC 之间的数量关系，并证明你的结论；
当点 P 位于 AB 的什么位置时，四边形 APBC 的面积最大？求出最大面积．
25．（12 分）如图，已知抛物线与 x 轴交于点 A(2, 0) ， B(4, 0) ，与 y 轴交于点C(0,8) ．
求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标；
设直线CD 交 x 轴于点 E ．在线段OB 的垂直平分线上是否存在点 P ，使得点 P 到直线 CD 的距离等于点 P 到原点O 的距离？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在， 请说明理由；
过点 B 作 x 轴的垂线，交直线CD 于点 F ，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段 EF 总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？
2022-2023 学年广东省广州市白云区华南师大附属太和实验学校九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的）
1．（3 分）垃圾分类一小步，低碳生活一大步，垃圾桶上常有以下四种垃圾分类标识的图案和文字说明，其中图案是中心对称图形的是()
．
A． 有害垃圾B．厨余垃圾C 其它垃
圾D．可回收物
【解答】解： A ．是中心对称图形，故本选项符合题意；
B ．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C ．不是中心对称图形，故本选项不合题意； D ．不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选： A ．
2．（3 分）平面直角坐标系中， O 的圆心在原点，半径为 5，则点 P(0, 4) 与O 的位置关
系是()
A．点 P 在O 内B．点 P 在O 上C．点 P 在O 外D．无法确定
【解答】解：由题意可作图，如图所示：
 d  4  5 ，
点 P 在O 内．
故 A 正确， B 、C 、 D 错误， 故选： A ．
3．（3 分）已知 x  3 是关于 x 的一元二次方程 x2  2x  m  0 的根，则该方程的另一个根是(
)
A．3B． 3
D． 1
【解答】解：设方程的另一个根为 x1 ， 根据题意得： x1  3  2 ，
解得： x1  1 ．
故选： D ．
4．（3 分）已知反比例函数 y  2  k 的图象在第一、三象限内，则 k()
x
k  2
k2
k  2
k2
【解答】解：反比例函数 y  2  k 的图象在第一、三象限内，
x
 2  k  0 ，
 k  2 ， 故选： C ．
5．（3 分）小明做抛币实验，连续抛了 5 次都是反面向上，当他抛第 6 次时，反面向上是一件() 事件．
A．必然B．不可能C．确定D．随机
【解答】解：小明做抛币实验，连续抛了 5 次都是反面向上，当他抛第 6 次时，可能是正面朝上，有可能反面向上，
则反面向上是一件随机事件， 故选： D ．
6．（3 分）点 M (3, y ) ， N (2, y ) 是抛物线 y  (x  1)2  3 上的两点，则下列大小关系正
12
确的是()
A． y1  y2  3
B． 3  y1  y2
C． y2  y1  3
D． 3  y2  y1
【解答】解：抛物线 y  (x  1)2  3 开口向下，对称轴是直线 x  1 ，
抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，
点(1, 3) 在对称轴上， 3  2 ，
 y1  y2  3 ． 故选： A ．
7．（3 分）水平放置的圆柱形排水管道截面半径为1m ．若管道中积水最深处为0.4m ，则水
面宽度为()
A． 0.8mB．1.2mC．1.6mD．1.8m
【解答】解：过O 作OC  AB 于C ，交O 于 D ，连接OB ，如图所示： 则 AB  2BC ， OCB  90 ， OB  OD  1m ， CD  0.4m ，
OC  OD  CD  0.6(m ) ，
OB2  OC 2
12  0  62
 BC  0.8(m) ，
 AB  2AC  1.6(m) ， 即水面宽度为1.6m ， 故选： C ．
8．（3 分）有 x 支球队参加篮球比赛，共比赛了 45 场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是()
A． 1 x(x  1)  45
2
B． 1 x(x  1)  45
2
C． x(x 1)  45
D． x(x  1)  45
【解答】解：有 x 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
共比赛场数为 1 x(x 1) ，
2
共比赛了 45 场，
 1 x(x  1)  45 ，
2
故选： B ．
9．（3 分）把一副三角板如图（1）放置，其中ACB  DEC  90 ，A  45 ，D  30 ，斜边 AB  4 ， CD  5 ．把三角板 DCE 绕着点C 顺时针旋转15 得到△ D1CE1 （如图 2) ，此
时 AB 与CD1 交于点O ，则线段 AD1 的长度为()
13
5
A．B．
C． 2
D．4
2
【解答】解：由题意易知： CAB  45 ， ACD  30 ． 若旋转角度为15 ，则ACO  30  15  45 ．
AOC  180  ACO  CAO  90 ．
2
在等腰RtABC 中， AB  4 ，则 AC  BC  2．
同理可求得： AO  OC  2 ．
在RtAOD1 中， OA  2 ， OD1  CD1  OC  3 ，
13
由勾股定理得： AD1 ． 故选： A ．
10．（3 分）抛物线 y  ax2  bx  c 交 x 轴于 A(1, 0) ， B(3, 0) ，交 y 轴的负半轴于C ，顶点
为 D ．下列结论：① 2a  b  0 ；② 2c  3b ；③当 m  1 时，a  b  am2  bm ；④当ABD 是等腰直角三角形时，则 a  1 ；⑤当 ABC 是等腰三角形时，a 的值有 3 个．其中正确的有(
2
) 个．
A．5B．4C．3D．2
【解答】解：①二次函数与 x 轴交于点 A(1, 0) 、 B(3, 0) ．
二次函数的对称轴为直线 x  (1)  3  1 ，即 b
 1，
 2a  b  0 ． 故①正确；
22a
②二次函数 y  ax2  bx  c 与 x 轴交于点 A(1, 0) 、 B(3, 0) ．
 a  b  c  0 ， 9a  3b  c  0 ．
又 b  2a ．
 3b  6a ， a  (2a)  c  0 ．
3b  6a ， 2c  6a ．
 2c  3b ． 故②错误；
③抛物线开口向上，对称轴是直线 x  1 ．
 x  1 时，二次函数有最小值．
 m  1 时， a  b  c  am2  bm  c ． 即 a  b  am2  bm ．
故③正确；
④ AD  BD ， AB  4 ， ABD 是等腰直角三角形．
 AD2  BD2  42 ． 解得， AD2  8 ．
设点 D 坐标为(1, y) ．
则[1  (1)]2  y2  AD2 ． 解得 y  2 ．
点 D 在 x 轴下方．
点 D 为(1, 2) ．
二次函数的顶点 D 为(1, 2) ，过点 A(1, 0) ． 设二次函数解析式为 y  a(x 1)2  2 ．
0  a(1 1)2  2 ．
解得 a  1 ．
2
故④正确；
⑤由图象可得， AC  BC ．
故ABC 是等腰三角形时， a 的值有 2 个．（故⑤错误）故①③④正确，②⑤错误．
故选： C ．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）方程 x2  9  0 的解是 x  3 ．
【解答】解： x2  9  0 即(x  3)(x  3)  0 ，所以 x  3 或 x  3 ． 故答案为： x  3 ．
12．（3 分）从 1， 18 ，6 中任取两个不同的数分别作为点的横纵坐标，点在第二象限的概
率为 1．
3
【解答】解：根据题意画图如下：
共有 6 种等可能的结果，该点在第二象限的有 2 种情况，
该点在第二象限的概率是 2  1 ．
63
故答案为： 1 ．
3
13．（3 分）圆锥的母线长为9cm ，底面圆的周长为6 cm ，那么这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是 120 ．
【解答】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为 n ，
根据题意得6 n  9 ，
180
解得 n  120 ，
所以这个圆锥的侧面展开图的圆心角为120 ． 故答案为120 ．
14．（3 分）如图，菱形OABC 的顶点 A 的坐标为(3, 4) ，顶点C 在 x 轴的正半轴上，反比例
函数 y  k (x  0) 的图象经过顶点 B ，则反比例函数的表达式为
x
【解答】解： A 的坐标为(3, 4) ，
y  32 (x  0)．
x
32  42
OA  5 ，
四边形OABC 为菱形，
 AB  OA  5 ， AB / /OC ，
 B(8, 4) ，
把 B(8, 4) 代入 y  k 得 k  8  4  32 ，
x
反比例函数的表达式为 y  32 (x  0) ．
x
故答案为 y  32 (x  0) ．
x
15．（3 分）如图，ABC 的周长为 8，O 与 BC 相切于点 D ，与 AC 的延长线相切于点 E ，与 AB 的延长线相切于点 F ，则 AF 的长为 4．
【解答】解： AB 、 AC 的延长线与圆分别相切于点 E 、 F ，
 AF  AE ，
圆O 与 BC 相切于点 D ，
CE  CD ， BF  BD ，
 BC  DC  BD  CE  BF ，
ABC 的周长等于 8，
 AB  AC  BC  8 ，
 AB  AC  CE  BF  8 ，
 AF  AE  8 ，
 AF  4 ． 故答案为 4
16．（3 分）如图， AB 为O 的直径，C 为O 上一点，其中 AB  4 ，AOC  120 ， P 为
7
O 上的动点，连 AP ，取 AP 中点Q ，连接CQ ，则线段CQ 的最大值为 1 ．
【解答】解：如图，连接OQ ，作CH  AB 于 H ．
 AQ  QP ，
OQ  PA ，
AQO  90 ，
点Q 的运动轨迹为以 AO 为直径的K ，连接CK ，
当点Q 在CK 的延长线上时， CQ 的值最大（也可以通过CQQK  CK 求解）
在RtOCH 中，COH  60 ， OC  2 ，
3
OH  1 OC  1 ， CH ，
2
( 3)2  22
7
在RtCKH 中， CK ，
7
CQ 的最大值为1 ，
7
故答案为：1 ．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或计算步骤）
17．（4 分）解方程： x2  4x  7  0 ．
【解答】解：移项得： x2  4x  7 ， 配方得： x2  4x  4  7  4 ，
即(x  2)2  11，
11
开方得： x  2  ，
11
11
原方程的解是： x1  2 ， x2  2 ．
18．（4 分）如图，两个圆都以点O 为圆心．求证： AC  BD ．
【解答】证明：过点O 作OE  AB 于 E ， 在小O 中，
OE  AB ，
 EC  ED ，
在大O 中，
OE  AB ，
 EA  EB ，
 AC  BD ．
19．（6 分）2021 年春开学为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温，某校开通了 A 、
B 、C 三条测体温的通道，给进校园的学生测体温．在 3 个通道中，可随机选择其中的一
个通过．
则该校学生小明进校园时，由 A 通道测体温的概率是1．
3
用列树状图或表格的方法，求小明和他的同学乐乐进校园时，都是由 A 通道测体温的概率．
【解答】解：（1）某校开通了 A 、 B 、C 三条测体温的通道，给进校园的学生测体温，
该校学生小明进校园时，由 A 通道测体温的概率是 1 ，
3
故答案为： 1 ；
3
（2）画树状图如下：
共有 9 种等可能的结果，小明和他的同学乐乐进校园时，都是由 A 通道测体温的结果有 1
种，
小明和他的同学乐乐进校园时，都是由 A 通道测体温的概率为 1 ．
9
20．（6 分）如图所示，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(2, 3) ，
B(6, 0) ， C(1, 0) ．
画出ABC 关于点O 的中心对称图形△ A1 B1C1 ；
将ABC 绕坐标原点O 逆时针旋转90 ，得到△ A2 B2C2 ．画出图形，并直接写出点 A2
的坐标．
【解答】解：（1）如图，△ A1 B1C1 即为所求；
（2）如图，△ A2 B2C2 即为所求，
A2 (3, 2) ．
21．（8 分）抛物线 y  ax2  bx  c 上部分点的横坐标 x ，纵坐标 y 的对应值如下表：
根据上表填空：
①抛物线与 x 轴的交点坐标是(2, 0) 和；
②抛物线经过点(3 ，) ，对称轴为；
求该抛物线 y  ax2  bx  c 的解析式．
【解答】解：（1）①抛物线与 x 轴的交点坐标是(2, 0) 和(1, 0) ；
②抛物线经过点(3,8) ，对称轴为直线 x   1 ；
2
故答案为(2, 0) ， (1, 0) ；8，直线 x   1 ；
2
（2）抛物线 y  a(x  2)(x  1) ，
把(0, 4) 代入得 a  2  (1)  4 ，解得 a  2 ， 所以抛物线解析式为 y  2(x  2)(x  1) ，
即 y  2x2  2x  4 ．
22．（10 分）用54m 长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠长为 a m 的墙，另三边用竹栅栏围成，且在与墙平行的一边开两扇门，宽度都是1m ，设与墙垂直的一边长为 x m ．
当 a  41 时，矩形菜园面积是320m2 ，求 x ；
x

2
1
0
1
2

y

0
4
4
0
8

当 a 足够大时，问矩形菜园的面积能否达到 400m2 ？
【解答】解：设与墙垂直的一边长为 x m ，则与墙平行的一边长为(54  2 x  2)m ．
（1）依题意得： x(54  2x  2)  320 ， 整理得： x2  28x  160  0 ，
解得： x1  8 ， x2  20 ．
当 x  8 时， 56  2x  40  41 ，符合题意； 当 x  20 时， 56  2x  16  41 ，符合题意． 答： x 的值为 8 或 20．
（2）令 x(54  2x  2)  400 ①，
整理得： x2  28x  200  0 ．
△  (28)2  4 1 200  16  0 ，
方程①无实数根，
矩形菜园的面积不能达到 400m2 ．
23．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A(3, 0) ， B(0, 4) ，把线段 AB 绕点 A 逆时针
旋转90 到 AC ， AC 交 y 轴于点 D ，反比例函数 y  k (x  0) 的图象经过点C ．
x
求 k 的值；
连接 BC ，若点 P 在反比例函数 y  k (x  0) 的图象上，且 S
x
BDP
 SABC
，求点 P 的坐
标．
【解答】解：（1）作CE  x 轴，垂足为 E ，如图 1，
 AB 旋转到 AC ，
CAB  AEC  90 ， AB  AC ，
CAE  BAO  CAE  ACE  90 ，
BAO  ACE ， 在AOB 与CEA 中，
AOB  CEA

BAO  ACE ，

 AB  CA
AOB  CEA(AAS ) ，
 OB  EA ， AO  CE ，
点 A 坐标(3, 0) ，点 B 坐标(0, 4) ，
 AE  OB  4 ， CE  AO  3 ，
OE  AE  AO  4  3  1，
点C 坐标为(1, 3) ，
反比例函数图象经过点C ，
 k  1 3  3 ；
（2）设 AC 解析式为 y  kx  b(k  0) ，
 A 坐标(3, 0) ，点C 坐标(1, 3) ，
k  3
 3k  b  0 ，解得 4 ，

k  b  3


b  9
4
直线 AC 解析式为 y  3 x  9 ，
44
令 x  0 ，则 y  9 ，
4
(0, )
则点 D 坐标9 ，
4
点 A 坐标(3, 0) ，点 B 坐标(0, 4) ，
 AB 
 SABC
 5 ，
32  42
 1  5  5  25 ，
22
(m,)
设点 P 坐标为3 ，
m
 SBDP  SABC ，
 1  ( 9  4)  m  25 ，
242
解得 m  4 ，
(4, )
点 P 坐标为3 ．
4
24．（12 分）如图，O 的半径为 1，A ，P ，B ，C 是O 上的四个点，APC  CPB  60 ．
判断ABC 的形状： 等边三角形 ；
试探究线段 PA ， PB ， PC 之间的数量关系，并证明你的结论；
当点 P 位于 AB 的什么位置时，四边形 APBC 的面积最大？求出最大面积．
【解答】证明：（1） ABC 是等边三角形．
证明如下：在O 中
BAC 与CPB 是 BC 所对的圆周角， ABC 与APC 是 AC 所对的圆周角，
BAC  CPB ， ABC  APC ， 又APC  CPB  60 ，
ABC  BAC  60 ，
ABC 为等边三角形；
在 PC 上截取 PD  AP ，连接 AD ，如图 1， 又APC  60 ，
APD 是等边三角形，
 AD  AP  PD ， ADP  60 ，即ADC  120 ． 又APB  APC  BPC  120 ，
ADC  APB ， 在APB 和ADC 中，
APB  ADC

ABP  ACD ，

 AP  AD
APB  ADC (AAS ) ，
 BP  CD ， 又 PD  AP ，
CP  BP  AP ；
当点 P 为 AB 的中点时，四边形 APBC 的面积最大．理由如下，如图 2，过点 P 作 PE  AB ，垂足为 E ．
过点C 作CF  AB ，垂足为 F ．
 SAPB
 1 AB  PE ， S
2
ABC
 1 AB  CF ，
2
 S四边形APBC
 1 AB   PE  CF  ，
2
当点 P 为 AB 的中点时， PE  CF  PC ， PC 为O 的直径，
此时四边形 APBC 的面积最大． 又O 的半径为 1，
3
其内接正三角形的边长 AB ，
 S四边形APBC
 1  2 ．
3
3
2
25．（12 分）如图，已知抛物线与 x 轴交于点 A(2, 0) ， B(4, 0) ，与 y 轴交于点C(0,8) ．
求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标；
设直线CD 交 x 轴于点 E ．在线段OB 的垂直平分线上是否存在点 P ，使得点 P 到直线 CD 的距离等于点 P 到原点O 的距离？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在， 请说明理由；
过点 B 作 x 轴的垂线，交直线CD 于点 F ，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段 EF 总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？
【解答】解：（1）设抛物线解析式为 y  a(x  2)(x  4) ．把C(0,8) 代入，得 a  1 ．
 y  x2  2x  8  (x 1)2  9 ，
顶点 D(1,9) ；（2 分）
（2）假设满足条件的点 P 存在．依题意设 P(2,t) ． 由C(0,8) ， D(1,9) 求得直线CD 的解析式为 y  x  8 ， 它与 x 轴的夹角为 45 ．
设OB 的中垂线交CD 于 H ，则 H (2,10) ．
则 PH |10  t | ，点 P 到CD 的距离为 d 
2 PH 
2 |10  t | ．
又 PO 
t 2  4


t2  22
t2  4
2 |10  t | ．
2
22
．（4 分）
3
平方并整理得： t 2  20t  92  0 ，解之得t  10  8．
存在满足条件的点 P ， P 的坐标为(2, 10  8 3) ．（6 分）
（3）由上求得 E(8, 0) ， F (4,12) ．
①若抛物线向上平移，可设解析式为 y  x2  2x  8  m(m  0) ． 当 x  8 时， y  72  m ．
当 x  4 时， y  m ．
72  m0 或 m12 ．
0  m72 ．（8 分）
②若抛物线向下平移，可设解析式为 y  x2  2x  8  m(m  0) ．
 y  x2  2x  8  m

由 y  x  8，
有x2  x  m  0 ．
△  1  4m0 ，
 m 1 ．
4
向上最多可平移 72 个单位长，向下最多可平移 1 个单位长．（10 分）
4