【数学】广东省高州市2026届高三上学期高考诊断性考试试题（学生版+解析版）

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1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为集合，集合，
所以.
故选：A．
2. 样本数据2，18，14，10，5的第百分位数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】样本数据从小到大排列为，计算位置：，
因为为整数，所以第百分位数为，
故选：C．
3. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，则，，
故．
故选：B．
4. 已知函数，若，则（ ）
A. B. 2C. D. 1
【答案】A
【解析】因为，
所以，解得．故选：A．
5. 在平面直角坐标系中，为抛物线的焦点，点在上，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】抛物线，焦点，
因为，所以轴，所以，
则，解得，
如图，则，
所以．
故选：D．
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意，，
所以．
故选：B．
7. 记数列的前项和为，已知，为等差数列，若，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】，故，
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，
所以，故，
所以当时，，所以，
故选：D．
8. 向量，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，则，
因为，所以，
即，即，所以．
如图，设，，，
则，，
因为是等腰直角三角形，
设边中点为，则，
所以边上的高，，
因为，所以三点共线，
所以，
则，
所以，，
所以
．
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
【答案】ACD
【解析】对于A，可知，不等式两侧同乘以，有，故A正确；
对于B，若，，则，故B错误；
对于C，由，知，，由不等式同向可加性的性质知C正确；
对于D，利用作差法知，由，，
知，，即，
所以，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知正四棱台上底面的边长为，下底面边长为，且高为3，则下列说法正确的有（ ）
A. 该四棱台的体积为14
B. 若为的中点，则平面
C. 该四棱台的侧面积为
D. 该四棱台的外接球表面积为
【答案】ABD
【解析】设棱台的上下底面中心分别为，
对于A选项，由台体体积公式可知，该正四棱台的体积为，A对；
对于B选项，当点为的中点时，易知为的中点，所以，
因为平面，平面，故平面，B对；
对于C选项，侧面的斜高为，
所以此四棱台的侧面积为，所以C错；
对于D选项，易知该正四棱台外接球球心在直线上，设球的半径为，
因为正方形的边长为，正方形的边长为，
所以,,
设点，则，
由可得，解得，
故，
因此，该四棱台的外接球表面积为，D对.
故选：ABD．
11. 在平面直角坐标系中，已知曲线，点为曲线上任意一点，则（ ）
A. 曲线既关于轴对称，也关于轴对称，还关于原点对称
B. 的最小值为
C. 在第一象限内，曲线的图象在双曲线的图象的上方
D. 若点到直线和的距离分别为，则
【答案】ACD
【解析】对于A选项，设点在曲线上，可得点，，也在曲线上，
故曲线既关于轴对称，也关于轴对称，还关于原点对称，故A选项正确；
对于B选项，设点的坐标为，有，可得（或），
有，又由，有，，可得，
可得的最小值为1，故B选项错误；
对于C选项，设曲线和双曲线在第一象限内的点分别为,
可得，，由B选项的推导过程可得在第一象限内，
又由，由得，即，
且只有当时，，故可得在第一象限内，曲线的图象在双曲线的图象的上方，故C选项正确；
对于D选项，结合B选项的推导过程有，，，
有，可得，故D选项正确．故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数在上的单调递增区间是_______________．
【答案】
【解析】由，
得，
当时，在上的单调递增区间为，
当时，在上的单调递增区间为，
故答案为：．
13. 已知函数，则不等式的解集为___________．
【答案】
【解析】函数，
令，解得，故函数的定义域为，
，
故函数是奇函数.
而函数在上单调递减，
函数在上单调递增，
因此函数在上单调递减.
不等式
，
所以所求不等式的解集为．
故答案为:.
14. 在如图所示的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最小值是_______．
【答案】148
【解析】由表格中每列数据特征告诉我们选出的4个数据十位的组合搭配固定为2、3、4、5，
所以要想选中方格中4个数据之和最小只需每行选中的数据个位数都是该行所在四个数据中最小的即可，
所以选中的4个数据第一行一定是50，第三行一定是32，则第二行和第五行分别是22和44，
所以选中方格中的4个数之和最小为．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．
（1）求a；
（2）若的面积为，求AB边上的高CD．
解：（1）根据，可知，，
因为，即，
所以，即；
（2），解得，
则，解得，
，
．
16. 把一颗质地均匀，四个面上分别标有复数2、、、（i为虚数单位）的正四面体玩具连续抛掷两次，第一次出现底面朝下的复数记为，第二次出现底面朝下的复数记为．
（1）用A表示“”这一事件，求事件的概率；
（2）设复数的虚部为，求的分布列及数学期望．
解：（1）所有的基本事件个数有（个），
包含的基本事件有、、、共4个，
所以．
（2）由题意可知，随机变量的可能取值为、0、4，
所包含的基本事件有：，，，共4个，
所包含的基本事件有：，，，，，，，，共8个，
所包含的基本事件有：，，，共4个，
所以，，，
的分布列为
所以．
17. 如图，在四棱锥中，平面，，，为的中点．
（1）若，证明：平面；
（2）已知，平面和平面的夹角的余弦值为，求四棱锥的体积．
（1）证明：因为平面，平面，所以，是直角三角形，
因为是的中点，所以，因为，所以，可得，
因为平面，，所以，
因为，，，平面，，所以平面；
（2）解：设，因为两两垂直，以为坐标原点，向量分别为轴建立空间直角坐标系，
有，
设平面的法向量为，由，
有，
取，可得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，由，
有，
取，可得平面PCD的一个法向量为，
又由，，
有，又由平面和平面的夹角的余弦值为，有，
解得，
故，所以．
18. 已知椭圆的长轴长为4，焦距为2．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）过点作斜率为k的直线与椭圆相交于A，B两点，y轴上存在点Q使得直线与直线的斜率之和为0．
（i）求点Q的坐标；
（ii）求的面积的最大值．
解：（1）由椭圆的长轴长为4，焦距为2，可得，，
又由，可得椭圆C的标准方程为；
（2）设直线的方程为，设点A，B的坐标分别为，，点Q的坐标为，
（i）联立方程消去y后整理为，
有，可得或，
又有，，可得，
直线的斜率为，
同理可得直线的斜率为，
又由直线与直线的斜率之和为0，有，
可化为，
有，有，由k的任意性可得，
故点Q的坐标为；
（ii）
，
令，有，
有，
当且仅当时等号成立，此时，
故的面积的最大值为．
19. 已知．
（1）若在点处的切线方程为，求实数a，b的值；
（2）当时，函数，若恒成立，求实数a的取值范围．
解：（1）由及，得，即，
由，求导得，又，
于是，且，解得，
所以实数a，b的值分别为.
（2）当时，，，
由恒成立，得，令，
求导得，令，求导得，
函数在上单调递增，而，
则存在，使得，当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，因此，
令，求导得，函数在上单调递增，
由，得，则，
因此，，从而，
所以实数a的取值范围是.
21
31
41
50
22
32
43
52
23
32
43
53
25
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44
54
0
4