【数学】山东省部分学校2025-2026学年高二上学期1月诊断性练习试题（学生版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知数列，，，，，…，则该数列的通项公式可以为（ ）
A. B.
C. D.
2. 不过原点的直线在轴和轴上的截距互为相反数，则直线的倾斜角为（ ）
A. B.
C. D. 无法确定
3. 在空间直角坐标系中，点到轴的距离为（ ）
A. 2B. C. 1D. 4
4. 数列满足，，则（ ）
A. B. 1C. D. 3
5. 过圆上一点作圆的切线，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 从3名男同学和2名女同学中随机选3名去参加校园科技大赛，则2名女同学都入选的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知直线：及抛物线上一动点，记到的距离为，则的最小值为（ ）
A. B. 2
C. 4D.
8. 在正项数列中，对任意，，，若为单调递增数列，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图，直三棱柱所有棱长均为1，，分别为，的中点，则（ ）

A.
B.
C. 在平面上的投影向量的模长为
D. 在上的投影向量为
10. 记为数列的前项和，已知，是公差为1的等差数列，则（ ）
A. 是等差数列B.
C. D. 当时，的最小值为12
11. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若，是上关于原点对称的两点为第一象限内一点），是上异于，的一点，直线与轴交于点，为的离心率，则下列说法正确的是（ ）
A. 若能成立，则的取值范围为
B. 若，则的面积为
C. 直线与的斜率之积为
D. 若，的横坐标是的横坐标的4倍，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 圆：与圆：的公共弦长为________.
13. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，若，，则的离心率为________.
14. 在棱长为2的正方体中，点在正方形及其内部上运动，若点到的距离是到距离的两倍，则点的轨迹长度为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 箱子中装有除颜色外完全相同的2个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球，直到摸到三次绿球，则摸球结束.
（1）若每次都是有放回地摸球，求恰好第4次摸球结束的概率；
（2）若每次都是不放回地摸球，求恰好第4次摸球结束的概率.
16. 如图，已知四边形是直角梯形，，，平面，，是的中点.

（1）证明：.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17. 记为等差数列的前项和，已知，.
（1）求和的通项公式；
（2）求.
18. 在直角坐标系中，点到直线的距离比到点的距离大1，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）已知经过点的直线与交于，两点，且.
（i）求直线方程；
（ii）若经过点的直线（与不重合）与交于，两点，且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上.
19. 如图1，，分别是椭圆：的左、右焦点，过点作直线，与交于，两点.且的周长为，.
（1）求的方程；
（2）如图2，把沿翻折为，使得二面角的大小为.
（i）若直线的斜率为，求；
（ii）求三棱锥体积的最大值.