江苏省盐城市亭湖区二联盟2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题（含答案+解析）

这是一份江苏省盐城市亭湖区二联盟2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题（含答案+解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. 3x+2=0B. x+y2=−2C. x2+2x=x2−1D. x2=7x
2.藤球是一项古老而独特的体育运动项目，有着悠久的历史，又叫“脚踢的排球”．下表是学校藤球队中四名同学成绩的平均数及方差，若要从这四名队员中，选择一名成绩好且状态稳定的选手代表学校参加市藤球赛，应选择( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
3.下列函数中，属于二次函数的是( )
A. y=6x+1B. y=2x2−1xC. y=−x2−xD. y=22−2x
4.已知AB是半径为4的圆内的一条弦，则AB的长不可能是( )
A. 9B. 8C. 7D. 6
5.若α,β是方程x2+2x−2025=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为( )
A. 2022B. −2023C. 2023D. 2027
6.抛物线y=ax2+bx+c(a>0)如图，则关于x的不等式ax2+bx+c−1
B. x0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 .
16.如图，△ABC中，∠C=90 ∘，点O为△ABC的外心，BC=6，AC=8，⊙P是△ABC的内切圆．则OP的长为 .
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
17.解方程：
(1)x2−4x+2=0；
(2)xx−5=2x−10.
四、解答题：本题共10小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题5分)
在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为2,−4，且经过点1,−7.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)将(1)中的抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，直接写出平移后的抛物线的解析式．
19.(本小题5分)
已知关于x的方程x2+4x+a=0.
(1)若这个方程有实数根，求a的取值范围；
(2)若这个方程有一个根是2，求a的值及另外一个根．
20.(本小题7分)
为了解学生的安全知识掌握情况，某校七、八年级举办了安全知识竞赛．所有学生的成绩分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，将优秀、良好、及格、不及格分别记为20分，16分，12分和8分．现分别从七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行统计，根据统计结果绘制成如下统计图，两组样本数据的平均数、中位数、众数及方差如表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中a= ，b= ；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩更好？并说明理由；
(3)若该校七年级共有学生420人，请估计该校七年级成绩不低于16分的学生人数．
21.(本小题5分)
某校为了落实“五育并举”的教育举措，课后开设了围棋、航模、书法、阅读、画画五个兴趣小组，学生可以任选一个兴趣小组参加，小明和小阳决定通过抽签的方式选择．抽签规则：将五个兴趣小组的名称分别写在五张完全相同且不透明的卡片正面，并把五张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机抽取一张卡片，记下名称后放回，小阳再随机抽取一张，记下名称．
(1)小明选择围棋兴趣小组的概率是 ；
(2)围棋、航模、书法的活动教室都在三楼，阅读、画画的活动教室在二楼，请用画树状图或列表法求出小明、小阳选择的兴趣小组不在同一楼层的概率．
22.(本小题7分)
某超市以每个20元的价格进了一批新型儿童玩具，当每个售价为34元时，超市平均每天可售出100个．国庆期间为了扩大销售，增加盈利，在售价不低于进价的前提下超市决定采取降价促销方式招揽顾客，经调查发现：在一定范围内，当玩具的单价每降低1元，超市每天可多售出10个，设每个玩具售价下降了x元，超市每天的销售利润为w元．
(1)降价后超市平均每天可售出 个玩具；
(2)求w与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(3)超市将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
23.(本小题5分)
如图，在矩形ABCD中，点O在对角线BD上，以OB的长为半径的圆O与AB,BD分别交于点E，F，连接DE，且∠ADE=∠BDC.
(1)判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若BC=6,CD=8,AE=4.5，求⊙O的半径．
24.(本小题7分)
如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.该运动员身高1.9m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，设球运动的水平距离为x，竖直高度为y.
(1)如图，抛物线与y轴交点坐标为 ，篮筐中心坐标为 .
(2)求y与x之间的函数关系式；
(3)运动员在这次跳投中，跳离地面的高度．
25.(本小题5分)
如图，点I是△ABC的内心，点O是△ABC的外心．
(1)请仅用没有刻度的直尺在BC 上一个点D，使得BD=ID.
(2)试判断点D是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由．(如需画草图，请使用图2)
26.(本小题5分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−3与直线y=−x−1交于点A−1,0，Bm,−3，点P是线段AB上的动点．
(1)①m=________；
②求抛物线的解析式．
③直接写出抛物线解析式顶点坐标(________，________)；
(2)过点P作直线l垂直于x轴，交抛物线y=ax2+bx−3于点Q，求线段PQ的长的最大值，并求出此时点P与点Q的坐标．
27.(本小题12分)
19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程x2+bx+c=0的几何解法：如图，在平面直角坐标系中，已知点A0,1、B−b,c，以AB为直径作⊙P.若⊙P交x轴于点Mm,0、Nn,0，则m、n为方程x2+bx+c=0的两个实数根．
(1)【探究】由勾股定理得，AM2=12+m2，BM2=c2+−b−m2，AB2=1−c2+b2.
在Rt△ABM中，AM2+BM2=AB2，所以12+m2+c2+−b−m2=1−c2+b2.
化简得：m2+bm+c=0.同理可得： .
所以m、n为方程x2+bx+c=0的两个实数根．
(2)【运用】在图中的x轴上画出以方程x2−4x−3=0两根为横坐标的点M、N.
(3)已知点A0,1、B3,94，以AB为直径作⊙C.判断⊙C与x轴的位置关系，并说明理由．
(4)【拓展】在平面直角坐标系中，已知两点A0,a、Bb,c，若以AB为直径的圆与交x轴有两个交点M、N，则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是 .
答案和解析
1.【答案】D
【解析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义(只含一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程)，进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、3x+2=0的次数不是2，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B、x+y2=−2有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C、∵x2+2x=x2−1，∴2x=−1的次数不是2，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、x2=7x是一元二次方程，故该选项符合题意；
故选：D
2.【答案】D
【解析】本题考查了平均数和方差的意义，根据平均数可选出成绩好的同学是乙、丁，再根据方差的意义即可得出答案，解题的关键是理解平均数和方差的意义：平均数是反映一组数据的平均水平；方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小．
【详解】解：∵乙、丁两同学的平均数相等，且比甲、丙两同学的高，
∴乙和丁两同学成绩较好，应从乙和丁两同学中选，
又∵丁同学的方差比乙同学的小，
∴丁同学的状态更稳定，应选丁同学，
故选：D.
3.【答案】C
【解析】本题考查了二次函数的定义．
根据二次函数的定义(形如y=ax2+bx+c，其中a≠0)进行判断．
【详解】解：二次函数需满足：整式函数，且最高次项为二次．
A：y=6x+1，最高次项为一次，不符合二次函数的定义；
B：y=2x2−1x，含有分式，不是整式，不符合二次函数的定义；
C：y=−x2−x=x2−2x，符合二次函数的定义；
D：y=22−2x=4−2x，最高次项为一次，不符合二次函数的定义；
故选：C.
4.【答案】A
【解析】本题考查了圆的认识，基本概念，掌握“圆中最长的弦是直径”是解题的关键．根据圆内弦的性质，弦的长度不超过直径，直径为8，因此AB的长度不能大于8.
【详解】解：由题意知，该圆的直径为8，
∵圆中最长的弦为直径，
∴AB≤8，
选项A中9>8，故AB的长不可能为9，符合题意，
故选：A.
5.【答案】C
【解析】解：∵α是方程x2+2x−2025=0的实数根，
∴α2+2α−2025=0，
∴α2+2α=2025，
∴α2+3α+β=α2+2α+α+β=2025+α+β，
∵α，β是方程x2+2x−2025=0的两个实数根，
∴α+β=−2，
∴α2+3α+β=2025−2=2023.
故选：C.
先根据一元二次方程解的定义得到α2+2α=2025，则α2+3α+β可化为2025+α+β，接着利用根与系数的关系得到α+β=−2，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.也考查了一元二次方程的解．
6.【答案】C
【解析】解：由图可知，不等式ax2+bx+c