四川省内江市2025_2026学年高一数学上学期12月月考试卷含解析

这是一份四川省内江市2025_2026学年高一数学上学期12月月考试卷含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(本题共计 8 个小题，每个小题只有一个选项正确，每小题 5 分，共计 40 分)
1. 设全集 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】运用集合补集运算即可.
【详解】 ， ，
.
故选：A.
2. 已知函数 是幂函数，且在 上单调递减，则实数 的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由幂函数的定义与性质求解即可.
【详解】由于函数 是幂函数，且在 上单调递减，
则 ，且 ，解得 或 （舍），
故选：B.
3. “ 且 ”是“ ”的 （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】按照充分必要条件的判断方法判断，“ 且 ”能否推出“ ”，以及“ ”能否
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推出“ 且 ”，判断得到正确答案，
【详解】当 且 时， 成立，
反过来，当 时，例： ，不能推出 且 .
所以“ 且 ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，重点考查基本判断方法，属于基础题型.
4. 已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用不等式的性质可判断 ABD，利用指数函数单调性可判断 C.
【详解】对 A，因为 ，所以 ，所以 ，即 ，错误；
对 B，因为 ，所以 ，即 ，错误；
对 C，因为函数 在 上单调递增，且 ，所以 ，正确；
对 D，因为 ，所以 ，所以 ，即 ，错误.
故选：C
5. 若 ，则 （ ）
A. 11 B. 14 C. 30 D. 45
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用指数运算法则计算得解.
【详解】由 ，得 .
故选：D
6. 已知函数 是定义在 上 奇函数，且 ，若 在 上单调递增，
则不等式 的解集为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性及单调性可得函数的正负情况，进而可解不等式.
【详解】因为函数 是奇函数，且在 上单调递增，
所以函数在 上也单调递增，
又因为 ，所以 ，
不等式 等价于 或 ，
所以 或 ，
故选：A.
7. 已知集合 有且仅有两个子集，则 的最小值为（ ）
A. 8 B. 5 C. 6 D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】结合题意并由根的判别式得到方程，求出 ，变形得到 ，
由基本不等式求出最小值即可.
【详解】由题意得 有且仅有两个子集，故集合 仅有 个元素，
则 ，即 ，
因为 ，所以 ，故 ，
得到 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
可得 的最小值为 ，故 A 正确.
故选：A
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8. 已知函数 ， ，两者的定义域都是 ，若对于任意 ，存在 ，使得
， ，且 ，则称 ， 为“兄弟函数”，已知函数
， 是定义在区间 上的“兄弟函数”那么函数
在区间 的最大值为
A. 3 B. C. D. 13
【答案】C
【解析】
【分析】结合“兄弟函数”的定义,可求得 在 时取得最小值,再结合二次函数的性质可求得 的
解析式,进而可求得 在区间 的最大值.
【详解】由题意, ,易知 在 上单调递减,在 上单调递增,
则 在 上的最小值为 .
所以 在 时取得最小值 3.
故函数 满足 ,解得 ,
则 ,
故当 时, 取得最大值为 .
故选:C.
【点睛】本题考查新定义,考查了函数单调性的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.
二、多选题(本题共计 3 个小题，每小题 6 分，共计 18 分)
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若函数 满足 ，则 4
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B. 函数 且 的图象恒过定点
C. 命题：“ ”的否定是“ ”
D. 若函数 ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出函数值判断 A；求出函数图象所过定点判断 B；利用全称量词命题的否定判断 C；求出解析式
判断 D.
【详解】对于 A，函数 中，取 ，得 ，A 正确；
对于 B，当 时， ，函数 的图象恒过定点 ，B 正确；
对于 C，命题：“ ”的否定是“ ”，C 错误；
对于 D，令 ，则 ，则 ，
因此 ，D 正确.
故选：ABD
10. 设函数 ， ，且 ，下列说法正确的是（ ）
A. 函数 与直线 的图象有两个不同的公共点
B. 函数 有最小值 0，无最大值
C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题设 ，分析函数性质并画出函数草图，即可判断各项正误.
【详解】由题设 ，
故 在 上递减，值域为 ，在 上递增，值域为 ，
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所以 的图象如下：
所以 与直线 的图象有一个交点，有最小值 0，无最大值，A 错，B 对；
由 ， ，结合图知： ，可得 ，C 对；
由 且 ，结合图知： 且 ， 且 ，
所以 ，则 ，D 对.
故选：BCD
11. 若函数 是定义在 上的奇函数， ，当 时， ，则（ ）
A.
B. 函数 图象关于直线 对称
C. 函数 图象关于点 中心对称
D. 当 时，
【答案】AC
【解析】
【分析】根据奇函数的性质得到 且 ，即可判断 A，由 可得
的对称轴，即可判断 B，再推导出 ，即可判断 C，最后根据奇偶性求出函数
在 时的解析式，即可判断 D .
【详解】因为函数 是定义在 上的奇函数，所以 且 ，
又 ，所以 ，故 A 正确；
因为 ，所以 关于 对称，故 B 错误；
由 ， ，
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所以 ，即 ，所以 ，
则 ，即 ，
所以函数 的图象关于点 中心对称，故 C 正确；
因为当 时， ，
设 ，则 ，所以 ，
当 时 也成立，
所以当 时， ，故 D 错误.
故选：AC.
三、填空题(本题共计 3 个小题，每小题 5 分，共计 15 分)
12. ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据指数幂的运算性质计算即可.
【详解】 .
故答案为： .
13. 若函数 在区间 上不单调，则 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】将函数 化成分段函数的形式，判断单调性即可得解.
【详解】因为函数 ，
所以该函数在 上单调递减，在 上单调递增，
又 在区间 上不单调，所以 ，
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故 的取值范围是 ．
故答案 ： .
14. 已知 ，若 且 ，都有 ，则实数 的最大值为
________.
【答案】
【解析】
【分析】求出 时 的范围，分 、 、 求出 的值域，结合题意分
析即可.
【详解】易知 在 上单调递减，且 ，
当 时， 的值域为 ，不满足题意；
当 时， 的值域为 ，不满足题意；
当 时， 的值域为 ，
要使 且 ，都有 ，则 ，
所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，所以 的最大值为 .
故答案为：
四、解答题(本题共计 5 个小题，共计 77 分)
15. 已知集合 ， .
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围
【答案】（1）
（2）
【解析】
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【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，可求得集合 A，代入 a 值，根据集合 B ，求出 ，根据交集
运算的概念，即可求得答案.
（2）由（1）得 ，根据条件，分别讨论 和 ，即 和 两种
情况，根据包含关系，列出不等式，即可求得答案.
【小问 1 详解】
解不等式 ，得 ，即 ，
当 时， ，则 ，
所以 .
【小问 2 详解】
由（1）知， ，由 得，
当 ，即 时， ，满足 ，因此 ；
当 ，即 时， ，即有 ，
则 ，解得 ，因此 ，
综上，实数 的取值范围 .
16. 已知函数 ，不等式 的解集为 ．
（1）求 ， 的值；
（2）在 上，函数 的图象总在一次函数 的图象的上方，求实数 的取值范围；
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意，2，3 为方程 的两根，根据根与系数的关系，列出方程，即可求得答
案.
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（2）由（1）可知， 且满足 ， 恒成立，等价于
，根据二次函数的性质，即可求出 在 上的最小值，分析即可得答
案.
【小问 1 详解】
因为不等式 的解集为 ，所以 2，3 为方程 的两根，
由根与系数的关系可得 ， ，所以 ， .
【小问 2 详解】
由（1）可知， 且满足 ， 恒成立，
等价于 ，
当 时，函数 图象的对称轴为 ，开口向上，
所以函数 在 上单调递减，
所以当 时， 有最小值 0，
所以 ，实数 的取值范围为 .
17. 为了节能减排，某农场决定安装一个可使用 10 年的太阳能供电设备．使用这种供电设备后，该农场每
年 消 耗 的 电 费 C（ 单 位 ： 万 元 ） 与 太 阳 能 电 池 面 积 x（ 单 位 ： 平 方 米 ） 之 间 的 函 数 关 系 为
，（m 为常数），已知太阳能电池面积为 5 平方米时，每年消耗的电费为 12 万
元．安装这种供电设备的工本费为 （单位：1 万元），记 为该农场安装这种太阳能供电设备的工
本费与该农场 10 年消耗的电费之和
（1）写出 的解析式；
（2）当 x 为多少平方米时， 取得最小值？最小值是多少万元？
【答案】（1） ；
（2）40 平方米，最小值 40 万元
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【解析】
【分析】（1）根据给定的条件，求出 m 值及 的解析式，进而求出 的解析式作答.
（2）结合均值不等式，分段求出 的最小值，再比较大小作答.
【小问 1 详解】
依题意，当 时， ，即有 ，解得 ，则 ，
于是得 ，
所以 的解析式是 .
【小问 2 详解】
由（1）知，当 时， 在 上递减， ，
当 时， ，当且仅当 ，即 时取等号，
显然 ，所以当 x 为 40 平方米时， 取得最小值 40 万元.
【点睛】方法点睛：在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．
18. 已知函数 是定义在 上的奇函数，满足 .
（1）求函数 的解析式；
（2）判断 的单调性，并利用定义证明.
（3）若 求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2） 在 上为增函数，证明见解析.
（3）
【解析】
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【分析】（1）根据 ， 求出 ， ，再检验即得解；
（2）函数 在 为单调递增函数，再利用函数的单调性定义证明；
（3）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，由此求得 的取值范围.
【小问 1 详解】
函数 是定义在 上的奇函数，
则 ，即 ，解得 ，
又因为 ，即 ，解得 ，
经检验可得， 符合题意．
所以当 时， ，
【小问 2 详解】
函数 在 上是增函数．
证明如下：
任取 ， 且 ，
则
，
因为 ，
所以 ， ，
则 ，即 ，
故 在 上为增函数；
【小问 3 详解】
函数 是定义在 上 奇函数，且 ．
则 ，
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因为函数 在 上单调递增．
所以 ，则 解得 ，
所以 t 的取值范围是 ．
19. 对于函数 ，若其定义域内存在非零实数 满足 ，则称 为“局部奇函数”.
（1）已知函数 ，判断 否为“局部奇函数”；
（2）若幂函数 使得 在 上是“局部奇函数”，求 m 的取
值范围；
（3）若整数 使得 是定义在 上的“局部奇函数”，求 m 的取值集合.
【答案】（1）不是局部奇函数
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求出 即可判断 是否为“局部奇函数”；
（2）利用幂函数的定义求出 ，从而得到 的解析式，由条件可知 在 上
存在非零实数解，利用参变量分离，结合函数的单调性求出 范围；
（3）由定义，将问题转化为( 在 上存在非零实数解，令
，则 ，构造函数 ，利用二次函数的性质，列不等式求解
即可.
【小问 1 详解】
因为 ，定义域为 ，则 ，
，
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因为 恒成立，从而 ，
故在其定义域内不存在非零实数 使得 ，
即不存在 使得 ，
所以 不是“局部奇函数”；
【小问 2 详解】
因为 是幂函数，则 ，所以 ， ，
所以 ， ，
因为 在 上是“局部奇函数”，
所以 在 上存在非零实数解，
所以 在 上存在非零实数解，
则 ，且 ，
令 ， 且 ，则 ，
因为对勾函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ， ，
所以，当 且 时， ，即 ，
故 ；
【小问 3 详解】
由定义可得， 在 上存在非零实数解，
则 在 上存在非零实数解，
即 在 上存在非零实数解，
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所以( 在 上存在非零实数解，
令 ，
因为 ，当且仅当 ，即 时取等号，
又 ，所以 ，
则方程 在 上有实数解，
令 ，对称轴为 ，
当 时，则 ，所以 ，故 ；
当 时，则 ，即 ，故 ，
综上， ，
又 为整数，则 ，
所以 的取值集合为 .
【点睛】关键点睛：本题为新概念题，解题关键是正确理解“局部奇函数”的概念，运用转化的思想，把
问题转化为方程有解的问题，利用换元的思想简化运算并完成计算.
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