内蒙古巴彦淖尔市第一中学2026届高三上学期12月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份内蒙古巴彦淖尔市第一中学2026届高三上学期12月月考数学试卷（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了单选题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高三数学
本试卷共150分 考试时间120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1．已知全集，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
3．（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．直三棱柱中，，则该棱柱的体积为（ ）
A．8B．12C．24D．48
6．一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1、2；红球有两个，编号为3，4．从盒中不放回的依次取出两个球，表示事件“第一次取出的是红球”，表示事件“取出的两球同色”，表示事件“取出的两球不同色”，则下列说法正确的是（ ）
A．与互斥B．与互斥C．D．
7．某文化传播公司有员工25名，其中包含经理1名、保洁1名，为了调查该公司员工的工资情况，有两种方案．方案一：调查全部25名员工的工资情况；方案二：收入最高的经理和收入最低的保洁工资不纳入调查范围，只调查其他23名员工的工资．这两种调查方案得到的数据，一定相同的是（ ）
A．平均数B．中位数C．方差D．极差
8．已知定义在上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．函数是定义在上的奇函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若在上有最小值，则在上也有最小值
C．若在上为增函数，则在上为减函数
D．若时，，则时，
10．已知，则（ ）
A． B．
C．的虚部为4 D．的共轭复数为
11．下列有6个面的多面体是（ ）
A．五棱锥B．四棱柱C．四棱锥D．圆柱
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除，某单位老年、中年、青年员工分别为人、人、人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况，则应该从青年员工中抽取的人数为 .
13．如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是 ．
14．若向量，满足，，，则与的夹角弧度数为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．已知函数.
(1)求的最大值；
(2)求成立的的取值集合.
16．如图，在四棱柱中，底面是菱形，.
(1)求证：平面；
(2)求证：.
17．如图，某农户计划用的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜地．设该矩形菜地与墙平行的边长为，与墙垂直的边长为．
(1)当为何值时，面积取得最大值？最大面积为多少？
(2)求的最小值．
18．如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形.再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知.并做答.
条件①：；条件②：；条件③：平面平面.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
19．出口“新三样”指的是电动载人汽车、锂离子蓄电池和太阳能电池，这些产品在中国外贸出口中扮演着重要角色，成为展现中国制造迈向高端化、智能化、绿色化的崭新名片．某学校组织了400名学生参加新能源知识竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，，，，整理得到频率分布直方图如图所示．
(1)由频率分布直方图估计样本中学生分数的中位数；
(2)已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；
(3)已知样本中男生与女生的比例是3∶1，男生样本的平均数为70，方差为10，女生样本的平均数为80，方差为12，请计算出总体的方差
参考答案
1．D
【详解】因为全集，，所以，
又因为，.
故选：D.
2．D
【详解】A.若若，则或，故A错误；
B. 若，则与相交或平行，故B错误；
C.若直线相交，若，则，若直线平行，则或相交，故C错误；
D.满足面面垂直的性质定理，故D正确.
故选：D
3．B
【详解】.
故选：B.
4．A
【详解】由题意，复数在复平面对应的点为位于第一象限.
故选：A.
5．C
【详解】在直三棱柱中，，
，，
所以该棱柱的体积.
故选：C
6．D
【详解】由题意，事件A包含，
事件B包含，
事件C包含，
显然，
与不互斥，与不互斥，故AB错误，
总事件的情况为，
，共12种情况，
其中包含，，共8种情况，
故，故C错误，
事件包含，共6种情况，
则包含事件，共4种情况，
故，故D正确.
故选：D.
7．B
【详解】由题意，某文化传播公司25名员工的工资情况组成25个数据，
按大小顺序排列，排在中间的数是中位数，去掉一个最大值和一个最小值，
剩余23个数据按大小顺序排列，排在中间的还是原来的数，所以中位数不变；
平均数是与每一个数据都有关系的量，所以可能会发生变化；
方差也是与每一个数据都有关系的量，所以可能会变化；
极差是与最大值和最小值的差，所以去掉最高和最低的两个数据极差会变小．
故选：B．
8．B
【详解】令则,
因为当时，所以在上单调递增,
又为奇函数，且图象连续不断，所以为偶函数,
由得解得或
故选：B.
9．AD
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，
所以，故，A正确；
当时，，且存在使得，
则时，，，且当有，
在上有最大值为，故B不正确；
若在上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，
则在上为增函数，故C错误；
若时，，
则时，，，故D正确.
故选：AD
10．BC
【详解】由题意得，得，A错误，B正确．
的虚部为4，共轭复数为，C正确，D错误．
故选：BC
11．AB
【详解】对于A，五棱锥是有5个侧面，1个底面，共6个面的多面体，正确；
对于B，四棱柱是有4个侧面2个底面，共6个面的多面体，正确；
对于C，四棱锥是有4个侧面1个底面，共5个面的多面体，不符合题意；
对于D，圆柱为旋转体，不符合题意，
故选：AB
12．
【详解】应该从青年员工中抽取的人数为人.
故答案为：6
13．
【详解】由直线l过正方形的中心O且与两边AB、CD分别交于点M、N，得O为MN的中点，
则，，
由Q是BC的中点，得，又，则，
所以取值范围为；
故答案为：
14．/
【详解】由，得，而，，
因此，又，则，
所以与的夹角弧度数为.
故答案为：
15．(1).
(2).
【详解】（1）.
的最大值为.
（2），即，
所以，，
解得，，
故成立的的取值集合为.
16．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）连接，记，连接，如图所示.
因为在四棱柱，易得为的中点，为的中点，
所以，
又平面平面，所以平面；
（2）连接，如图所示.
因为四边形是菱形，所以，
因为，所以，
所以，又为的中点，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以.
17．(1)当时，面积取得最大值，最大面积为
(2)
【详解】（1）由题意得，，都为正数，
则该菜地的面积为，
当且仅当时，等号成立，
所以当时，面积取得最大值，最大面积为．
（2）由，，都为正数，则，
所以
，
当且仅当，又，即时，等号成立，
所以的最小值为．
18．(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）若选择条件①②，则不能解决丙个问题，若选择条件②③，则可以解决第（1）问，不能解决（2）问，若选择条件①③，则可以解决两个问题.
因为平面平面，平面平面所以平面，又平面，所以.
因为，所以，则，
又且两直线在平面内，所以平面.
（2）由（1）知，选择条件①③，则可以解决两个问题.
以为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
且，则，
所以
设平面的法向量为，则由
，令，则，取.
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19．(1)72.5
(2)20人
(3)29.25
【详解】（1）在频率分布直方图，中位数左边和右边的直方图面积应该相等，
由于，．因此中位数落在之间．
设中位数为x，则有，解得，
所以样本中学生分数的中位数约为72.5．
（2）由频率分布直方图知，
分数在的频率为，
样本中分数在的人数为（人），
样本中分数在的人数为95人，
所以估计总体中分数在的人数为（人），
总体中分数小于40的人数为人；
（3）总样本的均值为，
所以总样本的方差为题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
B
A
C
D
B
B
AD
BC
题号
11









答案
AB