2022-2023学年北京市顺义区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市顺义区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）4的算术平方根是（ ）
A．2B．±2C．D．16
2．（2分）利用直角三角板，作△ABC的高线，下列作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）下列各数中，无理数是（ ）
A．0B．C．D．
4．（2分）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．太阳从西边升起来了
B．张叔叔申请了北京市小客车购买指标，在申请后的第一次“摇号”时就中签
C．任意投掷一枚骰子，面朝上的点数是7
D．用长度分别是2cm，4cm，5cm的三条线段首尾顺次相接可组成一个三角形
5．（2分）甲骨文是中国的一种古代文字，是汉字的早期形式，有时候也被认为是汉字的书体之一，也是现存中国王朝时期最古老的一种成熟文字．如图为甲骨文对照表中的四个字，若把这四个甲骨文的文字抽象为几何图形，其中最接近轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2分）如果把分式中的m，n都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍B．缩小为原来的
C．扩大为原来的4倍D．不变
7．（2分）解方程，去分母后正确的是（ ）
A．3（x+1）＝1﹣x（x﹣1）
B．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1）
C．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x+1）
D．3（x﹣1）＝1﹣x（x+1）
8．（2分）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）若分式值为0，则x的值为 ．
10．（2分）如果是二次根式，那么x的取值范围是 ．
11．（2分）计算：＝ ．
12．（2分）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OC，那么要得到△AOD≌△COB，可以添加一个条件是 （填一个即可）．
13．（2分）居家上网课期间，小燕在学习之余与妈妈要玩一次转盘游戏，选项与所占比例如图所示，则她不看电视的可能性为 ．
14．（2分）如图是某路口处草坪的一角，当行走路线是A→C→B时，有人为了抄近道而避开路的拐角∠ACB（∠ACB＝90°），于是在草坪内走出了一条不该有的捷径路AB．某学习实践小组通过测量可知，AC的长约为6米，BC的长约为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A，B处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌．则提示牌上的“多行数步”是指多行 米．
15．（2分）对于两个非零的实数a，b，定义新运算a※b＝﹣．例如：4※3＝﹣＝．则2※（﹣2）＝ ；若2※（2x﹣1）＝1，则x的值为 ．
16．（2分）如图，，∠AOP＝45°，点B在射线OP上，若△AOB为钝角三角形，则线段OB长的取值范围是 ．
三、解答题（共14道小题，17，18，19，25每小题4分，20-24，26，28，29每小题4分，27，30每小题4分，共68分）
17．（4分）计算：
（1）；
（2）．
18．（4分）计算：
（1）；
（2）．
19．（4分）计算：．
20．（5分）计算：．
21．（5分）计算：．
22．（5分）已知：如图，AB＝DE，BC＝EF，AD＝CF．求证：∠B＝∠E．
23．（5分）先化简，再求值：，其中．
24．（5分）下面是晓东设计的“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线l的垂线，使其经过点P．
作法：如图，
①任取一点Q，使点Q与点P在直线l两侧；
②以P为圆心，PQ长为半径作弧交直线l于A，B两点；
③分别以A，B为圆心，AP长为半径作弧，两弧在直线l下方交于点C；
④作直线PC．
所以直线PC为所求作的垂线．
根据晓东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接PA，PB，AC，BC，
∵PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上（ ）（填推理的依据）．
∵ ，
∴点C在线段AB的垂直平分线上．
∴直线PC为线段AB的垂直平分线．
即PC⊥l．
25．（4分）如图所示，有两个质地均匀且可以转动的转盘，转盘一被分成6个全等的扇形区域，转盘二被分成8个全等的扇形区域．在转盘的适当地方涂上灰色，末涂色部分为白色．用力转动转盘，请你通过计算判断，当转盘停止后哪一个转盘指针指向灰色的可能性大．
26．（5分）一些数按某种规律排列如下：
（1）根据排列的规律，写出第5行从左数第4个数；
（2）写出第n（n是正整数）行，从左数第n+1个数（用含n的代数式表示）．
27．（6分）数学课上，同学们兴致勃勃地探讨着利用不同画图工具画角的平分线的方法．
小惠说：如图，我用两把完全相同的直尺可以作出角的平分线．画法如下：（1）第一把直尺按图1所示放置，使一条边和射线OB对齐；
（2）第二把直尺按图2所示放置，使一条边和射线OA对齐；
（3）如图3，两把直尺的另一条边相交于点P，作射线OP．射线OP是∠AOB的平分线．
小旭说：我用两个直角三角板可以画角的平分线．
小宇说：只用一把刻度尺就可以画角的平分线．
…
请你也参与探讨，解决以下问题：
（1）小惠的做法正确吗？如果正确，请说明依据，如果不正确，请说明理由；
（2）请你参考小旭或小宇的思路，或根据自己的思路，画出图4中∠CDE的平分线，并简述画图的过程．
28．（5分）某中学为配合开展“垃圾分类进校园”活动，新购买了一批不同型号的垃圾桶，学校先用2400元购买了一批给班级使用的小号垃圾桶，再用3200元购买了一批放在户外使用的大号垃圾桶，已知一个大号垃圾桶的价格是小号垃圾桶的4倍．且大号垃圾桶购买的数量比小号垃圾桶少50个，求一个小号垃圾桶的价格．
29．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥AB交BC于点E，DF⊥AB，垂足为点F．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若DE＝2，，求BD的长．
30．（6分）如图，△ABC为等边三角形，在∠BAC内作射线AP（∠BAP＜30°），点B关于射线AP的对称点为点D，连接AD，作射线CD交AP于点E，连接BE．
（1）依题意补全图形；
（2）设∠BAP＝α，求∠BCE的大小（用含α的代数式表示）；
（3）用等式表示EA，EB，EC之间的数量关系，并证明．
2022-2023学年北京市顺义区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.
1．（2分）4的算术平方根是（ ）
A．2B．±2C．D．16
【分析】直接根据算术平方根的定义即可得出结论．
【解答】解：22＝4，
∴4的算术平方根是＝2．
故选：A．
【点评】本题考查的是算术平方根，熟知如果一个正数x的平方等于a，那么x就是a的算术平方根是解题的关键．
2．（2分）利用直角三角板，作△ABC的高线，下列作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据高线的定义即可得出结论．
【解答】解：A、B、D均不是高线．
故选：C．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
3．（2分）下列各数中，无理数是（ ）
A．0B．C．D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可．
【解答】解：A．0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B．是无理数，故此选项符合题意；
C．是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D．＝3，3是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了无理数的定义，掌握带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数是关键．
4．（2分）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．太阳从西边升起来了
B．张叔叔申请了北京市小客车购买指标，在申请后的第一次“摇号”时就中签
C．任意投掷一枚骰子，面朝上的点数是7
D．用长度分别是2cm，4cm，5cm的三条线段首尾顺次相接可组成一个三角形
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答．
【解答】解：A、太阳从西边升起来了，是不可能事件，故A不符合题意；
B、张叔叔申请了北京市小客车购买指标，在申请后的第一次“摇号”时就中签，是随机事件，故B符合题意；
C、任意投掷一枚骰子，面朝上的点数是7，是不可能事件，故C不符合题意；
D、用长度分别是2cm，4cm，5cm的三条线段首尾顺次相接可组成一个三角形，是必然事件，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
5．（2分）甲骨文是中国的一种古代文字，是汉字的早期形式，有时候也被认为是汉字的书体之一，也是现存中国王朝时期最古老的一种成熟文字．如图为甲骨文对照表中的四个字，若把这四个甲骨文的文字抽象为几何图形，其中最接近轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
6．（2分）如果把分式中的m，n都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍B．缩小为原来的
C．扩大为原来的4倍D．不变
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：＝，
故选：D．
【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
7．（2分）解方程，去分母后正确的是（ ）
A．3（x+1）＝1﹣x（x﹣1）
B．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1）
C．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x+1）
D．3（x﹣1）＝1﹣x（x+1）
【分析】分式方程左右两边同乘（x+1）（x﹣1）去分母得到结果，即可作出判断．
【解答】解：去分母得：3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1）．
故选：B．
【点评】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
8．（2分）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数．
【解答】解：当AB为腰时，点C的个数有2个；
当AB为底时，点C的个数有1个，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．
二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）若分式值为0，则x的值为 ﹣1 ．
【分析】直接利用分式的值为零则分子为零进而得出答案．
【解答】解：若分式值为0，
则x+1＝0且x≠0，
解得：x＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式的值为零则分子为零是解题关键．
10．（2分）如果是二次根式，那么x的取值范围是 x≥3 ．
【分析】二次根式要求被开方数是非负数，即x﹣3≥0，从而解得x的取值范围．
【解答】解：∵是二次根式，
∴x﹣3≥0，
∴x≥3．
故答案为：x≥3．
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是掌握二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，要特别注意a≥0这个条件．
11．（2分）计算：＝ ．
【分析】根据分式的乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝•（﹣）
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查分式的乘除运算，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则，本题属于基础题型．
12．（2分）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OC，那么要得到△AOD≌△COB，可以添加一个条件是 OD＝OB （填一个即可）．
【分析】本题根据题目条件，图形条件可知，OA＝OC，∠AOD＝∠COB，只需要添加一组对应边相等（即OD＝OB），或者对应角相等即可．
【解答】解：OD＝OB，OA＝OC，∠AOD＝∠COB，
∴△AOD≌△COB（SAS）．
故答案为：OD＝OB．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
13．（2分）居家上网课期间，小燕在学习之余与妈妈要玩一次转盘游戏，选项与所占比例如图所示，则她不看电视的可能性为 85% ．
【分析】根据各项百分比之和为1可得不看电视的可能性大小．
【解答】解：由图知，她不看电视的可能性为1﹣15%＝85%，
故答案为：85%．
【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性（概率）的计算方法．
14．（2分）如图是某路口处草坪的一角，当行走路线是A→C→B时，有人为了抄近道而避开路的拐角∠ACB（∠ACB＝90°），于是在草坪内走出了一条不该有的捷径路AB．某学习实践小组通过测量可知，AC的长约为6米，BC的长约为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A，B处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌．则提示牌上的“多行数步”是指多行 4 米．
【分析】由勾股定理求出AB＝10米，即可解决问题．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6米，BC＝8米，
∴AB＝＝＝10（米），
∴AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（米），
∴他们只为少走4米的路，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题的关键．
15．（2分）对于两个非零的实数a，b，定义新运算a※b＝﹣．例如：4※3＝﹣＝．则2※（﹣2）＝ ﹣1 ；若2※（2x﹣1）＝1，则x的值为 ．
【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值；已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．
【解答】解：根据题中的新定义得：
2※（﹣2）＝﹣﹣＝﹣1；
2※（2x﹣1）＝1化简得：﹣＝1，
区分得：2﹣2x+1＝4x﹣2，
解得：x＝，
检验：把x＝代入得：2（2x﹣1）≠0，
∴x＝是分式方程的解．
故答案为：﹣1；．
【点评】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
16．（2分）如图，，∠AOP＝45°，点B在射线OP上，若△AOB为钝角三角形，则线段OB长的取值范围是 0＜OB＜2 ．
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短解答即可．
【解答】解：如图：
过点A作AC⊥OP，
∵OA＝2，∠AOP＝45°，
∴点B在射线OP上，△AOB为钝角三角形，线段OB长的取值范围是0＜OB＜2．
故答案为：0＜OB＜2．
【点评】本题考查了垂线段的性质，解题的关键是掌握垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
三、解答题（共14道小题，17，18，19，25每小题4分，20-24，26，28，29每小题4分，27，30每小题4分，共68分）
17．（4分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据分式的乘法计算即可；
（2）先通分，然后再根据同分母分式计算即可．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝．
【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．（4分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝2+
＝3；
（2）原式＝＝．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
19．（4分）计算：．
【分析】先通分括号内的式子，然后计算括号外的乘法即可．
【解答】解：
＝•
＝•
＝•
＝．
【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20．（5分）计算：．
【分析】利用立方根的定义，绝对值的定义，二次根的化简，计算即可．
【解答】解：
＝3+﹣
＝3+﹣
＝3．
【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握立方根的定义，绝对值的定义，二次根式的分母有理化．
21．（5分）计算：．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及完全平方公式化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝6+3﹣2﹣4+1
＝6+3﹣6﹣4+1
＝6﹣6．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
22．（5分）已知：如图，AB＝DE，BC＝EF，AD＝CF．求证：∠B＝∠E．
【分析】根据SSS即可判断△ABC≌△DEF，再利用全等三角形的性质证明即可．
【解答】证明：∵AD＝CF，
∴AC＝DF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠B＝∠E．
【点评】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
23．（5分）先化简，再求值：，其中．
【分析】原式第一项利用除法法则变形，约分后与第二项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•﹣
＝﹣
＝
＝
＝，
当x＝﹣2时，
原式＝＝＝．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24．（5分）下面是晓东设计的“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线l的垂线，使其经过点P．
作法：如图，
①任取一点Q，使点Q与点P在直线l两侧；
②以P为圆心，PQ长为半径作弧交直线l于A，B两点；
③分别以A，B为圆心，AP长为半径作弧，两弧在直线l下方交于点C；
④作直线PC．
所以直线PC为所求作的垂线．
根据晓东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接PA，PB，AC，BC，
∵PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上（ 到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ）（填推理的依据）．
∵ CA＝CB ，
∴点C在线段AB的垂直平分线上．
∴直线PC为线段AB的垂直平分线．
即PC⊥l．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可判断点P、点C都在线段AB的垂直平分线上，则 PC垂直平分AB，所以PC⊥l．
【解答】（1）解：如图，PC为所作；
（2）证明：
连接PA，PB，AC，BC．如图，
∵PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上（到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．
∵CA＝CB，
∴点C在线段AB的垂直平分线上．
∴PC垂直平分AB，
∴PC⊥l．
故答案为：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；CA＝CB．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
25．（4分）如图所示，有两个质地均匀且可以转动的转盘，转盘一被分成6个全等的扇形区域，转盘二被分成8个全等的扇形区域．在转盘的适当地方涂上灰色，末涂色部分为白色．用力转动转盘，请你通过计算判断，当转盘停止后哪一个转盘指针指向灰色的可能性大．
【分析】由概率公式分别求出两个转盘指针指向灰色的概率，再比较即可．
【解答】解：转盘一：转盘指针指向灰色的概率为＝，
转盘二：转盘指针指向灰色的概率为，
∵＝，＝，＞，
∴当转盘停止后转盘一指针指向灰色的可能性大．
【点评】本题考查了概率公式，熟记概率公式是解题的关键．
26．（5分）一些数按某种规律排列如下：
（1）根据排列的规律，写出第5行从左数第4个数；
（2）写出第n（n是正整数）行，从左数第n+1个数（用含n的代数式表示）．
【分析】（1）由所给的数可得第n行最后一个数是，据此可求解；
（2）结合（1）进行总结即可．
【解答】解：（1）∵，，，…，
∴第n行最后一个数为：，
∴第5行从左数第4个数是：；
（2）由（1）得第（n﹣1）行的最后一个数为：，
∴第n（n是正整数）行，从左数第（n+1）个数是：．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，列代数式，解答的关键是得到第n行最后一个数为．
27．（6分）数学课上，同学们兴致勃勃地探讨着利用不同画图工具画角的平分线的方法．
小惠说：如图，我用两把完全相同的直尺可以作出角的平分线．画法如下：（1）第一把直尺按图1所示放置，使一条边和射线OB对齐；
（2）第二把直尺按图2所示放置，使一条边和射线OA对齐；
（3）如图3，两把直尺的另一条边相交于点P，作射线OP．射线OP是∠AOB的平分线．
小旭说：我用两个直角三角板可以画角的平分线．
小宇说：只用一把刻度尺就可以画角的平分线．
…
请你也参与探讨，解决以下问题：
（1）小惠的做法正确吗？如果正确，请说明依据，如果不正确，请说明理由；
（2）请你参考小旭或小宇的思路，或根据自己的思路，画出图4中∠CDE的平分线，并简述画图的过程．
【分析】（1）利用角平分线定理的逆定理可判定小明作图正确，然后利用全等三角形的性质可画出∠AOB的平分线；
（2）用两个直角三角板画角的平分线即可．
【解答】解：（1）小惠的做法正确，理由如下：
如图3，过点P作PH⊥OB于H，
∵PG⊥OA，PG＝PH，
∴OP平分∠AOB，
（2）如图4，
借用两把完全相同的直角三角板就可以作出一个角的平分线，
作法如图4：先在边DC，DE上分别量取DM＝DN，
然后如图移动放置两块三角板，使两块三角板的直角顶点分别与M、N重合，
两块三角板的一条直角边分别与DC、DEB边重合，另一直角边相交于角的内部一点G．
过点G作射线DG即可．
【点评】本题考查了角平分线定义和全等三角形的判定和性质的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力，题目比较好，难度适中．
28．（5分）某中学为配合开展“垃圾分类进校园”活动，新购买了一批不同型号的垃圾桶，学校先用2400元购买了一批给班级使用的小号垃圾桶，再用3200元购买了一批放在户外使用的大号垃圾桶，已知一个大号垃圾桶的价格是小号垃圾桶的4倍．且大号垃圾桶购买的数量比小号垃圾桶少50个，求一个小号垃圾桶的价格．
【分析】设一个小号垃圾桶的价格是x元，则每个大号垃圾桶的价格是4x元，由题意：学校先用2400元购买了一批给班级使用的小号垃圾桶，再用3200元购买了一批放在户外使用的大号垃圾桶，且大号垃圾桶购买的数量比小号垃圾桶少50个，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设一个小号垃圾桶的价格是x元，则每个大号垃圾桶的价格是4x元，
依题意，得：﹣＝50，
解得：x＝32，
经检验，x＝32是原方程的解，且符合题意．
答：一个小号垃圾桶的价格是32元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
29．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥AB交BC于点E，DF⊥AB，垂足为点F．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若DE＝2，，求BD的长．
【分析】（1）利用角平分线的性质和平行线的性质先说明∠CBD＝∠EDB，再利用等腰三角形的判定得结论；
（2）利用角平分线的性质先得到CD＝DF，再在Rt△CDE中利用勾股定理求出CE的长，最后在Rt△CDB中利用勾股定理求出BD的长．
【解答】（1）证明：∵BD分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵DE∥AB，
∴∠EDB＝∠ABD．
∴∠CBD＝∠EDB．
∴DE＝EB．
（2）解：∵∠C＝90°，
∴DC⊥BC．
又∵BD分∠ABC交AC于点D，DF⊥AB，
∴CD＝DF＝．
在Rt△CDE中，
CE＝＝1．
∵DE＝EB＝2，
∴BC＝CE+EB＝3．
在Rt△CDB中，
BD＝＝＝2．
【点评】本题主要考查了角平分线和等腰三角形，掌握角平分线的性质和等腰三角形的判定、勾股定理是解决本题的关键．
30．（6分）如图，△ABC为等边三角形，在∠BAC内作射线AP（∠BAP＜30°），点B关于射线AP的对称点为点D，连接AD，作射线CD交AP于点E，连接BE．
（1）依题意补全图形；
（2）设∠BAP＝α，求∠BCE的大小（用含α的代数式表示）；
（3）用等式表示EA，EB，EC之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）依题意补全图形；
（2）先得出∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，再得出∠BAP＝∠DAP＝α，AB＝AD，进而得出∠CAD＝60°﹣2α，AD＝AC，得出∠ACD＝60°+α，即可得出结论；
（3）如图2，在EA上取一点F，使EF＝EB，先判断出△BEF是等边三角形，得出BF＝BE，∠EBF＝60°，再判断出△ABF≌△CBE（ASA），得出AF＝CE，即可得出结论．
【解答】解：（1）补全图形如图1所示，
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
∵点B关于射线AP的对称点为点D，
∴∠BAP＝∠DAP＝α，AB＝AD，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠DAP＝60°﹣2α，AD＝AC，
∴∠ACD＝（180°﹣∠CAD）＝[180°﹣（60°﹣2α）]＝60°+α，
∴∠BCE＝∠ACD﹣∠ACB＝α；
（3）EA＝EB+EC，
证明：如图2，在EA上取一点F，使EF＝EB，
由（2）知，∠ACD＝60°+∠BAP，
∵∠CAE＝60°﹣∠BAP，
∴∠ACD+∠CAE＝120°，
∴∠AEC＝60°，
由折叠知，∠AEB＝∠AEC＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴BF＝BE，∠EBF＝60°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABC＝∠EBF＝60°，
∴∠ABF＝∠CBE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝CB，
由（2）知，∠BAP＝∠BCE，
∴△ABF≌△CBE（ASA），
∴AF＝CE，
∴EA＝EF+AF＝EB+CE．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了对称性，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解（3）的关键．