2022-2023学年北京市门头沟区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市门头沟区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）5的算术平方根是（ ）
A．±B．C．−D．25
2．（2分）如果分式有意义，那么x的取值范围（ ）
A．x≠0B．x≠1C．x＝﹣1D．x≠﹣1
3．（2分）下列运算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2分）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放新闻
B．三角形内角和360度
C．妹妹的年龄比姐姐的年龄小
D．能被3整除的数一定是奇数
5．（2分）下列图形都是由两个全等三角形组合而成，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2分）下列代数式能作为二次根式被开方数的是（ ）
A．xB．3.14﹣πC．x2+1D．x2﹣1
7．（2分）一个等腰三角形的两条边分别是2cm和5cm，则第三条边的边长是（ ）
A．2cmB．5cmC．2cm或5cmD．不能确定
8．（2分）如图，在正方形网格内，A、B、C、D四点都在小方格的格点上，则∠BAC+∠DAC＝（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
10．（2分）等腰三角形的一个内角的度数是40°，则其余两个内角的度数是 ．
11．（2分）写一个满足大于且小于的有理数是 ．
12．（2分）若分式＝0，x＝ ．
13．（2分）如图，在△ABC中，∠ADC＝65°，∠DAB＝40°，则∠B＝ °．
14．（2分）分母有理化＝ ．
15．（2分）如图，AD＝AE，点D，E分别在AB，AC上，CD，BE交于点F，只添加一个条件使△ABE≌△ACD，添加的条件是： （添加一个即可）．
16．（2分）如图，为了测量某河道的宽度，小明设计了如下方案：
（1）从B点出发沿与AB垂直的方向，走出一段距离并标注为点C；
（2）继续沿此方向走到与BC相同的距离并标注为点D；
（3）从点D出发沿与BD垂直的方向走出一段距离标注为点F；
（4）在DF上找到了一点E能够通过点C看到点A．
测量DE的长度即为该河道的宽度
此方案用到了一个重要的两个三角形有关的数学知识是 ；这个数学知识成立的依据是 ．
三、解答题（本题共68分，第17-20题每题5分，第21、22每题6分，第23、24每题5分，第25、26题6分，第27、28题7分）
17．（5分）计算：．
18．（5分）计算：．
19．（5分）计算：．
20．（5分）化简：．
21．（6分）先化简，再求值：，其中．
22．（6分）解方程：﹣＝1．
23．（5分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．求BC边上的高的长．
24．（5分）已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BF＝EC．
求证：△ABC≌△DEF．
25．（6分）如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝2．求线段CP的长．
26．（6分）列方程解应用题：
甲、乙两地相距19千米某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍．求步行的速度和骑自行车的速度．
27．（7分）已知，如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且AD＝AB，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点H．以直线CH为对称轴作点A的对称点P，连接CP
（1）依题意补全图形；
（2）直接写出AB与CP的位置关系；
（3）用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系，并证明．
28．（7分）我们规定：在同一平面内的点A以直线l1为对称轴进行翻折后得到点A1，称作点A的“一次对称点”，将一次对称点A1再以直线l2为对称轴进行翻折后得到点A2，称作点A的“二次对称点”．
（1）如图1，依题意画出点A的“二次对称点”，并说出以A、A1、A2为顶点的三角形的形状；
（2）如图2，已知直线l1与直线l2的夹角是45°，点A在直线l2上，依题意画出点A的“二次对称点”，并说出以A、A1、A2为顶点的三角形的形状；
（3）如图3，如果“二次对称点”落在l1上，且点A在直线l2上，请依题意画出直线l2，保留作图痕迹．
2022-2023学年北京市门头沟区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．（2分）5的算术平方根是（ ）
A．±B．C．−D．25
【分析】根据开方运算，可得一个数的算术平方根．
【解答】解：5的算术平方根是．
故选：B．
【点评】本题考查了算术平方根，掌握一个正数只有一个算术平方根是关键．
2．（2分）如果分式有意义，那么x的取值范围（ ）
A．x≠0B．x≠1C．x＝﹣1D．x≠﹣1
【分析】根据分式有意义的条件解答即可．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x+1≠0，解得x≠﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
3．（2分）下列运算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的性质以及二次根式的除法运算即可求出答案．
【解答】解：A、原式＝3，故A不符合题意．
B、原式＝3，故B符合题意．
C、原式＝，故C不符合题意．
D、无意义，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的乘除运算以及二次根式的性质，本题属于基础题型．
4．（2分）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放新闻
B．三角形内角和360度
C．妹妹的年龄比姐姐的年龄小
D．能被3整除的数一定是奇数
【分析】直接利用随机事件、不可能事件、必然事件的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A．打开电视机，正在播放新闻，是随机事件，故此选项不合题意；
B．三角形内角和360度，是不可能事件，故此选项不合题意；
C．妹妹的年龄比姐姐的年龄小，是必然事件，故此选项符合题意；
D．能被3整除的数一定是奇数，是随机事件，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了随机事件，正确掌握相关定义是解题关键．
5．（2分）下列图形都是由两个全等三角形组合而成，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：A、两个全等三角形组合不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、两个全等三角形组合不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、两个全等三角形组合不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、两个全等三角形组合是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案、轴对称图形的概念，关键是正确找出对称轴的位置．
6．（2分）下列代数式能作为二次根式被开方数的是（ ）
A．xB．3.14﹣πC．x2+1D．x2﹣1
【分析】根据二次根式的定义解答即可．
【解答】解：∵x2+1＞0，
∴x2+1能作为二次根式被开方数．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式的定义，一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式是解题的关键．
7．（2分）一个等腰三角形的两条边分别是2cm和5cm，则第三条边的边长是（ ）
A．2cmB．5cmC．2cm或5cmD．不能确定
【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为2cm，底边长为5cm时，当等腰三角形的腰长为5cm，底边长为2cm时，然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为2cm，底边长为5cm时，
∵2+2＝4＜5，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为5cm，底边长为2cm时，
∴等腰三角形的三边长分别为5cm，5cm，2cm，
综上所述：等腰三角形的第三条边的边长是5cm，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
8．（2分）如图，在正方形网格内，A、B、C、D四点都在小方格的格点上，则∠BAC+∠DAC＝（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】作点B关于AC的对称点B′，连接B′A′，B′D，则∠BAC＝∠B′AC．证明△AB′D是等腰直角三角形，得出∠B′AD＝45°，即∠BAC+∠DAC＝45°．
【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B′，连接B′A′，B′D，则∠BAC＝∠B′AC．
∵AB′2＝12+32＝10，B′D2＝12+32＝10，AD2＝42+22＝20，
∴AB′＝B′D，AB′2+B′D2＝AD2，
∴△AB′D是等腰直角三角形，
∴∠B′AD＝45°，
∴∠BAC+∠DAC＝∠B′AC+∠DAC＝∠B′AD＝45°．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，准确作出辅助线证明△AB′D是等腰直角三角形是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
【解答】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查二次根式的意义，只需使被开方数大于或等于0即可．
10．（2分）等腰三角形的一个内角的度数是40°，则其余两个内角的度数是 70°，70°或40°，100° ．
【分析】分两种情况：当等腰三角形的顶角为40°时；当等腰三角形的一个底角为40°时，然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的顶角为40°时，
∴等腰三角形的两个底角＝×（180°﹣40°）＝70°；
当等腰三角形的一个底角为40°时，则另一个底角也是40°，
∴等腰三角形的顶角＝180°﹣2×40°＝100°；
综上所述：等腰三角形的其余两个内角的度数为70°，70°或40°，100°，
故答案为：70°，70°或40°，100°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键．
11．（2分）写一个满足大于且小于的有理数是 3 ．
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数、的大小即可．
【解答】解：∵2＜＜3，4＜＜5，
∴大于且小于的有理数可以为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
12．（2分）若分式＝0，x＝ 1 ．
【分析】分式的值为零，分子等于零，且分母不等于零．
【解答】解：由题意，知|x|﹣1＝0且x+1≠0．
解得x＝1．
故答案是：1．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
13．（2分）如图，在△ABC中，∠ADC＝65°，∠DAB＝40°，则∠B＝ 25 °．
【分析】直接利用三角形的外角性质即可求解．
【解答】解：∵∠ADC＝65°，∠DAB＝40°，∠ADC是△ABD的外角，
∴∠B＝∠ADC﹣∠DAB＝25°．
故答案为：25．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
14．（2分）分母有理化＝ ．
【分析】根据分母有理化的定义先分子、分母同乘以，去掉分母中的根号，从而得出答案．
【解答】解：＝＝；
故答案为：．
【点评】此题考查了分母有理化，分母有理化就是指通过分子分母同时乘以同一个数，来消去分母中的根号，从而使分母变为有理数．完成分母有理化，常要用到平方差公式．
15．（2分）如图，AD＝AE，点D，E分别在AB，AC上，CD，BE交于点F，只添加一个条件使△ABE≌△ACD，添加的条件是： ∠B＝∠C （添加一个即可）．
【分析】添加条件∠B＝∠C，根据全等三角形的判定定理ASA推出即可，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
【解答】解：添加条件：∠B＝∠C，
理由：由题意可得，AE＝AD，∠BAE＝∠CAD，
若添加条件：∠B＝∠C，则△ABE≌△ACD（AAS）；
故答案为：∠B＝∠C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能理解全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SSS，SAS，ASA，AAS．
16．（2分）如图，为了测量某河道的宽度，小明设计了如下方案：
（1）从B点出发沿与AB垂直的方向，走出一段距离并标注为点C；
（2）继续沿此方向走到与BC相同的距离并标注为点D；
（3）从点D出发沿与BD垂直的方向走出一段距离标注为点F；
（4）在DF上找到了一点E能够通过点C看到点A．
测量DE的长度即为该河道的宽度
此方案用到了一个重要的两个三角形有关的数学知识是 △EDC≌△ABC ；这个数学知识成立的依据是 ASA ．
【分析】由已知可以得到∠ABC＝∠BDE，又CD＝BC，∠ACB＝∠DCE，由此根据角边角即可判定△EDC≌△ABC，则ED＝AB．
【解答】解：∵BF⊥AB，DE⊥BF，
∴∠ABC＝∠BDE
在△EDC和△ABC中，
，
∴△EDC≌△ABC（ASA）．
∴ED＝AB
故答案为：△EDC≌△ABC；ASA．
【点评】本题考查了全等三角形的应用；需注意根据垂直定义得到的条件，以及隐含的对顶角相等，观察图形，找着隐含条件是十分重要的．
三、解答题（本题共68分，第17-20题每题5分，第21、22每题6分，第23、24每题5分，第25、26题6分，第27、28题7分）
17．（5分）计算：．
【分析】原式第一项化为最简二次根式，第二项利用立方根的定义化简，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝2﹣3+﹣1
＝3﹣4．
【点评】此题考查了实数的运算，涉及的知识有：零指数、负指数幂，绝对值的代数意义，立方根的定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（5分）计算：．
【分析】先进行乘法的运算，化简运算，再进行加减运算即可．
【解答】解：
＝2+﹣4×
＝4+﹣2
＝4﹣．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
19．（5分）计算：．
【分析】根据分式的除法运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝•
＝．
【点评】本题考查分式的乘除运算，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则，本题属于基础题型．
20．（5分）化简：．
【分析】变形后根据同分母分式相加减法则进行计算即可，注意结果化成最简分式．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝
＝x+y．
【点评】本题考查了分式的加减法则的应用，能熟练地运用法则进行计算是解此题的关键．
21．（6分）先化简，再求值：，其中．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a2﹣a的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝x2﹣x，
∵，
∴x2﹣x＝，
∴原式＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
22．（6分）解方程：﹣＝1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2﹣2x+2＝x2﹣x，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，方程左右两边相等，
所以x＝2是原方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
23．（5分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．求BC边上的高的长．
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形的性质求出BD＝BC＝4，根据勾股定理求出AD的长即可．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC＝5，BC＝8，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝BC＝4，
∴AD＝＝＝3，
即BC边上的高的长为3．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、勾股定理是解题的关键．
24．（5分）已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BF＝EC．
求证：△ABC≌△DEF．
【分析】根据BF＝EC，可以得到BC＝EF，再根据AB∥DE，可以得到∠B＝∠E，然后根据SAS，即可证明△ABC≌△DEF．
【解答】证明：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BC＝EF，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答．
25．（6分）如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝2．求线段CP的长．
【分析】过P作PE⊥OB于E，根据角平分线性质求出PC＝PE，求出DP∥OA，根据平行线的性质求出∠PDE＝∠AOB＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出PE即可．
【解答】解：过P作PE⊥OB于E，
∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA，
∴PC＝PE，∠AOP＝∠BOP，
∵OD＝DP，
∴∠BOP＝∠DPO，
∴∠AOP＝∠DPO，
∴PD∥OA，
∴∠PDE＝∠AOB，
∵∠AOB＝30°，
∴∠PDE＝30°，
∵∠PEO＝90°，DP＝2，
∴PE＝DP＝1，
∴PC＝1．
【点评】本题考查了角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能求出∠PDE＝30°是解此题的关键．
26．（6分）列方程解应用题：
甲、乙两地相距19千米某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍．求步行的速度和骑自行车的速度．
【分析】本题根据时间来列等量关系．本题的等量关系为：步行时间+骑车时间＝2解方程即可得到结论．
【解答】解：设步行速度为x千米/时，那么骑车速度是4x千米/时，
依题意得+＝2，
解得x＝5，
经检验x＝5是原方程的解．
∴4x＝20，
答：步行速度为5km/h，骑自行车速度为20km/h．
【点评】本题考查了分式方程的应用．正确分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
27．（7分）已知，如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且AD＝AB，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点H．以直线CH为对称轴作点A的对称点P，连接CP
（1）依题意补全图形；
（2）直接写出AB与CP的位置关系；
（3）用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）交AD的延长线于点H．以直线CH为对称轴作点A的对称点P，连接CP即可；
（2）根据角平分线的性质可知∠BAD＝∠CAD，再由轴对称的性质可知∠P＝∠CAD，据此可得出结论；
（3）作辅助线，构建等腰三角形，易证△ACH≌△AFH，则AC＝AF，HC＝HF，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得：AG＝AH，再由线段的和可得结论．
【解答】解：（1）如图．
（2）∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵点A与点P关于直线CH对称，
∴∠P＝∠CAD，
∴∠P＝∠BAD，
∴AB∥CP；
（3）线段AH与AB+AC之间的数量关系：2AH＝AB+AC．
证明：延长AB和CH交于点F，取BF的中点G，连接GH．
在△ACH与△AFH中，
，
∴△ACH≌△AFH（ASA），
∴AC＝AF，HC＝HF，
∴GH∥BC，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠AGH＝∠AHG，
∴AG＝AH，
∴AB+AC＝AB+AF＝2AB+BF＝2（AB+BG）＝2AG＝2AH．
【点评】本题考查了三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、三角形的中位线定理等知识，熟练掌握这些性质是本题的关键，构建等腰三角形是解题的关键．
28．（7分）我们规定：在同一平面内的点A以直线l1为对称轴进行翻折后得到点A1，称作点A的“一次对称点”，将一次对称点A1再以直线l2为对称轴进行翻折后得到点A2，称作点A的“二次对称点”．
（1）如图1，依题意画出点A的“二次对称点”，并说出以A、A1、A2为顶点的三角形的形状；
（2）如图2，已知直线l1与直线l2的夹角是45°，点A在直线l2上，依题意画出点A的“二次对称点”，并说出以A、A1、A2为顶点的三角形的形状；
（3）如图3，如果“二次对称点”落在l1上，且点A在直线l2上，请依题意画出直线l2，保留作图痕迹．
【分析】（1）根据“一次对称点”，“二次对称点”的定义作出图形即可；
（2）根据题意作出点A的对称点A1，A2即可；
（3）直线l2JG＝＝经过AA2的中点与直线l1的夹角为45°．
【解答】解：（1）如图1中，点A1，A2即为所求，△AA1A2是直角三角形；
（2）如图2中，点A1，A2即为所求，△AA1A2是等腰直角三角形；
（3）如图3中，点A1，A2，直线l2即为所求．
π
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．