福建省平和广兆中学高一上学期期末考模拟考试数学试卷 （解析版）-A4

这是一份福建省平和广兆中学高一上学期期末考模拟考试数学试卷 （解析版）-A4，共14页。试卷主要包含了 函数的定义域为， 计算的结果等于， 函数大致图象是， 已知函数，下列选项中正确的是等内容，欢迎下载使用。
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.
考生注意：
1.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上.
2.选择题的答案须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦干净.
3.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区域内，答案写在本试题卷上无效.
选择题部分（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据交集的概念求解出结果.
【详解】因为，，所以.
故选：D.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程解法可得等价于且，可得结论.
【详解】易知，
当时，满足，但此时，即充分性不成立；
若，可得且，即必要性成立；
因此可得“”是“”的必要而不充分条件.
故选：B
3. 若函数满足，则的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
分析】换元法求解函数解析式.
【详解】，令，则，
故，
所以.
故选：C.
4. 函数的定义域为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数的性质求对数复合函数的定义域.
【详解】由题意，解得或，
故函数的定义域为．
故选：D
5. 计算的结果等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合诱导公式，逆用两角和的正弦公式求值即可.
【详解】.
故选：B
6. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】将条件等式通过基本不等式转化为关于的一元二次不等式的形式，由此可求结果.
【详解】因为，所以，
所以，所以，且，
所以或（舍去），当且仅当时取等号，
所以的最小值为，
故选：B.
7. 函数大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】代入特殊点并对区间上的正负进行讨论即可得到结果.
【详解】函数的定义域为，当时，，
当时，，故选项C错误，
当时，，当时，，
故选项A错误，
且，，
因为，所以，故选项D错误.
只有B中图象符合题意,
故选：B
8. 已知函数在区间内没有零点，但有极值点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简，结合二倍角公式可求得；根据无零点但有极值点可求得的范围，结合可求得的范围及的值域，由此可得结果.
【详解】，其中，，，
，，，
当x∈0,π时，，
在区间0,π内没有零点，但有极值点，，
，
，
又，，
，，
，
则，即.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据三角函数零点、极值点个数求解参数范围的问题，解题关键是能够采用整体对应的方法确定所处的范围，进而将所求函数值化为关于的函数的形式，结合三角函数值域可求得结果.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，下列选项中正确的是（ ）
A. 的最小值为B. 在上单调递增
C. 的图象关于点中心对称D. 在上值域为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据三角函数的性质逐项判断即可．
【详解】当，即时，取最小值，故A错误；
当时，，故在上单调递增，故B正确；
当时，，，
则的图象关于点中心对称，故C错误；
当时，，
则当或，即或时，取最小值；
当，即时，取最大值3，
故在上值域为，故D正确．
故选：BD．
10. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性的定义与零点的定义逐项判断即可得结论.
【详解】对于A，由于导致，故不是偶函数，故A错误；
对于B，由，解得，所以的定义域为，关于原点对称.
又，所以是偶函数.
而，所以是偶函数又存在零点，故B正确；
对于C，由，解得，
所以函数的定义域为−1,1，关于原点对称，
又，所以是偶函数.
而，所以存在零点x=0.
所以是偶函数又存在零点，故C正确；
对于D，由，解得，所以的定义域为.
所以定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故D错误.
故选：BC.
11. 函数的定义域为R，且满足，，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. 为偶函数D. 的图象关于对称
【答案】BC
【解析】
【分析】利用特殊值法，结合函数的奇偶性即可求解.
【详解】由题可知
令，，则，
即，可得，故A错；
令，则，即，
又因为，，可得，故B正确；
令，可得，故C正确；
若的图象关于对称，则函数满足，
而，，显然，故D错，
令，可得，
的图象关于对称.
故选：BC.
非选择题部分（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】将分式不等式等价转化为一元二次不等式，解得即可.
【详解】不等式等价于，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
13. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦二倍角公式，结合弦化切思想，求值即可.
【详解】因，
所以，
故答案为：.
14. 已知函数，满足，且，则的最小值为__________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据对数的性质可得，即可利用基本不等式的乘“1”法求解.
【详解】不妨设，如图，作出的图象，
根据可得，
故，即可，
故，当且仅当，即时等号成立，
故答案为：9
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，.
（1）若，求；
（2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】(1)根据题意，由集合的运算代入计算，即可得到结果；
(2)根据题意，将问题转化为是的真子集，然后分与讨论，列出不等式代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
当时，，则或，
且，则或；
【小问2详解】
由题可知“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集，
当时，，解得；
当时，，解得；
综上所述，实数的取值范围是.
16. 幂函数的定义域是全体实数．
（1）求的解析式；
（2）若，且不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1） 根据幂函数定义得到系数为1，再结合定义域即可求得；
（2）由（1）可得在区间0,4 上恒成立，将不等式进行参变分离，得到在0,4 上恒成立，由二次函数求出最小值，从而得出结论.
【小问1详解】
由题意得 解得 ，所以
【小问2详解】
由（1）得，
不等式 在区间 0,4上恒成立，
即 在区间0,4 上恒成立，
即 在区间0,4 上恒成立，
令 ，对称轴为x=1,则函数在单调递减，在单调递增，
则 ，
所以 ，解得 ，
所以实数m的取值范围是 .
17. 已知为第三象限角，，
（1）化简；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）由诱导公式即可化简；
（2）先求得，根据同角三角函数关系可求得，结合（1）中结果可得答案.
【小问1详解】
．
【小问2详解】
∵，∴，即，
∴，从而．
又∵为第三象限角，∴，
∴．
18. 已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断函数的单调性并证明.
（3）求的值域.
【答案】（1）
（2）y=fx在R上单调递增，证明见解析
（3）−1,1
【解析】
【分析】（1）根据得到方程，求出，检验满足在上为奇函数；
（2）定义法证明函数单调性，其步骤为：取点，作差，变形定号，下结论；
（3）变形得到，故，解不等式求出答案.
【小问1详解】
是定义在上的奇函数，故，
故，解得，
所以，
由于，故满足在上为奇函数，
故；
【小问2详解】
在上单调递增，证明如下：
任取，且，
则
，
因为，所以，
又在上单调递增，故，
又，
故，
所以，
故在上单调递增；
【小问3详解】
，
故，即，解得，
故的值域为.
19. 在平面直角坐标系中，我们把函数上满足（其中表示正整数）的点称为函数的“正格点”.
（1）写出当时，函数图象上的正格点坐标；
（2）若函数与函数的图象有正格点交点，求的值.
（3）对于（2）中的值和函数，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），，；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据正格点定义及正弦函数性质写出正格点坐标；
（2）画出正弦、对数函数的大致图象，数形结合易知正格点为，代入函数求参数值；
（3）由题设有，讨论、并结合对数函数性质求参数范围.
【小问1详解】
因为，所以，，
所以函数的正格点为，，.
【小问2详解】
根据题设，可得两个函数大致图象如下，
函数，x∈R，与函数的图象只有一个“正格点”交点.
∴，则，又，可得.
【小问3详解】
由（2）知，，则，
所以，故；
当时，不等式不能恒成立；
当时，如下图知，
由，解得，
综上，实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：第二、三问，根据正弦函数、对数函数的图象及性质，及正格点的定义、不等式恒成立求参数范围.