强化十 二次函数与几何压轴题计算题---2026年中考数学二轮复习题型强化+含答案

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2026年中考数学二轮复习题型强化
1．如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．

(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；
(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过，两点，交轴负半轴于点，为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若，当m为何值时，四边形是平行四边形？
(3)若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
3．已知：关于的函数．
(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是___________；
(2)如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为．
①当点为抛物线顶点时，求的面积；
②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交x轴于点，B两点，交y轴于点C．

(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，求周长的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
5．如图，在平面直角坐标系中，点、在轴上，点、在轴上，且，，抛物线经过三点，直线与抛物线交于另一点．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)点是直线上一动点，点为抛物线上直线下方一动点，当线段的长度最大时，请求出点的坐标和面积的最大值．
6．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．

(1)求抛物线的表达式；
(2)点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线交于点C，求的长的最大值；
(3)点Q是线段上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结交y轴于点N．是否存在点P，使与相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
7．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如题图2， 点 D 为直线上方抛物线上一动点， 连接， 设直线交线段于点E，的面积为，的面积为，当 时，求点 D 的坐标；
(3)在（2）的条件下，且点 D的横坐标小于2，是否在数轴上存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形与相似，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
8．【阅读理解】定义：在平面直角坐标系中，点P为抛物线C的顶点，直线l与抛物线C分别相交于M，N两点（其中点M在点N的右侧），与抛物线C的对称轴相交于点Q，若记，则称是直线l与抛物线C的“截积”．
【迁移应用】根据以上定义，解答下列问题：如图，若直线l的函数表达式为．
(1)若抛物线C的函数表达式为，分别求出点M，N的坐标及的值；
(2)在（1）的基础上，过点P作直线l的平行线，现将抛物线C进行平移，使得平移后的抛物线的顶点落在直线上，试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
(3)设抛物线C的函数表达式为，若，，且点P在点Q的下方，求a的值．
9．如图，在平而直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别交于点，顶点为．连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接．点分别在线段上，连接与交于点．
(1)求点，的坐标；
(2)随着点在线段上运动．
①的大小是否发生变化？请说明理由；
②线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
10．如图1，抛物线经过，两点，作垂直x轴于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点是抛物线上一点，满足，求点的坐标；
(3)若点P为抛物线上一点，且在第四象限内．已知直线，与x轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
11．如图，已知二次函数的图象与x轴相交于A、B两点（A在B的左侧），它的对称轴l与图象交于点P，直线所对应的函数表达式为

(1)请直接写出点P的坐标．
(2)若为直角三角形，设直线与这个二次函数的图象的另一个交点为Q．
①求a、c的值与点Q的坐标；
②若M为直线l上的点，且以M、B、Q为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点M的纵坐标t的取值范围．
12．如图，在二次函数（m是常数，且）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．
(1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求的度数；
(2)若，求m的值；
(3)若在第四象限内二次函数（m是常数，且）的图像上，始终存在一点P，使得，请结合函数的图像，直接写出m的取值范围．
13．（2025•湖北模拟）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C
（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，连接QC，QE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．
14．（2025•扬州模拟）如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）（0，4）．经过原点O的抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN＝2时；
（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在；若不存在，请说明理由．
15．（2025•连云港一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，﹣），点B（1，）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值；
（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，且线段PQ的长度随m的增大而减小．
①求m的取值范围；
②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜）的图象交点个数及对应的m的取值范围．
16．（2025•管城区校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（2，0）
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝2：1时，求点D的坐标；
（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），在抛物线上是否存在点P，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在
17．（2025•济宁一模）已知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4，其中m＞2．
（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；
（2）求证：二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；
（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．
18．（2025•梁溪区校级一模）如图，二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，若点B是线段OA上一动点，连接BC，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D
（1）求二次函数的表达式；
（2）①求证：△OCD∽△A′BD；
②求的最小值；
（3）当S△OCD＝8S△A'BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标．
答案解析
（1）解：∵抛物线经过两点，
∴，解得：，
∴；
（2）∵，
∴，
设直线，
则：，解得：，
∴，
当时，，
∴；
作点关于轴的对称点，连接，
则：，，
∴当三点共线时，有最小值为的长，

∵，，
∴，
即：的最小值为：；
（3）解：存在；
∵，
∴对称轴为直线，
设，，
当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时：
①为对角线时：，

∴，
当时，，
∴，
∴；
②当为对角线时：，

∴，
当时，，
∴，
∴；
③当为对角线时：，

∴，
当时，，
∴，
∴；
综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或．
2．(1)
(2)
(3)存在，m的值为或
（1）解：在直线中，当时，，当时，，
点，点，
设抛物线的解析式为，
把点，点代入可得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：由题意，，
，
当四边形是平行四边形时，，
，
，，
设直线的解析式为，
把代入可得，
解得：，
直线的解析式为，
又过点作轴的平行线交抛物线于另一点，且抛物线对称轴为，
，
，
解得 （不合题意，舍去），；
当为时，四边形是平行四边形；
（3）解：存在，理由如下：
对称轴为，
设点坐标为，
点横坐标为：，
，，
①如图1，
，即是的中点，点在对称轴上，
，，
又点在直线，代入得：
，
解得：或（舍去），
故此时的值为．
②如图2，设点坐标为，，，
，
①，
②，
联立①②并解得：（舍去）或，
综上所述，的值为或．
3．(1)0或2或
(2)①6，②存在，
（1）解：函数的图象与坐标轴有两个公共点，
，
，
，
当函数为一次函数时，，
．
当函数为二次函数时，
，
若函数的图象与坐标轴有两个公共点，即与轴，轴分别只有一个交点时，
，
．
当函数为二次函数时，函数的图象与坐标轴有两个公共点， 即其中一点经过原点，
，
，
．
综上所述，或0．
故答案为：0或2或．
（2）解：①如图所示，设直线与交于点，直线与交于点．

依题意得：，解得：
抛物线的解析式为：．
点为抛物线顶点时，，，
，，
由，得直线的解析式为，
在直线上，且在直线上，则的横坐标等于的横坐标，
，
，，
，
．
故答案为：6．
②存在最大值，理由如下：
如图，设直线交轴于．
由①得：，，，，，
，
，，
，
，
即，
，，
，
，
，，
当时，有最大值，最大值为．
故答案为：．
4．(1)
(2)周长的最大值，此时点
(3)以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形时或或
（1）把、代入得，，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）延长交轴于，

∵过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当最大时周长的最大
∵抛物线的表达式为，
∴，
∴直线解析式为，
设，则
∴，
∴当时最大，此时
∵周长为，
∴周长的最大值为，此时，
即周长的最大值，此时点；
（3）∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，可以看成是向右平移2个单位长度再向下平移一个单位长度，
∴平移后的解析式为，此抛物线对称轴为直线，
∴设，
∵，
∴，，，
当为对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形
∴与互相平分，且
∴，解得
∵中点坐标为，中点坐标为，
∴，解得，
此时；
当为边长且和是对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形
∴与互相平分，且
∴，解得
∵中点坐标为，中点坐标为，
∴，解得，
此时或；
同理，当为边长且和是对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形
∴和互相平分，且
，此方程无解；
综上所述，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形时或或；
5．(1)抛物线的解析式为；
(2)时的周长最小；
(3)当面积最大时，点的坐标为，面积最大值为．
（1）∵，，
∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 ，点的坐标为 ，
将，，代入得：
，解得：，
∴这条抛物线的解析式为；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
连接，交抛物线对称轴点，如图所示，
∵点，关于直线对称，
∴，
∴
∴当点，，三点共线时，取得最小值，即的周长最小，
设直线的解析式为，
将，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴在这条抛物线的对称轴上存在点时的周长最小；
（3）∵，，
∴直线的解析式为，联立直线和抛物线的解析式成方程组，得：，
解得：，，
∴点的坐标为，
过点作轴，交直线于点，如图所示，
设点的坐标为，则点的坐标为，
∴，
∴，
，
，
，
∵，
∴当时，的面积取最大值，最大值为，
∴当面积最大时，点的坐标为，面积最大值为．
6．(1)
(2)当时，的长的最大值为4
(3)点P的坐标为或
（1）直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
，，
抛物线经过A、B两点．
，
解得，
；
（2）设，
作x轴，与直线交于点C，
，解得，
，
当时，的长的最大值为4；
（3）设，
，，
，
分两种情况：
①当时，
，
，，
，
，
，
，
， ，
，
，
或3（舍去），
，
，，
设直线的解析式为，
解得，
直线PQ的解析式为，
联立解得或（不合题意，舍去）
点P的坐标为；
②当时，过点Q作于H，
，
，，
，
，
，
∴，
∴，
设，则，，
，解得，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
同理得直线的解析式为，
联立解得或（不合题意，舍去）
点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或
．
7．(1)
(2)或
(3)或或
（1）解：把代入，得：，
．
把代入得：，
，
将、代入得：，
解得，．
抛物线的解析式为；
（2）解：分别过点A、点D作y轴的平行线，交直线于点F和点G，
抛物线的解析式为，令，得，
解得：或，
，
设点，则，
当时，
∴，即，
∵，
∴，
∵ ，
∴，
得，
∴，
解得，
∴点D坐标为或时，；
（3）解：存在，理由：
由题意得，点，
由点A、B、C、D的坐标得，，，
，
，
在中，则，，
当点P在y轴时，
∵以A、C、P为顶点的三角形与相似，
当时， 则，
则，
，
，
则点；
当时， 此时，点P、O重合，
，
，
，
故点；
当点在x轴上时，
只有，以A、C、P为顶点的三角形与相似，
则，
则点，
综上，点P的坐标为或或时，以A、C、P为顶点的三角形与相似．
8．(1)
(2)为定值，证明见解析
(3)或
（1）解：如图，由题意得：
解得：或


而抛物线的对称轴为： 代入一次函数解析式，此时
抛物线的顶点

（2）解：如图，抛物线的顶点P平移到，而
设为： 则 所以
所以为：
由在上，设
平移后的抛物线为：
则
设 则两点坐标为：的解，
整理方程组得：

又



为定值.
（3）解： ，，

如图，由点P在点Q的下方，则
由抛物线可得：
过作的平行线与轴交于 同理可得的解析式为：

由（2）同理可得：
即
平移后的抛物线的顶点为 解析式为：
整理得：




解得：或
9．(1)，；
(2)①的大小不变，理由见解析；②线段的长度存在最大值为
（1）解：∵，
∴顶点为，
令，，
解得或，
∴；
（2）解：①的大小不变，理由如下：
在上取点，使得，连接，

∵，
∴抛物线对称轴为，即，
∵将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，，，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，即的大小不变；
②设，则，
∵是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴即，
∴，
∴当时，有最大值为．
10．(1)
(2)，
(3)是定值，该定值为，理由见解析
（1）解：抛物线经过，两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：；
（2）①当点D在直线的上方时，如下图所示：
∵，
∴轴，
∵点A与点B对应函数值都是3，即轴，
∴此时点A与点D重合，即；
②当点D在直线的下方时，设与x轴交于点M，如下图所示：
∵，
∴，
∵垂直x轴于点C，，
∴，，，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
∴，
设直线的解析式是：，
将点B、M代入得：，
解得：，
∴直线的解析式是：
将直线的解析式与抛物线解析式联立得：，
解得：，或(舍去)，
∴；
综上所述：点D的坐标是：，；
（3）是定值，该定值为，理由如下．
令，
解得，即抛物线与x轴的交点是：和，
设点P的坐标是，则，
设直线的解析式是：，
将点A、P代入得：，
解得：，
∴直线的解析式是：，
令，
解得：，即，
∴，
设直线的解析式是：，
将点B、P代入得：，
解得：，
∴直线的解析式是：，
令，
解得：，即，
∴，，
∴．
∴是定值，该定值为．
11．(1)
(2)①，；②或
（1）解：抛物线的对称轴为直线，
∴点P的横坐标为，
∵直线的表达式为，
当时，，
；
（2）①由抛物线的对称性可知，，
∴是等腰直角三角形，

设抛物线的对称轴与x轴交于点E，则轴，
，
,,
把代入得，
，解得，
∴抛物线的解析式为，
令，
解得或，
当时，，
；
②由题意可知，，
当为直角三角形时，分三种情况：
当为直角时，，即，解得；
当为直角时，，即解得；
当为直角时，，即，解得或，
∴当为锐角三角形时，t的取值范围为或．
12．(1)A（-1，0）；B（2m+1，0）；C（0，2m+1）；
(2)
(3)
（1）当时，．
解方程，得，．
∵点A在点B的左侧，且，
∴，．
当时，．
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）方法一：如图1，连接AE．
∵，
∴，．
∴，，．
∵点A，点B关于对称轴对称，
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴，
即．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴解方程，得．
方法二：如图2，过点D作交BC于点H．
由方法一，得，．
∴．
∵，
∴，
．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴，即．
∵，
∴解方程，得．
（3）．
设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时，即．
∵，
∴．
，
，
∴．
解得，
又，
∴．

13．解：（1）将A（2，0），8）代入y＝ax2+bx+3，
得，
解得
∴二次函数的解析式为y＝﹣2x+3．
∵y＝﹣6，
∴E（4，﹣1）．
（2）如图5，图2，CD，得CB＝CD．
设D（4，m），
∵C（2，3）
42+（m﹣3）2＝62+35．
解得m＝3±．
∴满足条件的点D的坐标为（4，6+．
（3）如图5，设CQ交抛物线的对称轴于点M，
设P（n，﹣2n+3）），
设直线CQ的解析式为y＝kx+3，则nk+3．
解得k＝，于是CQ：y＝（，
当x＝4时，y＝4（，
∴M（2，n﹣5﹣）．
∵S△CQE＝S△CEM+S△QEM＝．
∴n2﹣7n﹣60＝0，
解得n＝10或n＝﹣6，
当n＝10时，P（10，当n＝﹣6时，24）．
综合以上可得，满足条件的点P的坐标为（10，24）．
14．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（4，8）和O（0，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x；
（2）∵直线AB经过点A（2，0）和B（0，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+6，
∵MN∥y轴，
设M（t，﹣t+4），﹣t2+5t），其中0≤t≤4，
当M在N点的上方时，
MN＝﹣t+2﹣（﹣t2+4t）＝t6﹣5t+4＝4，
解得：t1＝，t2＝（舍），
∴M1（，），
当M在N点下方时，
MN＝﹣t7+4t﹣（﹣t+4）＝﹣t3+5t﹣4＝5，
解得：t1＝2，t3＝3，
∴M2（6，2），M3（7，1），
综上，满足条件的点M的坐标有三个（，，2）或（3；
（3）存在，
①如图2，若AC是矩形的边，
设抛物线的对称轴与直线AB交于点R，且R（3，
过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点P1，P2，
∵C（8，3），4），
∴CD＝＝，
同理得：CR＝，RD＝2，
∴CD7+CR2＝DR2，
∴∠RCD＝90°，
∴点P8与点D重合，
当CP1∥AQ1，CP7＝AQ1时，四边形ACP1Q2是矩形，
∵C（1，3）向右平移4个单位1（2，6），
∴A（4，0）向右平移8个单位1（5，6），
此时直线P1C的解析式为：y＝x+2，
∵直线P2A与P1C平行且过点A（4，2），
∴直线P2A的解析式为：y＝x﹣4，
∵点P2是直线y＝x﹣4与抛物线y＝﹣x2+7x的交点，
∴﹣x2+4x＝x﹣2，
解得：x1＝﹣1，x2＝4（舍），
∴P2（﹣6，﹣5），
当AC∥P2Q5时，四边形ACQ2P2是矩形，
∵A（6，0）向左平移3个单位，3），
∴P2（﹣1，﹣8）向左平移3个单位2（﹣4，﹣2）；
②如图3，若AC是矩形的对角线，
设P7（m，﹣m2+4m）
当∠AP5C＝90°时，过点P3作P3H⊥x轴于H，过点C作CK⊥P2H于K，
∴∠P3KC＝∠AHP3＝90°，∠P7CK＝∠AP3H，
∴△P3CK∽△AP5H，
∴＝，
∴＝，
∵点P不与点A，C重合，
∴m≠1或m≠4，
∴m7﹣3m+1＝2，
∴m＝，
∴如图4，满足条件的点P有两个3（，），P5（，），
当P3C∥AQ3，P3C＝AQ3时，四边形AP3CQ6是矩形，
∵P3（，）向左平移，向下平移，3），
∴A（7，0）向左平移，向下平移3（，），
当P7C∥AQ4，P4C＝AQ8时，四边形AP4CQ4是矩形，
∵P6（，）向右平移，向上平移，3），
∴A（4，7）向右平移，向上平移4（，）；
综上，点Q的坐标为（5，﹣3）或（，，）．
15．解：（1）将A（0，﹣），点B（1，2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝x2+x﹣．
（2）∵y＝x2+x﹣＝（x+）5﹣2，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣．
∴当x＝﹣时，y取最小值为﹣4，
∵2﹣（﹣）＞﹣，
∴当x＝2时，y取最大值22+4﹣＝．
（3）①PQ＝|﹣2m+1﹣m|＝|﹣4m+1|，
当﹣3m+5＞0时，PQ＝﹣3m+3，
当﹣3m+1＜2时，PQ＝3m﹣1，
∴﹣7m+1＞0满足题意，
解得m＜．
②∵0＜PQ≤7，
∴0＜﹣3m+7≤7，
解得﹣2≤m＜，
如图，当m＝﹣时，PQ与图象有1交点，
m增大过程中，﹣＜m＜，PQ与图象只有6个交点，
直线x＝关于抛物线对称轴直线x＝﹣，
∴﹣＜m＜﹣时，
当﹣2≤m≤﹣时，PQ与图象有1个交点，
综上所述，﹣5≤m≤﹣≤m时，﹣＜m＜﹣时．
16．解：（1）∵A（﹣1，0），7），
∴把A（﹣1，0），3）代入y＝ax2+bx+2得，
，
解得，，
∴该抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+x+3；
（2）如图1，过点D作DH∥y轴交BC于点H，
∵抛物线y＝﹣x2+x+6与y轴交于点C，
∴C（0，2），
设直线BC解析式为y＝kx+b，
则，解得，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+2，
∵S△COF：S△CDF＝5：1，
∴OF：DF＝2：4，
∵DH∥OC，
∴△OFC∽△DFH，
∴＝2，
∴OC＝2DH，
设D（a，﹣a5+a+2），则H（a，
∴DH＝﹣a2+a+8﹣（﹣a+2）＝﹣a2+5a，
∴2＝2（﹣a4+2a），
解得a＝1，
∴D（4，2）．
（3）①当点P在x轴上方时，
在y轴上取点G（0，6），则∠OBG＝∠OBE，交y轴于点M，
则∠OBP＝2∠OBE，
过点G作GH⊥BM，
∵E（0，﹣8），
∴OE＝OG＝GH＝1，
设MH＝x，则MG＝，
在Rt△OBM中，OB2+OM2＝MB4，
∴（+5）2+4＝（x+7）2，
解得：x＝，
故MG＝＝＝，
∴OM＝OG+MG＝2+＝，
∴点M（0，），
将点B（2，3），）的坐标代入一次函数表达式y＝mx+n，
，
解得：，
∴直线BM的表达式为：y＝﹣x+，
∴，
解得：x＝或x＝2（舍去），
∴点P（，）；
②当点P在x轴下方时，
作点M（3，）关于x轴的对称点N（5，﹣），
求得直线BN的解析式为y＝x﹣，
∴，
解得，x＝﹣，
∴点P（﹣，﹣）；
综合以上可得，点P的坐标为（）．
17．（1）解：把O（0，0）代入y＝x5+（m﹣2）x+m﹣4得：
m﹣2＝0，
解得m＝4，
∴y＝x3+2x＝（x+1）6﹣1，
∴函数图象的顶点A的坐标为（﹣1，﹣5）；
（2）证明：由抛物线顶点坐标公式得y＝x2+（m﹣2）x+m﹣7的顶点为（，），
∵m＞5，
∴2﹣m＜0，
∴＜0，
∵＝﹣2﹣3≤﹣1＜0，
∴二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；
（3）解：设平移后图象对应的二次函数表达式为y＝x4+bx+c，其顶点为（﹣，），
当x＝0时，B（4，
将（﹣，）代入y＝﹣x﹣2得：
＝﹣2，
∴c＝，
∵B（3，c）在y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴OB＝﹣c＝﹣，
过点A作AH⊥OB于H，如图：
∵A（﹣7，﹣1），
∴AH＝1，
在△AOB中，
S△AOB＝OB•AH＝）×1＝﹣b2﹣b+1＝﹣2+，
∵﹣＜0，
∴当b＝﹣1时，此时c＜5，S△AOB取最大值，最大值为，
答：△AOB面积的最大值是．
18．（1）解：∵二次函数y＝x6+bx+c与x轴交于O（0，0），5）两点，
∴二次函数的解析式为：y＝（x﹣2）（x﹣4）＝x2﹣2x；
（2）①证明：如图5，
由翻折得：∠OAC＝∠A'，
由对称得：OC＝AC，
∴∠AOC＝∠OAC，
∴∠COA＝∠A'，
∵∠A'DB＝∠ODC，
∴△OCD∽△A′BD；
②解：∵△OCD∽△A′BD，
∴＝，
∵AB＝A'B，
∴＝，
∴的最小值就是，
y＝x5﹣2x＝（x﹣2）2﹣4，
∴C（2，﹣2），
∴OC＝5，
∴当CD⊥OA时，CD最小，，
当CD＝2时，的最小值为＝；
（3）解法一：∵S△OCD＝8S△A'BD，
∴S△OCD：S△A'BD＝8，
∵△OCD∽△A′BD，
∴＝（）2＝8，
∴＝8，
∵OC＝2，
∴A'B＝AB＝1，
∴BF＝2﹣8＝1，
如图2，连接AA'，延长CB交AA'于H，
由翻折得：AA'⊥CH，
∵∠AHB＝∠BFC＝90°，∠ABH＝∠CBD，
∴∠BCF＝∠BAH，
tan∠BCF＝tan∠GAA'，
∴＝＝，
设A'G＝a，则AG＝2a，
在Rt△A'GB中，由勾股定理得：BG3+A'G2＝A'B2，
∴a7+（2a﹣1）2＝12，
∴a3＝0（舍），a2＝，
∴BG＝2a﹣3＝﹣8＝，
∵A'G∥OQ，
∴△A'GB∽△QOB，
∴＝，即＝，
∴OQ＝4，
∴Q（8，4），
设直线A'B的解析式为：y＝kx+m，
∴，
解得：，
∴直线A'B的解析式为：y＝﹣x+4，
∴﹣x+4＝x2﹣2x，
8x2﹣4x﹣24＝7，
解得：x＝，
∴直线A′B与二次函数的交点横坐标是．
（3）解法二：如图3，过点M作MH⊥OA于H，
∵△OCD∽△A′BD，
∴＝＝＝2，
∵OC＝2，
∴A'B＝AB＝7，
设BD＝t，则CD＝2t，
∴A'D＝8﹣2tA'D＝8﹣7t，
∵OB＝OD+BD＝4﹣1＝7，
∴8﹣8t+t＝8，
∴t＝，
∴A'D＝8﹣＝，
∵A'B＝AB，∠A'＝∠OAC，
∴△A'BD≌△ABM（ASA），
∴AM＝A'D＝，
∵△AHM是等腰直角三角形，
∴AH＝MH＝，
∴M（，﹣），
易得BM的解析式为：y＝﹣x+4，
∴﹣x+4＝x2﹣5x，
解得：3x2﹣3x﹣24＝0，
解得：x＝，
∴直线A′B与二次函数的交点横坐